R´evision des vacances d’´et´e Les probabilit´es

R´ evision des vacances d’´ et´ e

Les probabilit´ es

R´ evision du cours de BCPST1 ` a destination des BCPST2.

R´ evision des vacances d’´ et´ e

Les probabilit´ es

R´ evision du cours de BCPST1 ` a destination des BCPST2.

❚❛❜❧❡ ❞❡s ♠❛t✐èr❡s

✶ ❉é♥♦♠❜r❡♠❡♥t ✸

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✷✳✶✳✷ ◆♦t✐♦♥s ❞✬é✈é♥❡♠❡♥ts ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✻

✷✳✶✳✸ ❖♣ér❛t✐♦♥s s✉r ❧❡s é✈é♥❡♠❡♥ts ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✼

✷✳✷ Pr♦❜❛❜✐❧✐té ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽

✷✳✷✳✶ ❉é✜♥✐t✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✶✽

✷✳✷✳✷ Pr♦♣r✐étés ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✵

✷✳✷✳✸ ➱q✉✐♣r♦❜❛❜✐❧✐té ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✸

✷✳✸ Pr♦❜❛❜✐❧✐té ❝♦♥❞✐t✐♦♥♥❡❧❧❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺

✷✳✸✳✶ ❉é✜♥✐t✐♦♥ ❡t ♣r♦♣r✐étés ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✺

✷✳✸✳✷ ❋♦r♠✉❧❡ ❞❡s ♣r♦❜❛❜✐❧✐tés ❝♦♠♣♦sé❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✽

✷✳✸✳✸ ❋♦r♠✉❧❡ ❞❡s ♣r♦❜❛❜✐❧✐tés t♦t❛❧❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✷✾

✷✳✸✳✹ ❋♦r♠✉❧❡s ❞❡ ❇❛②❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✵

✷✳✹ ■♥❞é♣❡♥❞❛♥❝❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✷

✷✳✹✳✶ ■♥❞é♣❡♥❞❛♥❝❡ ❞❡ ❞❡✉① é✈é♥❡♠❡♥ts ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✷

✷✳✹✳✷ ■♥❞é♣❡♥❞❛♥❝❡ ❞✬✉♥❡ ❢❛♠✐❧❧❡ ❞✬é✈é♥❡♠❡♥ts ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✸

✸ ❱❛r✐❛❜❧❡s ❛❧é❛t♦✐r❡s ❞✐s❝rèt❡s ✸✺

✸✳✶ ◆♦t✐♦♥ ❞❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❛❧é❛t♦✐r❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺

✸✳✶✳✶ ❉é✜♥✐t✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✺

✸✳✶✳✷ ▲♦✐ ❞✬✉♥❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❛❧é❛t♦✐r❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✼

✸✳✶✳✸ ❋♦♥❝t✐♦♥ ❞❡ ré♣❛rt✐t✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✸✾

✸✳✶✳✹ ❋♦♥❝t✐♦♥ ❞✬✉♥❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❛❧é❛t♦✐r❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✶

✸✳✶✳✺ ▼♦♠❡♥ts ❞✬✉♥❡ ✈❛r✐❛❜❧❡ ❛❧é❛t♦✐r❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✸

✸✳✷ ▲♦✐s ✉s✉❡❧❧❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✾

✸✳✷✳✶ ▲♦✐ ❝❡rt❛✐♥❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✹✾

✸✳✷✳✷ ▲♦✐ ✉♥✐❢♦r♠❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✵

✸✳✷✳✸ ▲♦✐ ❞❡ ❇❡r♥♦✉❧❧✐ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✵

✸✳✷✳✹ ▲♦✐ ❜✐♥♦♠✐❛❧❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✶

✸✳✷✳✺ ▲♦✐ ❤②♣❡r❣é♦♠étr✐q✉❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✷

✸✳✷✳✻ ❆♣♣r♦①✐♠❛t✐♦♥ ❞❡ ❧❛ ❧♦✐ ❤②♣❡r❣é♦♠étr✐q✉❡ ♣❛r ❧❛ ❧♦✐ ❜✐♥♦♠✐❛❧❡ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✹

✸✳✸ ❈♦✉♣❧❡ ❞❡ ✈❛r✐❛❜❧❡s ❛❧é❛t♦✐r❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✹

✶

❚❆❇▲❊ ❉❊❙ ▼❆❚■➮❘❊❙ ❚❆❇▲❊ ❉❊❙ ▼❆❚■➮❘❊❙

✸✳✸✳✶ Pr❡♠✐èr❡s ❞é✜♥✐t✐♦♥s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✹

✸✳✸✳✷ ❋♦♥❝t✐♦♥s ❞❡ (X, Y) ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✺✾

✸✳✸✳✸ ❈♦✈❛r✐❛♥❝❡✱ ❝♦❡✣❝✐❡♥t ❞❡ ❝♦rré❧❛t✐♦♥ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✶

✸✳✸✳✹ ❋❛♠✐❧❧❡ ❞❡ n ✈❛r✐❛❜❧❡ ❛❧é❛t♦✐r❡s ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✻✹

■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✷

P❛rt✐❡ ✶

❉é♥♦♠❜r❡♠❡♥t

✶✳✶ ❊♥s❡♠❜❧❡s ✜♥✐s

❙♦✐t E ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡✳

• ❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡ ❝❛r❞✐♥❛❧ ❞❡E✱ ❡t ♦♥ ♥♦t❡ ❈❛r❞(E)✭♦✉ |E|♦✉ ★(E)✮✱ ❧❡ ♥♦♠❜r❡

❞✬é❧é♠❡♥ts ❞✐st✐♥❝ts ❞❡ ❝❡t ❡♥s❡♠❜❧❡✳

• ❖♥ ❞✐t q✉❡E❡st ✜♥✐ s✐ s♦♥ ❝❛r❞✐♥❛❧ ❡st ✉♥ ❡♥t✐❡r ♥❛t✉r❡❧ ❡t q✉✬✐❧ ❡st ✐♥✜♥✐

❞❛♥s ❧❡ ❝❛s ❝♦♥tr❛✐r❡✳

Définition 1

☛ ❘❡♠❛rq✉❡ ✿

❈❡tt❡ ❞é✜♥✐t✐♦♥ ♥✬❡st ♣❛s ❛ss❡③ r✐❣♦✉r❡✉s❡ ♠❛✐s ♦♥ s✬❡♥ ❝♦♥t❡♥t❡ ❞❛♥s ❧❡ ♣r♦❣r❛♠♠❡ ❞❡s ❇❈P❙❚✶✳

❊♥ ré❛❧✐té✱ ❧❡ ❝❛r❞✐♥❛❧ ❞✬✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ✜♥✐ ♥♦♥ ✈✐❞❡F ❡st ❧✬❡♥t✐❡r ♥❛t✉r❡❧ ♥♦♥ ♥✉❧pt❡❧ q✉✬✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥❡

❜✐❥❡❝t✐♦♥ ❡♥tr❡ F ❡tJ1, pK✳

✌ ❊①❡♠♣❧❡ ✿

❙♦✐❡♥t n ❡tp ❞❡✉① ❡♥t✐❡rs ♥❛t✉r❡❧s ♥♦♥ ♥✉❧s t❡❧ q✉❡p6n✳

✶✳ ❈❛r❞({1❀3}) =2

✷✳ ❈❛r❞({1❀3❀3}) =2

✸✳ ❈❛r❞(J1, pK) =p

✹✳ ❈❛r❞(Jp, nK) =n−p+1

❋♦r♠✉❧❡ ❞✉ ❝r✐❜❧❡ ✭♦✉ ❞❡ P♦✐♥❝❛ré✮ ♣♦✉r ❞❡✉① ❡♥s❡♠❜❧❡s

❙♦✐❡♥t F❡t G❞❡✉① ❡♥s❡♠❜❧❡s ✜♥✐s✳ F∪G ❡st ❛❧♦rs ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ✜♥✐ ❡t ✿

❈❛r❞(F∪G) =❈❛r❞(F) +❈❛r❞(G) −❈❛r❞(F∩G) Proposition 2

✸

Partie 1: ❉é♥♦♠❜r❡♠❡♥t ❊♥s❡♠❜❧❡s ✜♥✐s

▼ét❤♦❞❡✿

❖♥ ✈❛ s❡ s❡r✈✐r ❞❡ ❝❡tt❡ ❢♦r♠✉❧❡ ♣♦✉r ❞é♥♦♠❜r❡r ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡E q✉❛♥❞ ♦♥ ♥✬❛rr✐✈❡ ♣❛s à ❞é♥♦♠❜r❡r E ❞✐r❡❝t❡♠❡♥t ♠❛✐s q✉✬♦♥ ❛rr✐✈❡ à ❞é♥♦♠❜r❡r ❞❡s s♦✉s✲♣❛rt✐❡s ❞❡ E✱ s♦✉s✲♣❛rt✐❡s ❛✉①q✉❡❧❧❡s ♦♥ ♣❡✉t

❞♦♥♥❡r ❞❡s ♣r♦♣r✐étés ✐♥tér❡ss❛♥t❡s ✭♦♥ ♣❡✉t ♣❛r ❡①❡♠♣❧❡ ❞é❝♦✉♣❡rE ❡♥ ❝❧❛ss❛♥t ❞❡s ♣❛rt✐❡s s✉✐✈❛♥t

❝❡rt❛✐♥❡s ❝❛r❛❝tér✐st✐q✉❡s✱ s❡❧♦♥ ❧❡✉r ❝❛r❞✐♥❛❧✱ ❧❡✉r ♣❧✉s ❣r❛♥❞ é❧é♠❡♥t✳✳✳✮✳ ❖♥ sé♣❛r❡E❡♥ ❞❡✉① ♣❛rt✐❡s A❡t B ✈ér✐✜❛♥tA∪B=E ❡tA∩B=∅✱ ❈❛r❞(E) ❡st ❛❧♦rs ❈❛r❞(A) +❈❛r❞(B)✳

❋♦r♠✉❧❡ ❞✉ ❝r✐❜❧❡ ✭♦✉ ❞❡ P♦✐♥❝❛ré✮

❙♦✐❡♥t n ✭n❡♥t✐❡r ♥❛t✉r❡❧ ♥♦♥ ♥✉❧✮ ❡♥s❡♠❜❧❡s ✜♥✐s ♥♦tés A1,· · · , An✳

n

[

i=1

Ai ❡st

❛❧♦rs ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ✜♥✐ ❡t ✿

❈❛r❞

n

[

i=1

Ai

!

=Z1−Z2+Z3+· · ·+ (−1)ⁿ⁻¹Zn

❛✈❡❝































Z₁ = X

16i6n

❈❛r❞(A_i)

Z2 = X

16i₁<i₂6n

❈❛r❞(A_i1 ∩Ai2)

Z3 = X

16i1<i2<i36n

❈❛r❞(A_i1∩Ai2∩Ai3)

· · ·

Zn =❈❛r❞(A₁∩ · · · ∩An).

Proposition 3

☛ ❘❡♠❛rq✉❡ ✿

❖♥ ✉t✐❧✐s❡ ❧❡s ♥♦t❛t✐♦♥s ❞❡ ❧❛ ♣ré❝é❞❡♥t❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥✳ ▲❛ ❢♦r♠✉❧❡ ❞✉ ❝r✐❜❧❡ ♥✬❡st ♣❛s ❢❛❝✐❧❡ à ❝♦♠♣r❡♥❞r❡

✭à ♣❛rt ❜✐❡♥ sûr ❞❛♥s ❧❡ ❝❛s ♦ù ❧❡s ❡♥s❡♠❜❧❡s s♦♥t ❞✐s❥♦✐♥ts ❞❡✉① à ❞❡✉① ♦ù ❈❛r❞

n

[

i=1

Ai

!

❡st t♦✉t s✐♠♣❧❡♠❡♥t

Xn

i=1

❈❛r❞(Ai)✳ ❊①♣❧✐❝✐t♦♥s ❧❡s ❝❤♦s❡s q✉❛♥❞ ✐❧ ② ❛ ♣❡✉ ❞✬❡♥s❡♠❜❧❡ ✿

✶✳ ❈❛r❞(A₁ ∪A₂∪A₃) =❈❛r❞(A₁) +❈❛r❞(A₂) +❈❛r❞(A₃) − [❈❛r❞(A₁∩A₂) +

❈❛r❞(A1 ∩A3) +❈❛r❞(A2∩A3)] +❈❛r❞(A1 ∩A2 ∩A3)

✷✳ ❈❛r❞(A1 ∪A2∪A3∪A4) = [❈❛r❞(A1) +❈❛r❞(A2) +❈❛r❞(A3) +❈❛r❞(A4)]

− [❈❛r❞(A1∩A2) +❈❛r❞(A1 ∩A3) + +❈❛r❞(A2 ∩A3) +❈❛r❞(A1∩A4) +

❈❛r❞(A₂∩A4) +❈❛r❞(A₃∩A4)] + [❈❛r❞(A₁ ∩A2 ∩A3) +❈❛r❞(A₁∩A2∩A4) +❈❛r❞(A2∩A3∩A4)] −❈❛r❞(A1 ∩A2 ∩A3 ∩A4)

➤ ❊①❡r❝✐❝❡ ✿

■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✹

Partie 1: ❉é♥♦♠❜r❡♠❡♥t

❖♥ ❧❛♥❝❡ tr♦✐s ❞és ❝❧❛ss✐q✉❡s ❞❡ ❧❛ ♠ê♠❡ ❝♦✉❧❡✉r✳ ❈♦♠❜✐❡♥ ♣❡✉t✲♦♥ ♦❜t❡♥✐r ❞❡ rés✉❧t❛ts ❞✐✛ér❡♥ts ❄

❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡E❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s rés✉❧t❛ts✳ ❖♥ ✈❛ ❞é❝♦✉♣❡rE❡♥ tr♦✐s s♦✉s✲♣❛rt✐❡sA✱B❡tC❝♦♥st✐t✉❛♥t

✉♥❡ ♣❛rt✐t✐♦♥ ❞❡ E✳ A ❡st ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s rés✉❧t❛ts ♣♦✉r ❧❡sq✉❡❧s ❧❡s tr♦✐s ❞és ♦♥t ❞♦♥♥é ❧❡ ♠ê♠❡

rés✉❧t❛t✱ B ❡st ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s rés✉❧t❛ts ♣♦✉r ❧❡sq✉❡❧s ❞❡✉① ❞és ❡①❛❝t❡♠❡♥t ♦♥t ❞♦♥♥é ❧❡ ♠ê♠❡

rés✉❧t❛t ❡tC❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s rés✉❧t❛ts ♣♦✉r ❧❡sq✉❡❧s ❧❡s tr♦✐s ❞és ♦♥t ❞♦♥♥é tr♦✐s rés✉❧t❛ts ❞✐st✐♥❝ts✳

(A, B, C) ❡st ❜✐❡♥ ✉♥❡ ♣❛rt✐t✐♦♥ ❞❡ E ✭❜✐❡♥ ❢❛✐r❡ ❛tt❡♥t✐♦♥ ❛✉ ♠♦t ❡①❛❝t❡♠❡♥t ❞❛♥s B q✉✐ ♣❡r♠❡t

❞❡ s✬❛ss✉r❡r q✉❡C∩B=∅✮✳ ❉é♥♦♠❜r♦♥s A✱ B ❡tC ✿

• P♦✉r ❝ré❡r ✉♥ é❧é♠❡♥t ❞❡A✱ ✐❧ ❢❛✉t ❡t ✐❧ s✉✣t ❞❡ ❝❤♦✐s✐r ✉♥ ❝❤✐✛r❡ ❝♦♠♣r✐s ❡♥tr❡1❡t6q✉✬♦♥

❛ttr✐❜✉❡ ❛✉① tr♦✐s ❞és✱ ♦♥ ❛ ❞♦♥❝ 6❝❤♦✐①✳ ❖♥ ❡♥ ❞é❞✉✐t q✉❡ ❈❛r❞(A) =6✳

• P♦✉r ❝ré❡r ✉♥ é❧é♠❡♥t ❞❡ B✱ ✐❧ ❢❛✉t ❡t ✐❧ s✉✣t ❞❡ ❝❤♦✐s✐r ✉♥ ❝❤✐✛r❡ ❝♦♠♣r✐s ❡♥tr❡ 1 ❡t 6 q✉✬♦♥ ❛ttr✐❜✉❡ ❛✉① ❞❡✉① ❞és ❛②❛♥t ♠ê♠❡ rés✉❧t❛t ✭♦♥ ❛ ❞♦♥❝ 6 ❝❤♦✐①✮ ♣✉✐s ♦♥ ❝❤♦✐s✐t ✉♥

❛✉tr❡ rés✉❧t❛t ♣♦✉r ❧✬❛✉tr❡ ❞é ✭♦♥ ❛ ❞♦♥❝ 5 ❝❤♦✐①✮✳ ❖♥ ❡♥ ❞é❞✉✐t q✉❡ ❈❛r❞(B) =6×5 s♦✐t

❈❛r❞(B) =30✳

• P♦✉r ❝ré❡r ✉♥ é❧é♠❡♥t ❞❡ C✱ ✐❧ ❢❛✉t ❡t ✐❧ s✉✣t ❞❡ ❝❤♦✐s✐r tr♦✐s ❝❤✐✛r❡s ❝♦♠♣r✐s ❡♥tr❡ 1 ❡t 6 s❛♥s ❧❡s ♦r❞♦♥♥❡r ✭❝❛r ♦♥ ♥❡ ❞✐s❝❡r♥❡ ♣❛s ❡♥tr❡ ❡✉① ❧❡s ❞és✱ 1✱ 2✱ 3 ♦✉ 3✱ 2✱ 1✱ ❝✬❡st ✐❝✐ ❧❡

♠ê♠❡ rés✉❧t❛t✮✱ ♦♥ ❛ ❞♦♥❝

6 3

❝❤♦✐① ✭❝❢✳ ♥♦t✐♦♥ ❞❡ ❝♦♠❜✐♥❛✐s♦♥ ✉♥ ♣❡✉ ♣❧✉s ❧♦✐♥✮ ❞✬♦ù

❈❛r❞(C) =20✳

❈❛r❞(E) = ❈❛r❞(A) +❈❛r❞(B) +❈❛r❞(C) ❞♦♥♥❡ ❞♦♥❝ ❈❛r❞(E) = 56✳ ❱♦✉s r❡♠❛rq✉❡③ q✉❡ ❞❛♥s

❧❡ ❝❛s B✱ ♦♥ ♥✬❛ ♣❛s ❢❛✐t ✉♥❡ ét❛♣❡ ♣♦✉r ❝❤♦✐s✐r ❧❡s ❞és ❝❛r ♦♥ ♥❡ ❞✐s❝❡r♥❡ ♣❛s ❡♥tr❡ ❡✉① ❧❡s ❞és ✦

❙✐ ✈♦✉s ❛✈❡③ ✉♥ ♣❡✉ ❞❡ ♠❛❧ ❛✈❡❝ ❝❡tt❡ ♥♦t✐♦♥✱ ♦♥ ✈♦✉s ❝♦♥s❡✐❧❧❡ ❧✬❡①❝❡❧❧❡♥t ♣r❡♠✐❡r ❡①❡r❝✐❝❡ ❞❡ ❝❡

❝❤❛♣✐tr❡✱ ❝❡❧✉✐ ❛✈❡❝ ❧❡s ❞✐❛♠❛♥ts✳✳✳

♣✮ ❈♦r♦❧❧❛✐r❡ ✹ ✿

❙♦✐❡♥t E ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ❡tA ✉♥❡ ♣❛rt✐❡ ❞❡ E✳

✶✳ ❖♥ ♣❡✉t ❛✣r♠❡r q✉❡ A ❡st ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ✜♥✐ ❡t |A|6 |E|✳ ❉❡ ♣❧✉s✱ ♦♥ ❛ |A|=|E|✉♥✐q✉❡♠❡♥t s✐ E=A✳

✷✳ E\A ❡st ❛✉ss✐ ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ✜♥✐ ❡t ✿ ❈❛r❞(E\A) =❈❛r❞(E) −❈❛r❞(A)✳

▼ét❤♦❞❡✿

✶✳ ❍❛❜✐t✉❡❧❧❡♠❡♥t✱ ♣♦✉r ❞é♠♦♥tr❡r ❧✬é❣❛❧✐té ❞❡ ❞❡✉① ❡♥s❡♠❜❧❡s✱ ♦♥ ♣ré❝è❞❡ ♣❛r ❞♦✉❜❧❡✲✐♥❝❧✉s✐♦♥✳

❈❡ ❝♦r♦❧❧❛✐r❡ ♥♦✉s ❞✐t q✉❡✱ ❞❛♥s ❧❡ ❝❛s ❞❡s ❡♥s❡♠❜❧❡s ✜♥✐s✱ ✐❧ s✉✣t ❞❡ ❞é♠♦♥tr❡r ✉♥❡ s❡✉❧❡

❞❡s ❞❡✉① ✐♥❝❧✉s✐♦♥s ❞ès ❧♦rs q✉✬♦♥ s❛✐t q✉❡ ❧❡s ❝❛r❞✐♥❛✉① ❞❡s ❞❡✉① ❡♥s❡♠❜❧❡s s♦♥t é❣❛✉①✳ ❖♥

❞✐s♣♦s❡ ❞♦♥❝ ❞✬✉♥❡ ❛✉tr❡ ♠ét❤♦❞❡ ♣♦✉r ♠♦♥tr❡r ❧✬é❣❛❧✐té ❡♥tr❡ ❞❡s ❡♥s❡♠❜❧❡s ❞❛♥s ❧❡ ❝❛s ♦ù

❧❡s ❡♥s❡♠❜❧❡s s♦♥t ✜♥✐s✳

✷✳ ❖♥ ♣❡✉t r❡t❡♥✐r ❛✉ss✐ ❞❡ ❝❡ ❝♦r♦❧❧❛✐r❡ q✉❡✱ q✉❛♥❞ ♦♥ ❝❤❡r❝❤❡ ❈❛r❞(A) ❛✈❡❝ A ♣❛rt✐❡ ❞✬✉♥

❡♥s❡♠❜❧❡ E ✜♥✐✱ ♦♥ ♣❡✉t ❞✐r❡ q✉❡ ❈❛r❞(A) ❡st ❈❛r❞(E) − ❈❛r❞(A)✠ ❡t ❝❤❡r❝❤❡r à é✈❛❧✉❡r

❈❛r❞(A)✠ s✐ ✠A ❡st ♣❧✉s s✐♠♣❧❡ à ❞é♥♦♠❜r❡r✳ P❡♥s❡③ à ❝❡tt❡ ❢♦r♠✉❧❡ ❡♥ ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r ❛✈❡❝ ❞❡s

❡①♣r❡ss✐♦♥s ❞✉ t②♣❡ ✧❛✉ ♠♦✐♥s✧ ♦✉ ✧❛✉ ♣❧✉s✧✳ P❛r ♣❛ss❛❣❡ ❛✉ ❝♦♠♣❧é♠❡♥t❛✐r❡✱ ✧❛✉ ♠♦✐♥s✧

❞❡✈✐❡♥t ✧str✐❝t❡♠❡♥t ♣❧✉s ❞❡✧ ❡t ✧❛✉ ♣❧✉s✧ ✧str✐❝t❡♠❡♥t ♠♦✐♥s ❞❡✧✳✳✳ ❡t ❝✬❡st ♣❛r❢♦✐s ♣❧✉s s✐♠♣❧❡ ✦

➤ ❊①❡r❝✐❝❡ ✿

■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✺

Partie 1: ❉é♥♦♠❜r❡♠❡♥t ❊♥s❡♠❜❧❡s ✜♥✐s

❉❛♥s ✉♥ ❥❡✉ ❞❡ ✺✷ ❝❛rt❡s✱ ❞é♥♦♠❜r❡③ ❧❡s ♠❛✐♥s ❞❡ ✺ ❝❛rt❡s ❛②❛♥t ❛✉ ♠♦✐♥s ✷ ❝÷✉rs✳

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❈❡rt❛✐♥s ♣❡♥s❡♥t q✉❡ ❝✬❡st 13

2 50

3

✭♦♥ ♣r❡♥❞ ❞❡✉① ❝÷✉rs ♣✉✐s ♦♥ ❝♦♠♣❧èt❡ ❧❛ ♠❛✐♥✳✳✳✮ ❡❤ ❜✐❡♥

❝✬❡st ❢❛✉①✱ ✈♦✉s t♦♠❜❡③ ❛❧♦rs ❞❛♥s ✉♥ ♣✐è❣❡ ❝❧❛ss✐q✉❡ ❞✉ ❞é♥♦♠❜r❡♠❡♥t q✉✐ ❝♦♥s✐st❡ à ❝♦♠♣t❡r

♣❧✉s✐❡✉rs ❢♦✐s ❧❡ ♠ê♠❡ ♦❜❥❡t✳ ❙✐ ♦♥ ♣r❡♥❞ ♣❛r ❡①❡♠♣❧❡ ❧❛ ♠❛✐♥ ✧✷ ❞❡ ❝÷✉r✱ ✸ ❞❡ ❝÷✉r✱ ✹ ❞❡ ❝÷✉r✱ ✷

❞❡ trè✢❡✱ ✸ ❞❡ trè✢❡✧✱ ♦♥ ✈❛ ❧❛ ❝♦♠♣t❡r ❞❛♥s ✿ ✧❖♥ ♣r❡♥❞ ❞❡✉① ❝÷✉rs ✭✷ ❞❡ ❝÷✉r✱ ✸ ❞❡ ❝÷✉r✮ ❡t ♦♥

❝♦♠♣❧èt❡ ✭✹ ❞❡ ❝÷✉r✱ ✷ ❞❡ trè✢❡✱ ✸ ❞❡ trè✢❡✮✧ ♠❛✐s ❛✉ss✐ ❞❛♥s ✧♦♥ ♣r❡♥❞ ❞❡✉① ❝÷✉rs ✭✷ ❞❡ ❝÷✉r✱

✹ ❞❡ ❝÷✉r✮ ❡t ♦♥ ❝♦♠♣❧èt❡ ✭✸ ❞❡ ❝÷✉r✱ ✷ ❞❡ trè✢❡✱ ✸ ❞❡ trè✢❡✮✧✳✳✳ ❖♥ ♥♦t❡E ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ♠❛✐♥s

❞❡ ❝✐♥q ❝❛rt❡s ❡tA❝❡❧❧❡s ❛②❛♥t ❛✉ ♠♦✐♥s ❞❡✉① ❝❛rt❡s ❞❡ ❝÷✉r✳ ✠A❡st ❛❧♦rs ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ♠❛✐♥s ❞❡

❝✐♥q ❝❛rt❡s ❛②❛♥t ❛✉ ♣❧✉s ✉♥❡ ❝❛rt❡ ❞❡ ❝÷✉r ✐✳❡✳ ✶ ♦✉ ✵ ❞✬♦ù ❡♥ ✉t✐❧✐s❛♥t ❧❛ ❢♦r♠✉❧❡ ❞✉ ❝r✐❜❧❡ ✿

❈❛r❞(A) =✠ 39

5

+ 13

1 39

4

39 4

❝❛r ♦♥ ❝❤♦✐s✐t ❝✐♥q ❝❛rt❡s ♣❛r♠✐ ❧❡s ✸✾ q✉✐ ♥❡ s♦♥t ♣❛s ❞❡s ❝÷✉rs ❡t 13

1 39

4

❝❛r ♦♥ ♣r❡♥❞

✉♥ ❝÷✉r ❡t ♦♥ ❝♦♠♣❧èt❡ ❛✈❡❝ q✉❛tr❡ ❝❛rt❡s q✉✐ ♥❡ s♦♥t ♣❛s ❞❡s ❝÷✉rs✳ ❖♥ ❛ ❞♦♥❝ ✿

❈❛r❞(A) =❈❛r❞(E) −❈❛r❞(A)✠

= 52

5

− 39

5

− 13

1 39

4

=· · ·

❙♦✐❡♥t F❡t G❞❡✉① ❡♥s❡♠❜❧❡s ✜♥✐s✳ F×G ❡st ❛❧♦rs ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ✜♥✐ ❡t ✿

❈❛r❞(F×G) =❈❛r❞(F)×❈❛r❞(G).

Proposition 5

☛ ❘❡♠❛rq✉❡ ✿

❖♥ ✉t✐❧✐s❡ ❧❡s ♥♦t❛t✐♦♥s ❞❡ ❧❛ ♣ré❝é❞❡♥t❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥✳

✶✳ ❯t✐❧✐s♦♥s ❧❡s ♥♦t❛t✐♦♥s ♣ré❝é❞❡♥t❡s✳ ▲❛ ❢♦r♠✉❧❡ s✉r ❈❛r❞(F×G) s❡ ✈✐s✉❛❧✐s❡ très ❜✐❡♥ ❣r❛♣❤✐✲

q✉❡♠❡♥t s♦✉s ❢♦r♠❡ ❞✬✉♥ t❛❜❧❡❛✉ à ❈❛r❞(F) ❧✐❣♥❡s ❡t ❈❛r❞(G) ❝♦❧♦♥♥❡s✳ ❖♥ ❝♦♥st❛t❡ q✉❡ ❝❡

t❛❜❧❡❛✉✱ q✉✐ ❛ ❈❛r❞(F×G) é❧é♠❡♥ts✱ ❛ ❈❛r❞(F)×❈❛r❞(G) é❧é♠❡♥ts✳

✷✳ ❊♥ ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r✱ Fⁿ ❛✈❡❝ n ✉♥ ❡♥t✐❡r ♥❛t✉r❡❧ ❡st ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ✜♥✐ ❡t ♦♥ ♣r♦✉✈❡ ❢❛❝✐❧❡♠❡♥t à

♣❛rt✐r ❞❡ ❝❡tt❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥ ✭♣❛r ré❝✉rr❡♥❝❡✮ q✉❡ ✿ ❈❛r❞(Fⁿ) ❡st (❈❛r❞(F))ⁿ✳

▼ét❤♦❞❡✿

❖♥ ✈❛ ❞é❝r✐r❡ ♣❛r s✉❝❝❡ss✐♦♥ ❧❡s ♦❜❥❡ts q✉✐ ❝♦♠♣♦s❡♥t ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ E q✉✬♦♥ ✈❡✉t ❞é♥♦♠❜r❡r✳ ❱♦tr❡

r❛✐s♦♥♥❡♠❡♥t ❞♦✐t r❡ss❡♠❜❧❡r à ç❛ ✿ P♦✉r ❝♦♥str✉✐r❡ ✉♥ é❧é♠❡♥t ❞❡E✱ ✐❧ ❢❛✉t ❡t ✐❧ s✉✣t ❞❡ ✿

• ❞✬❛❜♦r❞ ❢❛✐r❡ ❝❡❝✐✱ ♦♥ ❛ a ❝❤♦✐①✳

■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✻

Partie 1: ❉é♥♦♠❜r❡♠❡♥t

• P✉✐s ✉♥❡ ❢♦✐s q✉✬♦♥ ❛ ❢❛✐t ❧✬ét❛♣❡ ♣ré❝é❞❡♥t❡✱ ♦♥ ❢❛✐t ❝❡❝✐ ❡t ♦♥ ❛ b ❝❤♦✐① q✉❡❧ q✉❡ s♦✐t ❧❡

rés✉❧t❛t ❞❡ ❧❛ ♣r❡♠✐èr❡ ét❛♣❡

• ❡t❝✳✳✳

❖♥ ❡st ❡♥ tr❛✐♥ ❞❡ ❞é❝r✐r❡ ✉♥ ❛r❜r❡ éq✉✐❧✐❜ré ♦✉ ✉♥ n✲✉♣❧❡t✳ ■❧ s✉✣t ❛♣rès ❞❡ ♠✉❧t✐♣❧✐❡r✳ ❙♦②❡③ r✐❣♦✉r❡✉①✱ ✈♦tr❡ s✉❝❝❡ss✐♦♥ ❞♦✐t ❞é❝r✐r❡ ♣ré❝✐sé♠❡♥t t♦✉s ❧❡s é❧é♠❡♥ts ❞❡ E✳ ❆tt❡♥t✐♦♥ ❛✉ss✐✱ ❞❛♥s ❧❛

❞❡s❝r✐♣t✐♦♥ ♣ré❝é❞❡♥t❡✱ ♦♥ ❛ ♣r✐s s♦✐♥ ❞❡ ♣ré❝✐s❡r q✉✬à ❧❛ ❞❡✉①✐è♠❡ ét❛♣❡✱ ♦♥ ❛✈❛✐t b❝❤♦✐① q✉❡❧ q✉❡

s♦✐t ❧❡ rés✉❧t❛t ❞❡ ❧❛ ♣r❡♠✐èr❡ ét❛♣❡✳✳✳ ❙✐ ❧❡ ♥♦♠❜r❡ ❞❡ ❝❛s à ❧❛ ❞❡✉①✐è♠❡ ét❛♣❡ ❞é♣❡♥❞ ❞❡ s♦✉s✲❝❛s

❞❡ ❧❛ ♣r❡♠✐èr❡ ét❛♣❡✱ ❛✉t❛♥t ❞✐r❡ q✉❡ ç❛ ✈❛ êtr❡ ✉♥ ❜❛③❛r ♣❛s ♣♦ss✐❜❧❡ ✦ ▼✐❡✉① ✈❛✉t ❛❧♦rs ♦r❞♦♥♥❡r

❞✐✛ér❡♠♠❡♥t ❧❡s ❝❤♦s❡s ♦✉ ❝❤❛♥❣❡r ❞❡ ♠ét❤♦❞❡ ✦

➤ ❊①❡r❝✐❝❡ ✿

❖♥ ♣✐♦❝❤❡ ✶✵ ❧❡ttr❡s ❞✐✛ér❡♥t❡s ❞❡✉① à ❞❡✉① ❝♦♥st✐t✉é❡s ❞❡ ✹ ✈♦②❡❧❧❡s ❡t ✻ ❝♦♥s♦♥♥❡s✳ ❈♦♠❜✐❡♥

♣❡✉t✲♦♥ ❢♦r♠❡r ❞❡ ♠♦ts ❞❡ ✺ ❧❡ttr❡s ❞✐✛ér❡♥t❡s ❞❡✉① à ❞❡✉① ❛✈❡❝ ✷ ✈♦②❡❧❧❡s ❡t ✸ ❝♦♥s♦♥♥❡s ✭✉♥ ♠♦t

♥✬❛②❛♥t ♣❛s ♥é❝❡ss❛✐r❡♠❡♥t ❞❡ s✐❣♥✐✜❝❛t✐♦♥ ✦✮✳

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❆❧♦rs✱ ♦♥ ♣❡✉t r❛✐s♦♥♥❡r ❞❡ ♣❧✉s✐❡✉rs ❢❛ç♦♥s✳ ❊♥ ✈♦✐❝✐ ✉♥❡ ♣r❡♠✐èr❡ ✿ ♣♦✉r ❢♦r♠❡r ✉♥ ♠♦t ❞❡ ✺

❧❡ttr❡s ❛✈❡❝ ✷ ✈♦②❡❧❧❡s ❡t ✸ ❝♦♥s♦♥♥❡s✱ ✐❧ ❢❛✉t ❡t ✐❧ s✉✣t ❞❡ ✿

✶✳ ❈❤♦✐s✐r ❧❡s ✷ ✈♦②❡❧❧❡s ❞❡ ♠❛♥✐èr❡ ♥♦♥ ♦r❞♦♥♥é❡✱ ♦♥ ❛ 4

2

❝❤♦✐① ♣♦✉r ❝❡tt❡ ét❛♣❡✳

✷✳ ❈❤♦✐s✐r ❧❡s ✸ ❝♦♥s♦♥♥❡s ❞❡ ♠❛♥✐èr❡ ♦r❞♦♥♥é❡✱ ♦♥ ❛ ❆³6 ❝❤♦✐① ♣♦✉r ❝❡tt❡ ét❛♣❡✳

✸✳ ❈❤♦✐s✐r ✷ ♣❧❛❝❡s ♣♦✉r ❧❡s ✈♦②❡❧❧❡s ❡♥ ♦r❞♦♥♥❛♥t✱ ♦♥ ❛ ❆²5 ❝❤♦✐① ♣♦✉r ❝❡tt❡ ét❛♣❡✳

✹✳ ❊t ♦♥ ♣❧❛❝❡ ❧❡s ❝♦♥s♦♥♥❡s ❛✉① ♣❧❛❝❡s r❡st❛♥t❡s✳ ❈♦♠♠❡ ❡❧❧❡s s♦♥t ❞é❥à ♦r❞♦♥♥é❡s✱ ✐❧ r❡st❡ ✉♥

❝❤♦✐①✳

P♦✉r ✐❧❧✉str❡r ❝❡s ét❛♣❡s✱ ♦♥ ♣❡✉t ♣r❡♥❞r❡ ✉♥ ❡①❡♠♣❧❡ ❝♦♥❝r❡t ❞❡ ♠♦t ❝réé✳ ■♠❛❣✐♥♦♥s ♣❛rt✐r ❞❡s

❧❡ttr❡s s✉✐✈❛♥t❡s ✿

❆✱ ❊✱ ■✱ ❖✱ ❇✱ ❈✱ P✱ ❙✱ ❚✱ ❘✳

❆ ❧❛ ♣r❡♠✐èr❡ ét❛♣❡✱ ♦♥ ❝❤♦✐s✐t ❧❡s ✈♦②❡❧❧❡s ❆ ❡t ❖ ❞❡ ♠❛♥✐èr❡ ♥♦♥ ♦r❞♦♥♥é❡ ♣✉✐s ♦♥ ❝❤♦✐s✐t ❧❡s

❝♦♥s♦♥♥❡s P✱ ❘ ❡t ❇ ❞❡ ♠❛♥✐èr❡ ♦r❞♦♥♥é❡ ♣✉✐s ♦♥ ❞é❝✐❞❡ ❞❡ ♣r❡♥❞r❡ ❧❛ ❞❡r♥✐èr❡ ♣❧❛❝❡ ♣♦✉r ❧❡ ❆ ❡t

❧❛ tr♦✐s✐è♠❡ ♣♦✉r ❧❡ ❖✳ ❈♦♠♠❡ ❧❡s ❝♦♥s♦♥♥❡s s♦♥t ❞é❥à ♦r❞♦♥♥é❡s✱ ♦♥ ✈✐❡♥t ❞❡ ❝♦♥st✐t✉❡r ❧❡ ♠♦t ✿ P ❘ ❖ ❇ ❆

Pr♦❜❛ ✦ ■❧ ② ❛ ❞♦♥❝

4 2

×❆³6×❆²5 ×1❝❤♦✐① ✐✳❡✳✳✳✳ ✭❡t ❧à✱ ♦♥ ✈♦✉s ❧❛✐ss❡ ✉t✐❧✐s❡r ✈♦tr❡ ❝❛❧❝✉❧❛tr✐❝❡

♣ré❢éré❡ ✦✮✳ ❖♥ tr♦✉✈❡ ❧❡ ♠ê♠❡ rés✉❧t❛t ♥✉♠ér✐q✉❡ s✐ ♦♥ ❞é❝✐❞❡ ❞❡ ♥❡ ♣❛s ♦r❞♦♥♥❡r ❧❡s ♣❧❛❝❡s ♠❛✐s

❞✬♦r❞♦♥♥❡r ✉♥ ♣❡✉ ♣❧✉s ❧❡s ❧❡ttr❡s ✦

♣✮ ❈♦r♦❧❧❛✐r❡ ✻ ✿

❙♦✐t E ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ✜♥✐ ❞❡ ❝❛r❞✐♥❛❧ n✳ ▲❡ ♥♦♠❜r❡ ❞❡ p✲❧✐st❡s ❞❡ E ✈❛✉tn^p✳

➤ ❊①❡r❝✐❝❡ ✿

❖♥ ♠❡t ❞✐① ❜♦✉❧❡s ♥✉♠ér♦té❡s ❞❡ 1 à 10 ❞❛♥s ✉♥❡ ✉r♥❡✳ ❖♥ t✐r❡ ❝✐♥q ❜♦✉❧❡s ❛✉ ❤❛s❛r❞ ❡t ❛✈❡❝

r❡♠✐s❡✳ ❈♦♠❜✐❡♥ ②✲❛✲t✲✐❧ ❞❡ t✐r❛❣❡s ❝♦♠♠❡♥ç❛♥t ♣❛r ❧❛ ❜♦✉❧❡ ♥✉♠ér♦ ✶ ❡t s❡ t❡r♠✐♥❛♥t ♣❛r ❧❛ ❜♦✉❧❡

♥✉♠ér♦ ✶✵ ❄

■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✼

Partie 1: ❉é♥♦♠❜r❡♠❡♥t ❊♥s❡♠❜❧❡s ✜♥✐s

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ P♦✉r ❧❡ ♣r❡♠✐❡r ❡t ❧❡ ❞❡r♥✐❡r t✐r❛❣❡✱ ♦♥ ♥✬❛ q✉✬✉♥ s❡✉❧ ❝❤♦✐① ✭❇♦✉❧❡ ✶ ❛✉ ♣r❡♠✐❡r t✐r❛❣❡ ❡t ❇♦✉❧❡ ✶✵

❛✉ ❞❡r♥✐❡r t✐r❛❣❡✮✳ P♦✉r ❧❡s tr♦✐s ❛✉tr❡s t✐r❛❣❡s✱ ♦♥ ❛ 10³ ❝❤♦✐① ✭❝❛r ré♣ét✐t✐♦♥ ❡t ♦r❞r❡ ❝❛r ♦♥ ❢❛✐t

✉♥ t✐r❛❣❡ ❛✈❡❝ r❡♠✐s❡✮✳ ❖♥ ❛ ❞♦♥❝ ❡♥ t♦✉t10³×1 ❝❤♦✐① ✐✳❡✳ ✶✵✵✵ ❝❤♦✐①✳

❙♦✐t E ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ✜♥✐ à n é❧é♠❡♥t✭s✮✳ P(E) ❡st ❛❧♦rs ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ✜♥✐ ❡t ❞❡

❝❛r❞✐♥❛❧ 2ⁿ✳ Proposition 7

➤ ❊①❡r❝✐❝❡ ✿

Pr♦✉✈❡③ ❝❡tt❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

❖♥ ✈❛ ♣r♦❝é❞❡r ♣❛r ré❝✉rr❡♥❝❡ ✿ P♦✉r t♦✉t ❡♥t✐❡r ♥❛t✉r❡❧ n✱ ♦♥ ❛♣♣❡❧❧❡ Pn ❧✬❤②♣♦t❤ès❡✿

✧❯♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡ ❝❛r❞✐♥❛❧ n ❛ 2ⁿ ♣❛rt✐❡s ✧.

❙✐E ❛ 0é❧é♠❡♥t✱ E ❡st∅✳ E ♣♦ssè❞❡ ❞♦♥❝ ✉♥❡ ♣❛rt✐❡ ✭q✉✐ ❡st{∅}✮ ❡t 2⁰ ❡st ❜✐❡♥1✳ P₀ ❡st ❞♦♥❝ ✈r❛✐❡✳ ❙♦✐tn ✉♥ ❡♥t✐❡r ♥❛t✉r❡❧✳ ❖♥ s✉♣♣♦s❡ P(n) ✈r❛✐❡✳

❙♦✐t E✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡ ❝❛r❞✐♥❛❧n+1✳ ❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡ x ❧✬✉♥ ❞❡ s❡s é❧é♠❡♥ts ❡t ♦♥ ✐♥tr♦❞✉✐t ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡

E\ {x} q✉✬♦♥ ❛♣♣❡❧❧❡ F✳ ❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡A ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ♣❛rt✐❡s ❞❡ E ❝♦♥t❡♥❛♥t x ❡t B ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s

♣❛rt✐❡s ❞❡ E ♥❡ ❝♦♥t❡♥❛♥t ♣❛sx✳{A, B} ❝♦♥st✐t✉❛♥t ❝❧❛✐r❡♠❡♥t ✉♥❡ ♣❛rt✐t✐♦♥ ❞❡P(E)✱ ♦♥ ❛ ❞♦♥❝ ✿

❈❛r❞(P(E)) =❈❛r❞(A) +❈❛r❞(B).

Bét❛♥t ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ♣❛rt✐❡s ❞❡F ❡tF ❛②❛♥tné❧é♠❡♥ts✱ ♦♥ ❡♥ ❞é❞✉✐t ❞✬❛♣rès Pn q✉❡ ❈❛r❞(B) = 2ⁿ✳ P♦✉r ❝♦♥str✉✐r❡ ✉♥ é❧é♠❡♥t ❞❡ A✱ ✐❧ ❢❛✉t ❡t ✐❧ s✉✣t ❞❡ ✿

• ❉✬❛❜♦r❞ ♣r❡♥❞r❡ x✱ ♦♥ ❛1 ❝❤♦✐①✳

• P✉✐s ❝❤♦✐s✐r ✉♥❡ ♣❛rt✐❡ Z ❞❡F✱ ♦♥ ❛ 2ⁿ ❝❤♦✐① ❞✬❛♣rèsPn✳

❖♥ ❝♦♥❝❛tè♥❡✱ {x}∪Z ❡st ❝❡ q✉✬♦♥ ✈♦✉❧❛✐t ♦❜t❡♥✐r✳ A ❡st ❞♦♥❝ ❞❡ ❝❛r❞✐♥❛❧ 1×2ⁿ✱ ✐✳❡✳ 2ⁿ✳ ❖♥ ❛

❞♦♥❝ ❈❛r❞(P(E)) =2ⁿ+2ⁿs♦✐t ❈❛r❞(P(E)) =2ⁿ⁺¹✳ ❖♥ ♣❡✉t ❞♦♥❝ ❝♦♥❝❧✉r❡ q✉❡ E✱ ❡♥s❡♠❜❧❡ à n é❧é♠❡♥t✭s✮✱ ❛ 2ⁿ ♣❛rt✐❡s✳

Pn+1 ❡st ❞♦♥❝ ✈r❛✐❡ s✐Pn ❧✬❡st✳

P₀ ❡st ✈r❛✐❡ ❡t✱ ♣♦✉r t♦✉t ❡♥t✐❡r ♥❛t✉r❡❧n✱ P_n ✐♠♣❧✐q✉❡ Pn+1✳ P_n ❡st ❞♦♥❝ ✈r❛✐❡ ♣♦✉r t♦✉t ❡♥t✐❡r

♥❛t✉r❡❧n ❞✬❛♣rès ❧❡ ♣r✐♥❝✐♣❡ ❞❡ ré❝✉rr❡♥❝❡✳

■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✽

Partie 1: ❉é♥♦♠❜r❡♠❡♥t

✶✳✷ ❆rr❛♥❣❡♠❡♥t ❡t ❝♦♠❜✐♥❛✐s♦♥

❙♦✐❡♥t p❡t n ❞❡✉① ❡♥t✐❡rs ♥❛t✉r❡❧s ♥♦♥ ♥✉❧s t❡❧s q✉❡p6n✳

• ❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡ ❛rr❛♥❣❡♠❡♥t ❞❡ p é❧é♠❡♥ts ❞❡ J1, nK ♦✉ p✲❛rr❛♥❣❡♠❡♥t ❞❡

J1, nK t♦✉t p✲✉♣❧❡t (x1,· · · , xp) ❞❡ J1, nK^p ❝♦♠♣♦sé ❞✬é❧é♠❡♥ts ❞✐st✐♥❝ts

❞❡✉① à ❞❡✉①✳

• ❖♥ ♥♦t❡ A^p_n ❧❡ ❝❛r❞✐♥❛❧ ❞❡ ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ❛rr❛♥❣❡♠❡♥ts ❞❡ pé❧é♠❡♥ts ❞❡

J1, nK✳

• ❖♥ ♣♦s❡A^p_n =0 s✐ p > n ♦✉ s✐ n=0✳

• ❯♥ ❛rr❛♥❣❡♠❡♥t ❞❡ n é❧é♠❡♥ts ❞❡ J1, nK s✬❛♣♣❡❧❧❡ ✉♥❡ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ❞❡

J1, nK✳ ❖♥ ♥♦t❡σ(n) ❧❡ ❝❛r❞✐♥❛❧ ❞❡ ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥s ❞❡J1, nK✳

Définition 8

☛ ❘❡♠❛rq✉❡ ✿

❯♥ ❛rr❛♥❣❡♠❡♥t ❡st ❞♦♥❝ ✉♥ p✲✉♣❧❡t ❞❛♥s ❧❡q✉❡❧ ♦♥ ✐♥t❡r❞✐t ❧❛ ré♣ét✐t✐♦♥✳ (1, 2, 3, 6) ❡st ✉♥ 4✲✉♣❧❡t

❡t ✉♥ ❛rr❛♥❣❡♠❡♥t ❞❡J1, 6K t❛♥❞✐s q✉❡(1, 2, 3, 2)❡st ✉♥ 4✲✉♣❧❡t ♠❛✐s ♣❛s ✉♥ ❛rr❛♥❣❡♠❡♥t ❞❡J1, 6K✳

❙♦✐❡♥t p✉♥ ❡♥t✐❡r ♥❛t✉r❡❧ ♥♦♥ ♥✉❧ ❡t E ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ✜♥✐✳

• ❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡ ❛rr❛♥❣❡♠❡♥t ❞❡ pé❧é♠❡♥ts ❞❡ E ♦✉p✲❛rr❛♥❣❡♠❡♥t ❞❡ Et♦✉t p✲✉♣❧❡t (x1,· · · , xp) ❞❡E ❝♦♠♣♦sé ❞✬é❧é♠❡♥ts ❞✐st✐♥❝ts ❞❡✉① à ❞❡✉①✳

• ❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡ ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥ ❞❡E t♦✉t❡ ❜✐❥❡❝t✐♦♥ ❞❡ E❞❛♥s E❡t ♦♥ ♥♦t❡ σ(E)

❧❡ ❝❛r❞✐♥❛❧ ❞❡ ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ♣❡r♠✉t❛t✐♦♥s ❞❡ E✳ σ(E) ❡st ❞♦♥❝ A^k_k ❡♥

♥♦t❛♥t k❧❡ ❝❛r❞✐♥❛❧ ❞❡ E✳ Définition 9

❙♦✐❡♥t p❡t n ❞❡✉① ❡♥t✐❡rs ♥❛t✉r❡❧s ♥♦♥ ♥✉❧s t❡❧s q✉❡p6n✳ ❙♦✐t E✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡

✜♥✐ ❞❡ ❝❛r❞✐♥❛❧ n✳A^p_n ❡st ❧❡ ❝❛r❞✐♥❛❧ ❞❡ ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡sp✲❛rr❛♥❣❡♠❡♥t ❞❡ E✳ Proposition 10

✌ ❊①❡♠♣❧❡ ✿

✶✳ ▲❡s 3✲❛rr❛♥❣❡♠❡♥ts ❞❡ J2, 6K s♦♥t ✿ (2, 3, 4)✱ (2, 3, 5)✱ (2, 3, 6)✱ (2, 4, 3)✱ (2, 4, 5)✱ (2, 4, 6)✱ (2, 5, 3)✱(2, 5, 4)✱(2, 5, 6)✱(2, 6, 3)✱(2, 6, 4)✱(2, 6, 5)✱(3, 2, 4)✱(3, 2, 5)✱(3, 2, 6)✱(3, 4, 2)✱(3, 4, 5)✱ (3, 4, 6)✱(3, 5, 2)✱(3, 5, 4)✱(3, 5, 6)✱(3, 6, 2)✱(3, 6, 4)✱(3, 6, 5)✱(4, 2, 3)✱(4, 2, 5)✱(4, 2, 6)✱(4, 3, 2)✱ (4, 3, 5)✱(4, 3, 6)✱(4, 5, 2)✱(4, 5, 3)✱(4, 5, 6)✱(4, 6, 2)✱(4, 6, 3)✱(4, 6, 5)✱(5, 2, 4)✱(5, 2, 3)✱(5, 2, 6)✱ (5, 4, 2)✱(5, 4, 3)✱(5, 4, 6)✱(5, 3, 2)✱(5, 3, 4)✱(5, 3, 6)✱(5, 6, 2)✱(5, 6, 4)✱(5, 6, 3)✱(6, 2, 4)✱(6, 2, 5)✱ (6, 2, 3)✱ (6, 4, 2)✱ (6, 4, 5)✱ (6, 4, 3)✱ (6, 5, 2)✱ (6, 5, 4)✱ (6, 5, 3)✱ (6, 3, 2)✱ (6, 3, 4)✱ (6, 3, 5)✳ ■❧ ②

❡♥ ❛ 60✳ ❖♥ s❛✐t q✉✬✐❧ ② ❡♥ ❛ A³₅✱ ♦♥ ❡♥ ❞é❞✉✐t q✉❡ A³₅ ❡st60✳

■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✾

Partie 1: ❉é♥♦♠❜r❡♠❡♥t ❆rr❛♥❣❡♠❡♥t ❡t ❝♦♠❜✐♥❛✐s♦♥

✷✳ ❙✐ 15 ❝❤❡✈❛✉① ♣r❡♥♥❡♥t ❧❡ ❞é♣❛rt ❞✬✉♥❡ ❝♦✉rs❡✱ ✐❧ ② ❛ A³₁₅ t✐❡r❝és ♣♦ss✐❜❧❡s ✭tr♦✐s ♣r❡♠✐❡rs

❝❤❡✈❛✉① ❞❛♥s ❧✬♦r❞r❡✮✳ ❉❛♥s ❧❛ ♣r♦❝❤❛✐♥❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥✱ ♦♥ ✈❛ ❡①♣❧✐❝✐t❡r t♦✉s ❧❡s A^p_n ❡t ❡♥

♣❛rt✐❝✉❧✐❡r A³₁₅✳

❙♦✐❡♥t p❡t n ❞❡✉① ❡♥t✐❡rs ♥❛t✉r❡❧s ♥♦♥ ♥✉❧s t❡❧s q✉❡p6n✳ ❖♥ ❛ ✿ A^p_n= n✦

(n−p)✦ ✭❝❡ q✉✬♦♥ ♣❡✉t é❝r✐r❡ n×(n−1)× · · · ×(n−p+1)✮

❊♥ ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r✱ ♦♥ ❛ ✿ σ(n) =n✦✳

Proposition 11

✌ ❊①❡♠♣❧❡ ✿

✶✳ ❙✐ 15 ❝❤❡✈❛✉① ♣r❡♥♥❡♥t ❧❡ ❞é♣❛rt ❞✬✉♥❡ ❝♦✉rs❡✱ ✐❧ ② ❛2730 t✐❡r❝és ♣♦ss✐❜❧❡s✳

✷✳ ▲❡s ❛rr❛♥❣❡♠❡♥ts ❞❡ 2 é❧é♠❡♥ts ❞❡ J1, 4K s♦♥t ✿

(1❀2)❀(1❀3)❀(1❀4)❀(2❀1)❀(2❀3)❀(2❀4)❀(3❀1)❀(3❀2)❀(3❀4)❀(4❀1)❀(4❀2) ❡t (4❀3)✳ ■❧ ② ❡♥ ❛ 12 ❡t

♦♥ ❛ ❜✐❡♥ A²₄ = 4✦ (4−2)✦✳

✸✳ ▲❡ ♥♦♠❜r❡ ❞❡ ❢❛ç♦♥s ❞❡ ♣❧❛❝❡r 51 é❧è✈❡s s✉r ❧❡s 51 ❝❤❛✐s❡s ❞✬✉♥❡ s❛❧❧❡ ❛②❛♥t 51 ❝❤❛✐s❡s ❡st ❧❡

♥♦♠❜r❡ ❞❡ ❢❛ç♦♥ ❞❡ ♣❡r♠✉t❡r ❧❡s 51 é❧è✈❡s s✉r ❧❡s51 ❝❤❛✐s❡s✱ ❝✬❡st✲à✲❞✐r❡ 51✦✳

➤ ❊①❡r❝✐❝❡ ✿

❖♥ ♠❡t ❞✐① ❜♦✉❧❡s ♥✉♠ér♦té❡s ❞❡ 1 à 10 ❞❛♥s ✉♥❡ ✉r♥❡✳ ❖♥ t✐r❡ ❝✐♥q ❜♦✉❧❡s ❛✉ ❤❛s❛r❞ ❡t s❛♥s r❡♠✐s❡✳ ❈♦♠❜✐❡♥ ②✲❛✲t✲✐❧ ❞❡ t✐r❛❣❡s ❝♦♠♠❡♥ç❛♥t ♣❛r ❧❛ ❜♦✉❧❡ ♥✉♠ér♦ ✶ ❡t s❡ t❡r♠✐♥❛♥t ♣❛r ❧❛ ❜♦✉❧❡

♥✉♠ér♦ ✶✵ ❄

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

▲❡ t✐r❛❣❡ ❡st s❛♥s r❡♠✐s❡ ✿ ❈✬❡st ❞♦♥❝ ✉♥ ❝❛s t②♣✐q✉❡ ❞✬✉t✐❧✐s❛t✐♦♥ ❞❡s ❛rr❛♥❣❡♠❡♥ts✳ P♦✉r ❧❡ ♣r❡♠✐❡r

❡t ❧❡ ❞❡r♥✐❡r t✐r❛❣❡✱ ✉♥ s❡✉❧ ❝❤♦✐① ✭❇♦✉❧❡ ✶ ❛✉ ♣r❡♠✐❡r t✐r❛❣❡✱ ❇♦✉❧❡ ✶✵ ❛✉ ❞❡r♥✐❡r✮✳ P♦✉r ❧❡s tr♦✐s

❛✉tr❡s t✐r❛❣❡s✱ ♦♥ ❛ ✽ ❜♦✉❧❡s ♣♦ss✐❜❧❡s ❡♥ t♦✉t ✭❝❛r ❧❛ ❜♦✉❧❡ ✶ ❡st ❛✉ ♣r❡♠✐❡r t✐r❛❣❡ ❡t ❧❛ ❜♦✉❧❡ ✶✵

❛✉ ❞❡r♥✐❡r✮✱ ❧✬♦r❞r❡ ❝♦♠♣t❛♥t ❡t ❧❛ ré♣ét✐t✐♦♥ ét❛♥t ✐♠♣♦ss✐❜❧❡ ✭❝❛r t✐r❛❣❡ s❛♥s r❡♠✐s❡✮✱ ♦♥ ❛ ❆³8

♣♦ss✐❜✐❧✐tés✳ ❖♥ ❛ ❞♦♥❝ ❡♥ t♦✉t 1×❆³8 ♣♦ss✐❜✐❧✐tés ✐✳❡✳8×7×6 ✐✳❡✳ ✸✸✻ ♣♦ss✐❜✐❧✐tés s✐ ♦♥ s❛✐t ❜✐❡♥

❝♦♠♣t❡r✳

■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✶✵

Partie 1: ❉é♥♦♠❜r❡♠❡♥t

❙♦✐❡♥t p❡t n ❞❡✉① ❡♥t✐❡rs ♥❛t✉r❡❧s t❡❧s q✉❡ p 6 n✱ s♦✐t E ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ✜♥✐ ❞❡

❝❛r❞✐♥❛❧ n✳

• ❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡ ❝♦♠❜✐♥❛✐s♦♥ ❞❡ pé❧é♠❡♥ts ❞❡ E ♦✉p✲❝♦♠❜✐♥❛✐s♦♥ ❞❡ Et♦✉t❡

♣❛rt✐❡ ❞❡ p é❧é♠❡♥ts ❞✐st✐♥❝ts ❞❡E✳

• ❖♥ ♥♦t❡

n p

❧❡ ❝❛r❞✐♥❛❧ ❞❡ ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s ❝♦♠❜✐♥❛✐s♦♥s ❞❡ pé❧é♠❡♥ts

❞✬✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡ ❝❛r❞✐♥❛❧n✳

• ❖♥ ♣♦s❡

n p

=0s✐ p > n ♦✉ s✐ p < 0✳

Définition 12

✌ ❊①❡♠♣❧❡ ✿

• ▲❡s ❝♦♠❜✐♥❛✐s♦♥s ❞❡ 2 é❧é♠❡♥ts ❞❡ J1, 4K s♦♥t ✿{1❀2}❀{1❀3}❀ {1❀4}❀ {2❀3}❀ {2❀4} ❡t{3❀4}✳

• ▲❡s ❝♦♠❜✐♥❛✐s♦♥s ❞❡ 3é❧é♠❡♥ts ❞❡ J2, 6Ks♦♥t ✿ {2, 3, 4}❀{2, 3, 5}❀{2, 3, 6}❀{2, 4, 5}❀{2, 4, 6}❀ {3, 5, 4}❀ {3, 6, 5}❀ {4, 3, 6}❀ {4, 5, 6} ❡t{4, 2, 6}✳

• ❉❛♥s ✉♥ ❥❡✉ ❞❡ 52❝❛rt❡s✱ ✐❧ ② ❛ 52

5

♠❛✐♥s ❞❡ 5 ❝❛rt❡s✳ ❉❛♥s ❧❛ ♣r♦❝❤❛✐♥❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥✱ ♦♥

✈❛ ❡①♣❧✐❝✐t❡r t♦✉s ❧❡s n

p

❡t ❡♥ ♣❛rt✐❝✉❧✐❡r 52

5

✳

❙♦✐❡♥t p❡t n ❞❡✉① ❡♥t✐❡rs ♥❛t✉r❡❧s t❡❧s q✉❡ p6n✳ ❖♥ ❛ ✿ n

p

= n✦ p✦(n−p)✦

❖♥ ♣❡✉t ❡♥ ❞é❞✉✐r❡ ❧❡s ❢♦r♠✉❧❡s s✉✐✈❛♥t❡s ✿

✶✳

n p

=

n n−p

❡t

n+1 p+1

= n

p

+ n

p+1

✷✳ ❙✐ n ❡tp ✈ér✐✜❡♥t np6=0✱ ♦♥ ❛ ✿ n

p

= n p

n−1 p−1

Proposition 13

✌ ❊①❡♠♣❧❡ ✿

❙♦✐t n ✉♥ ❡♥t✐❡r s✉♣ér✐❡✉r à 3✳ ❖♥ ❛ ✿ n

0

=1 n

1

=n

n n−1

=n n

n

=1

n 2

= n(n−1) 2 n

3

= n(n−1)(n−2) 6

■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✶✶

Partie 1: ❉é♥♦♠❜r❡♠❡♥t ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❡t ❞é♥♦♠❜r❡♠❡♥t

➤ ❊①❡r❝✐❝❡ ✿

❙♦✐❡♥t n ❡t p ❞❡✉① ❡♥t✐❡rs ♥❛t✉r❡❧s t❡❧s q✉❡ p 6 n✳ ❉é♥♦♠❜r❡r ❧❡ ♥♦♠❜r❡ ❞✬é❧é♠❡♥ts ❞❡ J1, nK^p str✐❝t❡♠❡♥t ❝r♦✐ss❛♥ts✱ ❝✬❡st✲à✲❞✐r❡ ❧❡ ♥♦♠❜r❡ ❞❡ p✲✉♣❧❡ts

(x1, x2,· · · , xp) ❞❡ J1, nK^p t❡❧s q✉❡ ✿

16x1 < x2 <· · ·< xp6n.

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳

■❧ ② ❡♥ ❛ n

p

×1✱ ✐✳❡✳

n p

✱ é❧é♠❡♥ts ❝❛r✱ ♣♦✉r ❢♦r♠❡r ✉♥ p✲✉♣❧❡t (x1, x2,· · · , xp) ❞❡J1, nK^p str✐❝t❡♠❡♥t ❝r♦✐ss❛♥t✱ ✐❧ ❢❛✉t ❡t s✉✣t ❞❡ ✿

✶✳ ❈❤♦✐s✐r p é❧é♠❡♥ts ♥♦♥ ♦r❞♦♥♥és ✭■❧ ♥✬② ❛ ♣❛s ❧❡ ♣r❡♠✐❡r✱ ❧❡ ❞❡✉①✐è♠❡✳✳✳ ❖♥ ❧❡s ♣r❡♥❞ t♦✉s

❡♥ ♠ê♠❡ t❡♠♣s✮ ❞❡ J1, nK✳ ❖♥ ❛ ❞♦♥❝

n p

❝❤♦✐① ♣♦✉r ❧❛ ♣r❡♠✐èr❡ ét❛♣❡✳

✷✳ ❘❛♥❣❡r ❝❡s p é❧é♠❡♥ts ❞❛♥s ❧✬♦r❞r❡ ❝r♦✐ss❛♥t✳ ▲à✱ ♦♥ ♥✬❛ q✉✬✉♥ ❝❤♦✐① ✭♥é❝❡ss❛✐r❡♠❡♥t✱ ❧❡

♣r❡♠✐❡r é❧é♠❡♥t s❡r❛ ❧❡ ♣❧✉s ♣❡t✐t ❞❡s p é❧é♠❡♥ts ❞❡ ❧❛ ♣r❡♠✐èr❡ ét❛♣❡✳✳✳✮✳

▼ét❤♦❞❡✿

❙♦✐❡♥t p❡t n ❞❡✉① ❡♥t✐❡rs ♥❛t✉r❡❧s✳

• ▲❡ ♥♦♠❜r❡ ❞❡ ❢❛ç♦♥s ❞❡ ❝❤♦✐s✐r s✉❝❝❡ss✐✈❡♠❡♥tpé❧é♠❡♥ts✱ ❛✈❡❝ ❞✬é✈❡♥t✉❡❧❧❡s ré♣ét✐t✐♦♥s✱ ❞❛♥s

✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ E❝♦rr❡s♣♦♥❞ ❛✉ ♥♦♠❜r❡ ❞❡ p✲✉♣❧❡ts ❞✬é❧é♠❡♥ts ❞❡ ❊✱ ❝✬❡st✲à✲❞✐r❡ ❛✉ ❝❛r❞✐♥❛❧ ❞❡

E^p✳ ❖♥ ✉t✐❧✐s❡r❛ ❞♦♥❝ ❧❡s p✲✉♣❧❡ts ❞❛♥s ❧❡s ♣r♦❜❧è♠❡s ❞❡ ❝❤♦✐① s✉❝❝❡ss✐❢s ❞❡ p é❧é♠❡♥ts ❞✬✉♥

❡♥s❡♠❜❧❡ ❛✈❡❝ ❞✬é✈❡♥t✉❡❧❧❡s ré♣ét✐t✐♦♥s✳

• ▲❡ ♥♦♠❜r❡ ❞❡ ❢❛ç♦♥s ❞❡ ❝❤♦✐s✐r s✐♠✉❧t❛♥é♠❡♥t p é❧é♠❡♥ts✱ s❛♥s ré♣ét✐t✐♦♥✱ ❞❛♥s ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡

❊ ❞❡ ❝❛r❞✐♥❛❧ n ✭❡♥ s✉♣♣♦s❛♥t p 6 n✮ ❝♦rr❡s♣♦♥❞ à n

p

✳ ▲❡s ❝♦♠❜✐♥❛✐s♦♥s ✐♥t❡r✈✐❡♥❞r♦♥t

❞♦♥❝ ❞❛♥s ❧❡s ♣r♦❜❧è♠❡s ❞❡ ❝❤♦✐① s✐♠✉❧t❛♥és ✭s❛♥s ❝♦♥s✐❞ér❛t✐♦♥ ❞✬♦r❞r❡ ❡t s❛♥s ré♣ét✐t✐♦♥✮

❞❡ pé❧é♠❡♥ts ♣r✐s ♣❛r♠✐ n✳

• ▲❡ ♥♦♠❜r❡ ❞❡ ❢❛ç♦♥s ❞❡ ❝❤♦✐s✐r s✉❝❝❡ss✐✈❡♠❡♥t pé❧é♠❡♥ts✱ s❛♥s ré♣ét✐t✐♦♥✱ ❞❛♥s ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡

E ❞❡ ❝❛r❞✐♥❛❧ n ✭❡♥ s✉♣♣♦s❛♥t p 6 n✮ ❝♦rr❡s♣♦♥❞ ❛✉ ♥♦♠❜r❡ ❞✬❛rr❛♥❣❡♠❡♥ts ❞❡ p é❧é♠❡♥ts

♣❛r♠✐ ❧❡s n é❧é♠❡♥ts ❞❡ ❊✱ ❝✬❡st✲à✲❞✐r❡ à A^p_n✳ ❖♥ ✉t✐❧✐s❡r❛ ❞♦♥❝ ❧❡s ❛rr❛♥❣❡♠❡♥ts ❞❛♥s ❧❡s

♣r♦❜❧è♠❡s ❞❡ ❝❤♦✐① s✉❝❝❡ss✐❢s ❞❡ pé❧é♠❡♥ts ♣r✐s ♣❛r♠✐ n✱ s❛♥s ré♣ét✐t✐♦♥✳

✶✳✸ ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❡t ❞é♥♦♠❜r❡♠❡♥t

❙♦✐❡♥t F❡t G ❞❡✉① ❡♥s❡♠❜❧❡s ✜♥✐s ❞❡ ♠ê♠❡ ❝❛r❞✐♥❛❧✳ ❙♦✐t F ^f✲ G ✉♥❡ ❛♣♣❧✐✲

❝❛t✐♦♥✳ ▲❡s tr♦✐s ♣r♦♣r✐étés s✉✐✈❛♥t❡s s♦♥t éq✉✐✈❛❧❡♥t❡s ✿

✶✳ f❡st ✐♥❥❡❝t✐✈❡✳ ✷✳ f❡st s✉r❥❡❝t✐✈❡✳ ✸✳ f❡st ❜✐❥❡❝t✐✈❡✳

Proposition 14

■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✶✷

Partie 1: ❉é♥♦♠❜r❡♠❡♥t

☛ ❘❡♠❛rq✉❡ ✿

✶✳ ❈❡tt❡ ❞❡r♥✐èr❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥ ❡st ❢❛✉ss❡ s✐ ❧❡s ❡♥s❡♠❜❧❡s ♦♥t ♠ê♠❡ ❝❛r❞✐♥❛❧ ♠❛✐s ♥❡ s♦♥t ♣❛s ✜♥✐s✳

✷✳ ❈❡tt❡ ❞❡r♥✐èr❡ ♣r♦♣♦s✐t✐♦♥ ❡st très ♣r❛t✐q✉❡ ✿ s✐ ❞❡✉① ❡♥s❡♠❜❧❡s ♦♥t ♠ê♠❡ ❝❛r❞✐♥❛❧ ❡t s♦♥t

✜♥✐s✱ ✐❧ s✉✣t ❞❡ ♣r♦✉✈❡r ❧✬✐♥❥❡❝t✐✈✐té ✭❝❡ q✉✐ ❡st s♦✉✈❡♥t ❧❡ ♣❧✉s s✐♠♣❧❡✮ ♣♦✉r ❛✈♦✐r ❧❛ ❜✐❥❡❝t✐✈✐té✳

❙♦✐❡♥t F ❡tG ❞❡✉① ❡♥s❡♠❜❧❡s ✜♥✐s✳ ❖♥ ♣♦s❡ n=|F| ❡tp=|G|✳

• ■❧ ② ❛n^p ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❞❡ G✈❡rs F✳

• ❙✐p6n✱ ✐❧ ② ❛ A^p_n ✐♥❥❡❝t✐♦♥s ❞❡ G✈❡rs F✳

• ❙✐p=n✱ ✐❧ ② ❛ p✦ ❜✐❥❡❝t✐♦♥s ❞❡G ✈❡rs F✳ Proposition 15

➤ ❊①❡r❝✐❝❡ ✿

❙♦✐t E ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ✜♥✐ ❞❡ ❝❛r❞✐♥❛❧ n∈N^∗✳ ➱✈❛❧✉❡r ❈❛r❞(Z) ❡♥ ♥♦t❛♥t ✿ Z=

(A, B)⊂E²/A∪B=E .

✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ ✳ P♦✉r t♦✉th∋0n✱ ♦♥ ♣♦s❡ ✿Zh =

(A, B)⊂E²/A∪B=E ❡t ❈❛r❞(B) =h ✳ ❈♦♠♠❡Z=

n

[

h=0

Zh

❡t ❧❡sZ_h s♦♥t ❞❡✉① à ❞❡✉① ❞✐s❥♦✐♥ts ✭❈❛r❞(B) ♥❡ ♣❡✉t ♣❛s ✈❛❧♦✐r à ❧❛ ❢♦✐sh ❡tk ❛✈❡❝k6=h✳✳✳✮✱ ♦♥

❛ ✿

❈❛r❞(Z) = Xn

h=0

❈❛r❞(Z_h).

P♦✉r ❝♦♥str✉✐r❡ ✉♥ ❝♦✉♣❧❡(A, B) ❞❡Zk ✭❛✈❡❝k∋0n✮✱ ✐❧ ❢❛✉t ❡t ✐❧ s✉✣t ❞❡ ✿

• ❈❤♦✐s✐r ✉♥❡ ♣❛rt✐❡ B❞❡ E àk é❧é♠❡♥ts✳ ❖♥ ❛ n

k

❝❤♦✐①✳

• P✉✐s ❝❤♦✐s✐r ✉♥❡ ♣❛rt✐❡ C ❞❡B ✱ ♦♥ ❛ ❞♦♥❝2^{❈❛r❞(B)}✱ ✐✳❡✳ 2^k✱ ❝❤♦✐①✳

• ■❧ ❢❛✉t ♠❛✐♥t❡♥❛♥t ❛♣♣❡❧❡r A ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ✠B∪C✳ ▲à✱ ♦♥ ❛ ✉♥ s❡✉❧ ❝❤♦✐①✳ ❖♥ ✈✐❡♥t ❥✉st❡ ❞❡

❞✐r❡ q✉❡ ♣♦✉r êtr❡ sûr q✉❡ A∪B = E✱ ✐❧ ❢❛✉t ❛❜s♦❧✉♠❡♥t q✉❡ A ❝♦♥t✐❡♥♥❡ ✠B✳ ❯♥❡ ❢♦✐s ✠B

❛❝q✉✐s✱ ✐❧ s✉✣t ❞❡ ❝♦♠♣❧ét❡r ❛✈❡❝ ♥✬✐♠♣♦rt❡ q✉❡❧❧❡ ♣❛rt✐❡ ❞❡ B✳

❖♥ ❛ ❞♦♥❝ ❈❛r❞(Zk) = n

k

2^k ❡t ❞♦♥❝✱ ♣❛r ❧❛ ❢♦r♠✉❧❡ ❞✉ ❜✐♥ô♠❡ ❞❡ ◆❡✇t♦♥✱ ♦♥ ❛ ✿

❈❛r❞(Z) = Xn

k=0

n k

2^k =

Xn

k=0

n k

2^k1^n−k=3ⁿ.

❖♥ ♣❡✉t tr♦✉✈❡r ❝❡ rés✉❧t❛t ❡♥ s❡ ❞✐s❛♥t q✉❡ ❝❤❛q✉❡ é❧é♠❡♥t ❞❡ E❛ tr♦✐s ❡♠♣❧❛❝❡♠❡♥ts ♣♦ss✐❜❧❡s ✿

✐❧ s❡ s✐t✉❡ ❞❛♥s A\B ♦✉ ❜✐❡♥ ❞❛♥s B\A ♦✉ ❜✐❡♥ ❞❛♥s A∩B✳ ❙✉✐✈r❡ ❝❡t ❛❧❣♦r✐t❤♠❡ ♣❡r♠❡t ❜✐❡♥

❝ré❡r ❞❡ ❢❛ç♦♥ ✉♥✐q✉❡ ✭❝❛r ♦♥ ❛ ❢❛✐tA\B✱ B\A❡tA∩B✱ tr♦✐s ❡♥s❡♠❜❧❡s ❞✐s❥♦✐♥ts ❞❡✉① à ❞❡✉①✮ ✉♥

❝♦✉♣❧❡(A, B)❞❡ ♣❛rt✐❡s ❞❡ E t❡❧❧❡s q✉❡A∪B=E✳ ❖♥ ❛ ❞♦♥❝ tr♦✐s ❝❤♦✐① ♣♦✉r ❧❡ ♣r❡♠✐❡r é❧é♠❡♥t

❞❡ E ♣✉✐s tr♦✐s ❝❤♦✐① ♣♦✉r ❧❡ s❡❝♦♥❞ ♣✉✐s tr♦✐s ❝❤♦✐① ♣♦✉r ❧❡ tr♦✐s✐è♠❡✳✳✳ ❖♥ ♦❜t✐❡♥t ❞♦♥❝ ❜✐❡♥ 3ⁿ

♣♦ss✐❜✐❧✐tés ✦

■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✶✸

Partie 1: ❉é♥♦♠❜r❡♠❡♥t ❆♣♣❧✐❝❛t✐♦♥s ❡t ❞é♥♦♠❜r❡♠❡♥t

❙♦✐❡♥t p ❡tq ❞❡✉① ❡♥t✐❡rs ♥❛t✉r❡❧s ♥♦♥ ♥✉❧s✳ ❙♦✐❡♥t F ❡tG ❞❡✉① ❡♥s❡♠❜❧❡s ✜♥✐s

❞❡ ❝❛r❞✐♥❛✉① r❡s♣❡❝t✐❢s p❡t q✳ ❖♥ ❛ ✿

✶✳ p6q s✐ ❡t s❡✉❧❡♠❡♥t s✐ ✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥❡ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥F ^f✲ Gq✉✐ s♦✐t ✐♥❥❡❝✲

t✐✈❡✳

✷✳ p> q s✐ ❡t s❡✉❧❡♠❡♥t s✐ ✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥❡ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ F ^f✲ G q✉✐ s♦✐t s✉r✲

❥❡❝t✐✈❡✳

✸✳ p=qs✐ ❡t s❡✉❧❡♠❡♥t s✐ ✐❧ ❡①✐st❡ ✉♥❡ ❛♣♣❧✐❝❛t✐♦♥ F ^f✲G q✉✐ s♦✐t ❜✐❥❡❝✲

t✐✈❡✳

Proposition 16

■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✶✹

P❛rt✐❡ ✷

❊s♣❛❝❡s ♣r♦❜❛❜✐❧✐sés ✜♥✐s

✷✳✶ ❱♦❝❛❜✉❧❛✐r❡ ❞❡s ♣r♦❜❛❜✐❧✐tés

✷✳✶✳✶ ◆♦t✐♦♥s ❞✬✉♥✐✈❡rs

• ❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡ ❡①♣ér✐❡♥❝❡ ❛❧é❛t♦✐r❡ t♦✉t❡ ❡①♣ér✐❡♥❝❡ ❞♦♥t ❧❡ rés✉❧t❛t ♥❡ ♣❡✉t

♣❛s êtr❡ ❞ét❡r♠✐♥é ❛ ♣r✐♦r✐✱ ❝✬❡st✲à✲❞✐r❡ ❞é♣❡♥❞❛♥t ❞✉ ❤❛s❛r❞✳

• ❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡ ✉♥✐✈❡rs ✭♦✉ ✉♥✐✈❡rs ❞❡s ♣♦ss✐❜❧❡s ♦✉ ✉♥✐✈❡rs ❞❡s rés✉❧t❛ts ♦❜✲

s❡r✈❛❜❧❡s✮ ❛ss♦❝✐é à ✉♥❡ ❡①♣ér✐❡♥❝❡ ❛❧é❛t♦✐r❡ ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ Ω ❞❡s rés✉❧t❛ts

✭♦✉ ✐ss✉❡ ♦✉ é✈❡♥t✉❛❧✐té✮ ❞❡ ❝❡tt❡ ❡①♣ér✐❡♥❝❡✳

Définition 17

❉❛♥s t♦✉t ❝❡ ❝❤❛♣✐tr❡✱ ❧❡s ✉♥✐✈❡rs s❡r♦♥t t♦✉❥♦✉rs ✜♥✐s✳

✌ ❊①❡♠♣❧❡ ✿

❊①♣ér✐❡♥❝❡ ✶ ✿ ❖♥ ❧❛♥❝❡ ✉♥ ❞é ❝✉❜✐q✉❡ ❞♦♥t ❧❡s ❢❛❝❡s s♦♥t ♥✉♠ér♦té❡s ❞❡ ✶ à ✻✳ ❖♥ ♥♦t❡ ❧❡

♥✉♠ér♦ ❞❡ ❧❛ ❢❛❝❡ s✉♣ér✐❡✉r❡✳ ▲✬✉♥✐✈❡rs ❞❡ ❝❡tt❡ ❡①♣ér✐❡♥❝❡ ❡st Ω1 =J1, 6K✳

❊①♣ér✐❡♥❝❡ ✷ ✿ ❖♥ ❧❛♥❝❡ ✉♥ ❞é ❝✉❜✐q✉❡ ❞♦♥t ❧❡s ❢❛❝❡s s♦♥t ♥✉♠ér♦té❡s ❞❡ ✶ à ✻✳ ❖♥ ♥♦t❡ s✐

❧❡ ♥✉♠ér♦ ❞❡ ❧❛ ❢❛❝❡ s✉♣ér✐❡✉r❡ ❡st ♣❛✐r ♦✉ ✐♠♣❛✐r✳ ▲✬✉♥✐✈❡rs ❞❡ ❝❡tt❡ ❡①♣ér✐❡♥❝❡ ❡st Ω2 = {♣❛✐r✱ ✐♠♣❛✐r}✳

❊①♣ér✐❡♥❝❡ ✸ ✿ ❖♥ ❧❛♥❝❡ ❞❡✉① ❢♦✐s ✉♥ ❞é ❝✉❜✐q✉❡ ❞♦♥t ❧❡s ❢❛❝❡s s♦♥t ♥✉♠ér♦té❡s ❞❡ ✶ à ✻✳ ❖♥

♥♦t❡ ❧❡s ♥✉♠ér♦s ❞❡ ❧❛ ❢❛❝❡ s✉♣ér✐❡✉r❡✳ ▲✬✉♥✐✈❡rs ❞❡ ❝❡tt❡ ❡①♣ér✐❡♥❝❡ ❡st Ω3 =J1, 6K²✳

❊①♣ér✐❡♥❝❡ ✹ ✿ ❖♥ ❝❤♦✐s✐t ❡♥tr❡ tr♦✐s ✉r♥❡s U₁✱ U₂ ❡t U₃✳ ▲❛ ♣r❡♠✐èr❡ ❝♦♥t✐❡♥t ❞❡✉① ❜♦✉❧❡s

❜❧❡✉❡s ❡t ✉♥❡ ❜♦✉❧❡ ♥♦✐r❡✱ ❧❛ ❞❡✉①✐è♠❡ ❞❡✉① ❜♦✉❧❡s ♥♦✐r❡s ❡t ✉♥❡ ❜♦✉❧❡ ❜❧❡✉❡ ❡t ❧❛ tr♦✐s✐è♠❡ ❞❡✉①

❜♦✉❧❡s ♥♦✐r❡s✳ ❖♥ ❝❤♦✐s✐t ✉♥❡ ✉r♥❡ ♣✉✐s ♦♥ ❡①tr❛✐t ✉♥❡ ❜♦✉❧❡ ❝❡ ❝❡tt❡ ✉r♥❡ ❞♦♥t ♦♥ ♥♦t❡ ❧❛ ❝♦✉✲

❧❡✉r✳ ❙✐ ♦♥ ♥❡ ❞✐✛ér❡♥❝✐❡ ♣❛s ❧❡s ❜♦✉❧❡s ❞✬✉♥❡ ♠ê♠❡ ❝♦✉❧❡✉r ❡♥tr❡ ❡❧❧❡s✱({1, 2, 3}×{B, N})\ {(3, B)}

❡st ✉♥ ✉♥✐✈❡rs ❞❡ ❧✬❡①♣ér✐❡♥❝❡✳ ❙✐ ♦♥ ✈❡✉t ❞✐✛ér❡♥❝✐❡r ❧❡s ❜♦✉❧❡s ❡♥tr❡ ❡❧❧❡s✱ ❧✬✉♥✐✈❡rs ❞❡ ❧✬❡①✲

♣ér✐❡♥❝❡ s❡r❛ ✿ ({1}×{B₁, B2, N1})∪ ({2}×{B₁, N1, N2}) ({3}×{N₁, N2})✳ ❆ ✉♥❡ ♠ê♠❡

❡①♣ér✐❡♥❝❡✱ ♦♥ ♣❡✉t ❞♦♥❝ ❛ss♦❝✐❡r ❞❡s ✉♥✐✈❡rs ❞✐✛ér❡♥ts✳

❊①♣ér✐❡♥❝❡ ✺ ✿ ❖♥ ✉t✐❧✐s❡ ❧✬✉r♥❡ U1 ♣ré❝é❞❡♥t❡ ❡t ♦♥ ♣r♦❝è❞❡ à ❞❡✉① t✐r❛❣❡s s✐♠✉❧t❛♥é❡s✳ Ω5

❡st ❛❧♦rs ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s 2✲❝♦♠❜✐♥❛✐s♦♥s ❞❡s ❜♦✉❧❡s ❞❡U1✳

✶✺

Partie 2: ❊s♣❛❝❡s ♣r♦❜❛❜✐❧✐sés ✜♥✐s ❱♦❝❛❜✉❧❛✐r❡ ❞❡s ♣r♦❜❛❜✐❧✐tés

❊①♣ér✐❡♥❝❡ ✻ ✿ ❖♥ ✉t✐❧✐s❡ ❧✬✉r♥❡ U1 ♣ré❝é❞❡♥t❡ ❡t ♦♥ ♣r♦❝è❞❡ à ❞❡✉① t✐r❛❣❡s ❛✈❡❝ r❡♠✐s❡✳ Ω6

❡st ❛❧♦rs ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s 2✲✉♣❧❡ts ❞❡s ❜♦✉❧❡s ❞❡U1✳

❊①♣ér✐❡♥❝❡ ✼ ✿ ❖♥ ✉t✐❧✐s❡ ❧✬✉r♥❡ U1 ♣ré❝é❞❡♥t❡ ❡t ♦♥ ♣r♦❝è❞❡ à ❞❡✉① t✐r❛❣❡s s❛♥s r❡♠✐s❡✳ Ω7

❡st ❛❧♦rs ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s 2✲❛rr❛♥❣❡♠❡♥ts ❞❡s ❜♦✉❧❡s ❞❡U1✳

✷✳✶✳✷ ◆♦t✐♦♥s ❞✬é✈é♥❡♠❡♥ts

❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡ é✈é♥❡♠❡♥ts ❧✐és à ✉♥❡ ❡①♣ér✐❡♥❝❡ ❛❧é❛t♦✐r❡ ❞❡s ❢❛✐ts ❧✐és à ❝❡tt❡ ❡①✲

♣ér✐❡♥❝❡ q✉✐ ♣❡✉✈❡♥t ♦✉ ♥♦♥ s❡ ♣r♦❞✉✐r❡✳ ❈❡ s♦♥t ❞♦♥❝ ❞❡s rés✉❧t❛ts ♣♦t❡♥t✐❡❧s

❞✬✉♥❡ ❡①♣ér✐❡♥❝❡ ❛❧é❛t♦✐r❡✳ ❖♥ ♥❡ ♣❡✉t ♣❛s s❛✈♦✐r ❛ ♣r✐♦r✐ s✐ ✉♥ é✈é♥❡♠❡♥t ❛✉r❛

❧✐❡✉✳ ❊♥ r❡✈❛♥❝❤❡✱ ✉♥❡ ❢♦✐s ❧✬❡①♣ér✐❡♥❝❡ ré❛❧✐sé❡✱ ♦♥ ♣❡✉t ❛✣r♠❡r ❛✈❡❝ ❝❡rt✐t✉❞❡

q✉✬✉♥ é✈é♥❡♠❡♥t ❛ ❡✉ ❧✐❡✉ ♦✉ ❜✐❡♥ ♥✬❛ ♣❛s ❡✉ ❧✐❡✉✳

Définition 18

✌ ❊①❡♠♣❧❡ ✿

❘❡♣r❡♥♦♥s ❧❡s ❡①❡♠♣❧❡s ♣ré❝é❞❡♥ts✳ ❖♥ ❛♣♣❡❧❧❡ A ❧✬é✈é♥❡♠❡♥t ✧❧❡ ♥♦♠❜r❡ ❡st ✐♠♣❛✐r✧✱ B ❧✬é✈é♥❡✲

♠❡♥t ✧❧❡ ♥♦♠❜r❡ ❡st s✉♣ér✐❡✉r à ✸✧ ❡t C ❧✬é✈é♥❡♠❡♥t ✧❧❛ s♦♠♠❡ ❞❡s ❞❡✉① ♥♦♠❜r❡s ♦❜t❡♥✉s ✈❛✉t

✺✧✳

❊①♣ér✐❡♥❝❡ ✶ ✿ ◆♦t♦♥s ω❧❡ rés✉❧t❛t ♦❜t❡♥✉✳A❛ ❧✐❡✉ s✐ ❡t s❡✉❧❡♠❡♥t s✐ ω❛♣♣❛rt✐❡♥t à {1❀3❀5}✳

❖♥ é❝r✐t A ={1❀3❀5}✱ ♦♥ ✐❞❡♥t✐✜❡ ❧✬é✈é♥❡♠❡♥t ❛✈❡❝ ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s rés✉❧t❛ts q✉✐ ❧❡ ré❛❧✐s❡♥t✳

❖♥ ❛ B= {3❀4❀5❀6}✳ C ♥✬❡st ♣❛s ❡♥ r❡✈❛♥❝❤❡ ✉♥ é✈é♥❡♠❡♥t ❧✐é à ❝❡tt❡ ♣r❡♠✐èr❡ ❡①♣ér✐❡♥❝❡✳

❖♥ r❡♠❛rq✉❡ q✉❡ A ❡tB s♦♥t ❞❡s ♣❛rt✐❡s ❞❡ Ω1✳

❊①♣ér✐❡♥❝❡ ✷ ✿ B ❡t C ♥❡ s♦♥t ♣❛s ❞❡s é✈é♥❡♠❡♥ts ❧✐és à ❝❡tt❡ ❞❡✉①✐è♠❡ ❡①♣ér✐❡♥❝❡✳ ❖♥ ❛ A={✐♠♣❛✐r}✳ ❖♥ r❡♠❛rq✉❡ q✉❡ A❡st ✉♥❡ ♣❛rt✐❡ ❞❡ Ω2✳

❊①♣ér✐❡♥❝❡ ✸ ✿ A ❡t B ♥❡ s♦♥t ♣❛s ❞❡s é✈é♥❡♠❡♥ts ❧✐és à ❝❡tt❡ ❞❡✉①✐è♠❡ ❡①♣ér✐❡♥❝❡✳ ❖♥ ❛ C={(1❀4)❀(2❀3)❀(3❀2)❀(4❀1)}✳ ❖♥ r❡♠❛rq✉❡ q✉❡ C❡st ✉♥❡ ♣❛rt✐❡ ❞❡ Ω3✳

❙♦✐❡♥t Ω ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ✜♥✐ ❡t E ✉♥❡ ❡①♣ér✐❡♥❝❡ ❛❧é❛t♦✐r❡ t❡❧ q✉❡ Ω s♦✐t ❧✬✉♥✐✈❡rs

❛ss♦❝✐é à E✳

• ❯♥ é✈é♥❡♠❡♥t ❛ss♦❝✐é à E ❡st ✉♥❡ ♣❛rt✐❡ ❞❡Ω ✭❝❛r ♦♥ ✐❞❡♥t✐✜❡ t♦✉t é✈é✲

♥❡♠❡♥t ❛✈❡❝ ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s rés✉❧t❛ts q✉✐ ❧❡ ré❛❧✐s❡♥t✮✳

• ▲✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s é✈é♥❡♠❡♥ts ❛ss♦❝✐és à ❧✬❡①♣ér✐❡♥❝❡ ❡st ❞♦♥❝P(Ω)✳ Proposition 19

☞ ▼✐s❡ ❡♥ ❣❛r❞❡ ✿

❘❡♣r❡♥♦♥s ❡♥❝♦r❡ ❧✬❡①♣ér✐❡♥❝❡ ✶✳ 2♥✬❡st ♣❛s ✉♥ é✈é♥❡♠❡♥t✳ {2}❡♥ r❡✈❛♥❝❤❡ ❡st ✉♥ é✈é♥❡♠❡♥t✳

■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✶✻

Partie 2: ❊s♣❛❝❡s ♣r♦❜❛❜✐❧✐sés ✜♥✐s

❙♦✐❡♥t Ω ✉♥ ❡♥s❡♠❜❧❡ ✜♥✐ ❡tE ✉♥❡ ❡①♣ér✐❡♥❝❡ ❛❧é❛t♦✐r❡ t❡❧ q✉❡ Ω s♦✐t ❧✬✉♥✐✈❡rs

❛ss♦❝✐é à E✳

• ❯♥ é✈é♥❡♠❡♥t ❛ss♦❝✐é àE q✉✐ ♥✬❛ ❥❛♠❛✐s ❧✐❡✉ s✬❛♣♣❡❧❧❡ é✈é♥❡♠❡♥t ✐♠♣♦s✲

s✐❜❧❡✳ ❈✬❡st ∅✳

• ❯♥ é✈é♥❡♠❡♥t ❛ss♦❝✐é à Eq✉✐ ❛ t♦✉❥♦✉rs ❧✐❡✉ s✬❛♣♣❡❧❧❡ é✈é♥❡♠❡♥t ❝❡rt❛✐♥✳

❈✬❡st Ω✳

• ▲❡s s✐♥❣❧❡t♦♥s {ω} ❞❡Ω s♦♥t ❛♣♣❡❧és é✈é♥❡♠❡♥ts é❧é♠❡♥t❛✐r❡s✳

Définition 20

✌ ❊①❡♠♣❧❡ ✿

❘❡♣r❡♥♦♥s ❧✬❡①♣ér✐❡♥❝❡ ✶ ✭❧❛♥❝❡r ❞✬✉♥ ❞é ❝❧❛ss✐q✉❡✮ ✿

• ▲✬é✈é♥❡♠❡♥tD❂✧▲❡ ♥✉♠ér♦ ♦❜t❡♥✉ ❡st ✐♥❢ér✐❡✉r à ✻✧ ❡st ✉♥ é✈é♥❡♠❡♥t ❝❡rt❛✐♥✱ ♦♥ ❛D=Ω1✳

• ▲✬é✈é♥❡♠❡♥t E❂✧▲❡ ♥✉♠ér♦ ♦❜t❡♥✉ ❡st ♥é❣❛t✐❢✧ ❡st ✉♥ é✈é♥❡♠❡♥t ✐♠♣♦ss✐❜❧❡✱ ♦♥ ❛ E=∅✳

• ▲✬é✈é♥❡♠❡♥t H❂✧▲❡ ♥✉♠ér♦ ♦❜t❡♥✉ ❡st ✻✧ ❡st ✉♥ é✈é♥❡♠❡♥t é❧é♠❡♥t❛✐r❡✱ ♦♥ ❛ H={6}✳

✷✳✶✳✸ ❖♣ér❛t✐♦♥s s✉r ❧❡s é✈é♥❡♠❡♥ts

❈♦♠♠❡ ♦♥ ✐❞❡♥t✐✜❡ ❧❡s é✈é♥❡♠❡♥ts ❡t ❧✬❡♥s❡♠❜❧❡ ❞❡s rés✉❧t❛ts q✉✐ ❧❡ ré❛❧✐s❡♥t✱ ♥♦✉s ❛❧❧♦♥s ❞♦♥❝

♣♦✉✈♦✐r ré✐♥✈❡st✐r ❧❡ ✈♦❝❛❜✉❧❛✐r❡ ✈✉ s✉r ❧❡s ❡♥s❡♠❜❧❡s✳ ❉❛♥s ❝❡tt❡ ♣r♦❝❤❛✐♥❡ ❞é✜♥✐t✐♦♥✱ Ω s❡r❛ ✉♥

❡♥s❡♠❜❧❡ ✜♥✐ ❡t E ✉♥❡ ❡①♣ér✐❡♥❝❡ ❛❧é❛t♦✐r❡ t❡❧ q✉❡ Ω s♦✐t ❧✬✉♥✐✈❡rs ❛ss♦❝✐é à E✳ A ❡t B ❞és✐❣♥❡r♦♥t

❞❡✉① é✈é♥❡♠❡♥ts ❛ss♦❝✐és àE✱ ❝❡ s❡r♦♥t ❞♦♥❝ ❞❡✉① ♣❛rt✐❡s ❞❡ Ω✳

• A✠ ❡st ❧✬é✈é♥❡♠❡♥t ❝♦♥tr❛✐r❡ ❞❡ A✳ ✠A ❡st ré❛❧✐sé s✐ ❡t s❡✉❧❡♠❡♥t s✐ A ♥✬❡st

♣❛s ré❛❧✐sé✳ A\B ❡st ❧✬é✈é♥❡♠❡♥t ✧A ♣r✐✈é ❞❡ B✧ ♦✉ ✧A ♠❛✐s ♣❛s B✧✳ ■❧

❡st ré❛❧✐sé s✐ ❡t s❡✉❧❡♠❡♥t s✐ A ❡st ré❛❧✐sé ❡t B ♥❡ ❧✬❡st ♣❛s ❧♦rs ❞✬✉♥❡

❡①♣ér✐❡♥❝❡✳

• A∩B ❡st ❧✬é✈é♥❡♠❡♥t A❡t B✳ A ❡tB❡st ré❛❧✐sé s✐ ❡t s❡✉❧❡♠❡♥t s✐ A❡tB s♦♥t ré❛❧✐sés s✐♠✉❧t❛♥é♠❡♥t ❧♦rs ❞❡ ❧❛ ♠ê♠❡ ❡①♣ér✐❡♥❝❡✳ ❖♥ ❞✐t q✉❡ A❡t Bs♦♥t ✐♥❝♦♠♣❛t✐❜❧❡s s✐ A∩B❡st ❧✬é✈é♥❡♠❡♥t ✐♠♣♦ss✐❜❧❡✳ ❆✉tr❡♠❡♥t ❞✐t✱

A ❡t B s♦♥t ✐♥❝♦♠♣❛t✐❜❧❡s s✐ ❡t s❡✉❧❡♠❡♥t s✐ A ❡t B ♥❡ ♣❡✉✈❡♥t ♣❛s êtr❡

ré❛❧✐sé ❛✉ ❝♦✉rs ❞❡ ❧❛ ♠ê♠❡ ❡①♣ér✐❡♥❝❡✳

• A ∪ B ❡st ❧✬é✈é♥❡♠❡♥t A ♦✉ B✳ A ♦✉ B ❡st ré❛❧✐sé s✐ ❡t s❡✉❧❡♠❡♥t s✐

❧✬✉♥ ❛✉ ♠♦✐♥s ❞❡s é✈é♥❡♠❡♥ts A ♦✉ B ❡st ré❛❧✐sé ❧♦rs ❞❡ ❧✬❡①♣ér✐❡♥❝❡✳ ❯♥

é✈é♥❡♠❡♥t ♣r♦❝❤❡ ❡stA∆B✱ ❝✬❡st ❧✬é✈é♥❡♠❡♥t ✧A♦✉ ❜✐❡♥B✧✳ ■❧ ❡st ré❛❧✐sé s✐ ❡t s❡✉❧❡♠❡♥t s✐ ✉♥ s❡✉❧ ❡①❛❝t❡♠❡♥t é✈é♥❡♠❡♥t A ♦✉ B ❡st ré❛❧✐sé ❧♦rs

❞❡ ❧✬❡①♣ér✐❡♥❝❡✳

• ❖♥ ❞✐t q✉❡ A ✐♠♣❧✐q✉❡ B s✐ ❧❛ ré❛❧✐s❛t✐♦♥ ❞❡ A ✐♠♣❧✐q✉❡ ❝❡❧❧❡ ❞❡ B✱ ✐✳❡ s✐

A⊂B✳ ❖♥ ♥♦t❡ A⇒B✳ Définition 21

■♥st✐t✉t ❞✬❆❧③♦♥ ✶✼