Exercice 1. (5 pts) R´evision

Math´ ematiques 218

Devoir surveill´ e du Samedi 21 mars 2009 8h00-10h00

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Exercice 1. (5 pts) R´evision

1) Calculer ^R ₀ ^2π cos ² x dx. Indication: On pensera `a exprimer cos ² x en termes de cos 2x.

2) Calculer ^R ₀ ^+∞ x exp(−x) dx.

3) Donner les deux premiers termes du d´eveloppement limit´e de cos x et de ln(1 + x) autour de x = 0. Utiliser ces r´esultats pour calculer

n→∞ lim (cos 1 n ) ⁿ

.

4) Calculer la d´eriv´ee et la seconde d´eriv´ee de la fonction f (x) = cosh(sin x).

Exercice 2. (5 pts) 1) D´ efinitions

(i) Que signifie “la s´erie de terme g´en´eral u _n converge” ? Qu’entend-on alors par “la somme de la s´erie”?

(ii) Que signifie “la s´erie de terme g´en´eral u _n converge absolument” ? (iii) Qu’est-ce le rayon de convergence d’une s´erie enti`ere?

2) Vrai ou Faux (justifier ou donner un contre-exemple)

(i) Si lim _n→∞ |u _n | = 0, alors la s´erie de terme g´en´eral u _n est convergente.

(ii) Si la s´erie de terme g´en´eral positif a _n converge, alors la s´erie de terme g´en´eral a _n tanh n converge absolument.

Exercice 3. (5 pts) D´eterminer la nature des s´eries de terme g´en´eral : u _n = (sin n)

s ln(1 + 1/n ² ) ln(n)

n ,

u _n = (2 + 1 n ) ⁿ 1

n! , n ≥ 2,

u _n = 3 ⁻ⁿ (n ² + n − 1).

Exercice 4. (2 pts) Montrer que la s´erie dont les termes sont d´efinis par u _n = 2 ⁿ si 0 ≤ n ≤ 4,

u _n = _{(n−3)(n−4)} ¹ si n ≥ 5

est convergente et calculer sa somme.

Exercice 5. (3 pts)

(i) D´eterminer le rayon de convergence de la s´erie enti`ere ^P a _n z ⁿ a _n = _(2n+1)!! ¹ , ((2n + 1)!! = 1 · 3 · 5 · . . . · (2n + 1));

(ii) Soit (a _n ) _n≥0 une suite de nombres complexes telle que la s´erie

P a n (−5) ⁿ converge mais la s´erie ^P a n 9 ⁿ diverge.

Est-ce vrai que le rayon de convergence R de la s´erie ^P a _n z ⁿ v´erifie 5 ≤ R ≤ 9 ?

Justifier sa r´eponse.

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