Formulaires: R´ evision d’analyse

(1)

Formulaires: R´ evision d’analyse

Proposition 1:

Formules d’Euler Pour tout r´eel θ, on a :

cos(θ) = exp(iθ) + exp(−iθ)

2 et sin(θ) = exp(iθ)−exp(−iθ) 2i

Proposition 2:

Formule de De Moivre

Pour tout r´eel θ, pour tout entiern, on a : (cos(θ) +isin(θ))ⁿ = cos(nθ) +isin(nθ).

Proposition 3:

Pour tout (z₁, z₂) ∈ C², pour tout λ ∈ R, pour tout n ∈ N et pour tout m ∈Z, on a :

1. λz₁ =λz₁

2. z₁+z₂ =z₁+z₂ 3. z₁z₂ =z₁ z₂

4.

z₁ z₂

= z₁

z₂ si z₂ 6= 0 5. z1 =z1

6. Re (z₁) = z₁+z₁ 2

7. Im (z₁) = z₁−z₁ 2i 8. (z₁)ⁿ=z₁ⁿ

9. (z₁)^m =z₁^m si z₁ 6= 0

Proposition 4:

Pour tout complexes z etz⁰, r´eel λ, entier naturel n, entier m et complexes z₁, z₂,· · · , z_n, on a :

1. |z|² =zz=|z|². 2. |z|= 0⇔z = 0 3. |z×z⁰|=|z| × |z⁰| 4. |zⁿ|=|z|ⁿ

5.

z⁰ z

= |z⁰|

|z| siz 6= 0

6. |z^m|=|z|^m siz 6= 0

7. |λz|=

(λ|z| si λ>0

−λ|z| si λ60 8.

n

Y

k=0

z_k

=

n

Y

k=0

|z_k| 9. |z₁ +z₂|6|z₁|+|z₂|

(2)

Proposition 5:

θ 0 π

6 π 4

π 3

π

2 π

cos(θ) 1

√3 2

√2 2

1

2 0 −1

sin(θ) 0 1 2

√2 2

√3

2 1 0

tan(θ) 0 1

√3 1 √

3 non d´efini 0

Proposition 6:

Relation cœfficients-racines Soient b et c deux réels. Les racines z₁ et z₂ du polynôme X²+bX+cvérifient :

z₁ +z₂ =−b et z₁z₂ =c.

R´eciproquement, si on a : z1+z2 = −b et z1z2 = c alors z1 et z2 sont les racines du polynˆome X²+bX+c.

Proposition 7:

Pour tous r´eels θ, on a : cosπ

2 −θ

= sin(θ) et sinπ 2 −θ

= cos(θ).

Proposition 8:

Pour tous r´eels θ et ϕ, on a :

• cos(θ+ϕ) = cos(θ) cos(ϕ)−sin(θ) sin(ϕ)

• sin(θ+ϕ) = sin(θ) cos(ϕ) + sin(ϕ) cos(θ)

• cos(θ−ϕ) = cos(θ) cos(ϕ) + sin(θ) sin(ϕ)

• sin(θ−ϕ) = sin(θ) cos(ϕ)−sin(ϕ) cos(θ)

Proposition 9:

Pour tout r´eel θ, on a :

sin(2θ) = 2 sin(θ) cos(θ) et cos(2θ) = cos²(θ)−sin²(θ) = 2 cos²(θ)−1 = 1−2 sin²(θ).

La prochaine proposition n’est pas à apprendre par cœur mais à savoir retrouver à partir de formules de l’angle moitié (en identifiant parties réelles et imaginaires) :

exp (ia)+exp (ib) = 2 cos

a−b 2

exp

ia+b

2

et exp (ia)−exp (ib) = 2isin

a−b 2

exp

ia+b

2

.

Proposition 10:

Pour tous r´eels p etq, on a :

• cos(p) + cos(q) = 2 cos ^p+q₂

cos ^p−q₂

• cos(p)−cos(q) =−2 sin ^p+q₂

sin ^p−q₂

• sin(p) + sin(q) = 2 sin ^p+q₂

cos ^p−q₂

• sin(p)−sin(q) = 2 cos ^p+q₂

sin ^p−q₂

(3)

Proposition 11:

Pour tous les r´eels θ et ϕ, sous r´eserve d’existence, on a :

• 1 + tan²(θ) = 1 cos²(θ)

• tan(θ+ϕ) = tan(θ) + tan(ϕ) 1−tan(θ) tan(ϕ)

• tan(θ−ϕ) = tan(θ)−tan(ϕ) 1 + tan(θ) tan(ϕ)

• tan(2θ) = 2 tan(θ) 1−tan²(θ)

Proposition 12:

Pour tout r´eel θ, sous r´eserve d’existence, en posant t = tan θ

2

, on a :

• sin(θ) = 2t

1 +t² • cos(θ) = 1−t²

1 +t² • tan(θ) = 2t

1−t²

D´ efinition 13:

• Soit P une fonction deK dans K. On dit que P est un polynôme à coefficients dans K s’il existen un entier naturel etn+ 1 éléments deK, a₀, a₁, a₂, . . . , a_n, telles que :

P =a₀+a₁X+a₂X²+. . .+a_nXⁿ ce qui peut s’´ecrire ainsi :

P : (

K ^- K

x ^- a₀+a₁x+a₂x²+. . .+a_nxⁿ

• On note K[X] l’ensemble des polynômes à coefficients dans K, les éléments de R[X] sont appelés polynômes à coefficients réels, les éléments de C[X] sont appelés polynômes à coefficients complexes.

Proposition 14:

^Soient ⁿ ^et ^m deux entiers naturels. Soient (a₀, a₁, . . . , a_n) ∈ Kⁿ⁺¹ et (b₀, b₁, . . . , b_m) ∈ K^m+1. On pose P = a₀+a₁X+. . .+a_nXⁿ et Q = b₀+b₁X+. . .+b_mX^m avec a_n6= 0, b_m 6= 0. On a :

P =Q⇐⇒











n =m

a0 =b0

. . .

an =bn

Proposition 15:

Int´egrit´e de K[X]

Soient P etQ deux polynˆomes `a coefficients dansK, on a : P ×Q= 0⇐⇒P = 0 ouQ= 0.

Proposition 16:

Formule du binˆome de Newton

Soient P etQ deux polynˆomes `a coefficients dansK etn un entier naturel, on a : (P +Q)ⁿ=

n

X

k=0

n k

P^kQ^n−k.

(4)

Proposition 17:

^Soient ^P êt^Qdeux polynômes à coefficients dansK etλun élément de K.

• On a : ∂^◦(P +Q)6max(∂^◦(P), ∂^◦(Q)).

• Si on sait que ∂^◦(P)6=∂^◦(Q) alors ∂^◦(P +Q) = max(∂^◦(P), ∂^◦(Q)).

• Siλ est non nulalors : ∂^◦(λP) = ∂^◦(P).

• On a : ∂^◦(P ×Q) = ∂^◦(P) +∂^◦(Q).

• On a : ∂^◦(P ◦Q) = ∂^◦(P)×∂^◦(Q).

• ∂^◦(P⁰) =

(∂^◦(P)−1 si∂^◦(P)>1

−∞ si∂^◦(P)60.

Th´ eor` eme 18:

^Th´^eor`eme de d’Alembert

Soit P un polynˆome `a coefficients complexenon constant.P admet au moins une racine dansC.

Th´ eor` eme 19:

Tout polynômeP deC[X] s’écrit de fa¸con unique (à l’ordre près) sous la forme :

P =λ×(X−α₁)^µ¹ ×(X−α₂)^µ²· · · ×(X−αn−1)^µⁿ⁻¹ ×(X−α_n)^µⁿ avec :

• λ le coefficient dominant deP.

• n un entier naturel.

• α1, . . . , αn les racines deP.

• ∀i∈J1, rK, µ_i est la multiplicit´e de α_i.

• µ₁ +µ₂+· · ·+µn−1+µ_n le degr´e de P.

Proposition 20:

^Soit ^P ^{un polynˆ}^{ome `}a coefficients r´eel. Soit z un complexe tel que P(z) = 0. On a alors :

P(z) = 0.

Th´ eor` eme 21:

^Soit ⁿ un entier naturel.

• Un polynôme non nul de degré n admet au plus n racines comptées avec leur multiplicité

• Si P appartient à Kⁿ[X] et admet n + 1 racines distinctes deux à deux, alors P est le polynôme nul.

Proposition 22:

^Soient ^P ^{un polynˆ}^{ome `}a coefficients dans K et a un ´el´ement de K. Soit k un entier naturel non nul.

• α est racine de P d’ordre au moins k si et seulement si : P(α) =P⁰(α) = · · ·=P^(k−1)(α) = 0.

• α est racine de P d’ordre exactement k si et seulement si :

P(α) = P⁰(α) =· · ·=P^(k−1)(α) = 0 et P^(k)(α)6= 0.

(5)

Proposition 23:

Croissances comparées Soient α et β des réels strictement posi- tifs. Soit k un réel strictement supérieur à 1. On a alors :

1. (ln(n))^β = o

+∞(n^α) 2. n^α = o

+∞(kⁿ) 3. kⁿ= o

+∞(n!)

Proposition 24:

Soient pet n deux entiers naturels tels que p6n, on a :

n

X

k=p

g_k = premier terme×1−raisonnombre de termes 1−raison

avec (g_n)n∈N une suite géométrique de raison différente de 1.

Proposition 25:

^Soient ^p^et ⁿ deux entiers naturels tels que p6n, on a :

n

X

k=p

a_k= (premier terme+dernier terme)×nombre de termes 2

avec (a_n)n∈N une suite arithm´etique.

Proposition 26:

^Soient â êt^b ^{deux r´}^{eels et (U}n)n∈N une suite définie par :

∀n ∈N, U_n+2 =aU_n+1+bU_n.

1. Si l’équation caractéristique admet deux racines réelles r₁ etr₂ alors il existe deux réels λ etµ tels que, pour tout entier naturel n, on ait :

Un=λr₁ⁿ+µr₂ⁿ.

2. Si l’équation caractéristique admet admet une racine double r₀ alors il existe deux réels λ etµ tels que, pour tout entier naturel n, on ait :

U_n=λrⁿ₀ +µnr₀ⁿ.

3. Si l’équation caractéristique admet deux racines complexesr₁ etr₂, elles seront de la forme reîθ etre^−iθ avecr etθ deux réels et il existera :

• deux complexesλ et µtels que, pour tout entier naturel n, on ait : U_n =λr₁ⁿ+µr₂ⁿ.

• deux r´eels A etB tels que, pour tout entier naturel n, on ait : U_n= (Acos(nθ) +Bsin(nθ))rⁿ.

(6)

Proposition 27:

Passage à la limite dans les inégalités Soient (U_n)_n∈_N et (V_n)_n∈_N deux suites réelles. On suppose que :

∀n∈N, U_n>V_n.

• Si lim

n→+∞(Un) et lim

n→+∞(Vn) existent et sont finies, on a : lim

n→+∞(Un)> lim

n→+∞(Vn).

• Si lim

n→+∞(U_n) =−∞ alors lim

n→+∞(V_n) = −∞. Si lim

n→+∞(V_n) = +∞ alors lim

n→+∞(U_n) = +∞.

Th´ eor` eme 28:

^Th´^eor`eme des gendarmes (ou d’encadrement)

Soient (U_n)n∈N, (V_n)n∈N et (W_n)n∈N trois suites r´eelles. On suppose que, pour tout entier naturel n, on a :

U_n6V_n 6W_n. Si lim

n→+∞(U_n) et lim

n→+∞(W_n) existent, sont finies et ´egales alors (V_n)n∈N converge et converge vers cette limite.

Th´ eor` eme 29:

^Th´^eor`eme de la limite monotone

Soit (U_n)n∈N une suite de r´eels monotone. Si (U_n)n∈N est croissante (resp. d´ecroissante) alors :

• Si elle est de plus majorée (resp. minorée), elle converge et sa limite est la borne supérieure (resp. inférieure) de l’ensemble {U_n, n∈N}.

• Si elle n’est pas major´ee (resp. minor´ee),, elle tend vers +∞(resp. −∞ ).

Proposition 30:

On appelle somme de Riemann de f sur [0,1], avec f fonction num´erique et continue sur [0,1], les deux r´eels suivants :

S_1,n(f) = 1 n ×

n−1

X

k=0

f k

n

et S_2,n(f) = 1 n ×

n

X

k=1

f k

n

.

Ces quantités sont des sommes d’aires de rectangles associés à f. Si f est continue sur [0,1] alors les sommes de Riemann de f sur [0,1] convergent et on a :

n→+∞lim (S1,n(f)) = lim

n→+∞(S2,n(f)) = Z 1

0

f(t)dt

D´ efinition 31:

^Soit^a ^{un r´}eel. Si lim

x−→a

f(x)−f(a) x−a

existe et est finie alors on dit que f est d´erivable en a et on a :

f⁰(a) = lim

x−→a

f(x)−f(a) x−a

.

Proposition 32:

^Soit ^f ^:^D ^→ R une fonction continue et strictement monotone. Si f est d´erivable en a et si f⁰(a)6= 0 alors f⁻¹ est d´erivable en f(a) et, en posant b=f(a), on a :

f⁻¹⁰

(b) = 1

f⁰(f⁻¹(b)).

(7)

Th´ eor` eme 33:

Théorème des valeurs intermédiaires

Soient a et b deux réels tels que a < b. Soit h une fonction numérique à variable réelle continue sur [a, b]. Si h(a)×h(b)60 alors il existe c∈[a, b] tel queh(c) = 0.

Proposition 34:

^Soientâ êt ^b^{deux r´}eels tels quea < b. Soithune fonction numérique

`

a variable r´eelle continue sur [a, b] telle queh(a)×h(b)60. On d´efinit les suites (a_k)k∈N et (b_k)k∈N

de la fa¸con suivante :

• a₀ =a etb₀ =b.

• Pour tout entier naturelk, on note c_k= a_k+b_k 2 et : a_k+1 =

(a_k si f(a_k)f(c_k)60

c_k sinon et b_k+1 =

(b_k si f(a_k)f(c_k)>0 c_k sinon

On sait que :

1. Pour tout entier naturel k, on a : b_k−a_k = b−a 2^k .

2. (a_k)k∈N et (b_k)k∈N sont des suites adjacentes, (a_k)k∈N est croissante, (b_k)k∈N d´ecroissante.

3. (a_k)k∈N et (b_k)k∈N converge vers un r´eel α de [a, b] tel que f(α) = 0.

Th´ eor` eme 35:

^Th´^eor`eme de l’image d’un segment

L’image d’un segment par une fonction continue est un segment, cela signifie qu’une fonction continue sur un segment y est born´ee et atteint ses bornes.

Th´ eor` eme 36:

Th´eor`eme de la bijection continue

Soit f une fonction numérique définie sur I. Si f est strictement monotone et continue sur I alors f⁻¹ est continue et strictement monotone et son sens de variation est celui de f. De plus, l’équation f(x) = y d’inconnue x élément de I a exactement 0 solution si y n’appartient pas à f(I) et a exactement 1 solution si y appartient à f(I).

Th´ eor` eme 37:

Th´eor`eme de Rolle

Soient a etb deux r´eels tels quea < b, soitf : [a, b]→Rune fonction. Si f est continue sur [a, b], d´erivable sur ]a, b[ et sif(a) = f(b) alors il existe c dans ]a, b[ tel que f⁰(c) = 0.

Th´ eor` eme 38:

^Th´^eor`eme des accroissements finis

Soient a etb deux r´eels tels quea < b, soitf : [a, b]→Rune fonction. Si f est continue sur [a, b], d´erivable sur ]a, b[ alors il existec dans ]a, b[ tel que :

f⁰(c) = f(b)−f(a) b−a .

D´ efinition 39:

Notations de Landau.

• On dit que f est n´egligeable devant g au voisinage de a et l’on note f =

a o (g) lorsque

x→alim

f(x) g(x)

= 0.

(8)

• On dit que f est ´equivalente `a g et l’on notef ∼

a g lorsque lim

x→a

f(x) g(x)

= 1.

Proposition 40:

^Soit ^α ^{un r´}eel non nul.

• Si lim

x→a(f(x)) existe, est finie et non nulle alors : f(x)∼

a lim

x→a(f(x)).

• Si lim

x→a(f(x)) = 0 alors : 1. sin(f(x))∼

a f(x) 2. tan(f(x))∼

a f(x) 3. ln(1 +f(x))∼

a f(x)

4. 1−cos(f(x))∼

a

f(x)² 2 5. exp (f(x))−1∼

a f(x) 6. (1 +f(x))^α−1∼

a αf(x)

• Un polynôme est équivalent en l’infini à son monôme de plus haut degré. Un polynôme est

équivalent en zéro à son monôme de plus bas degré.

Th´ eor` eme 41:

Th´eor`eme de Taylor-Young

Soient D un voisinage de z´ero et f :D →R une fonction. On suppose que f est de classe Cⁿ sur D, on a alors :

f(x) =

0 f(0) +f⁰(0)x+f⁰⁰(0)x²

2! +f⁽³⁾(0)x³

3! +· · ·+f⁽ⁿ⁾(0)xⁿ n! + o

0(xⁿ).

Proposition 42:

En utilisant la formule de Taylor-Young, on obtient les développements limités en zéro de fonctions usuelles.

exp(x) =

0 1 + x¹ 1! +x²

2! +· · ·+xⁿ n! + o

0(xⁿ). cos(x) =

0 1−x² 2! + x⁴

4! · · ·+ (−1)ⁿ x²ⁿ (2n)!+ o

0 x²ⁿ⁺¹ . sin(x) =

0

x¹ 1! −x³

3! + x⁵

5! · · ·+ (−1)ⁿ x²ⁿ⁺¹ (2n+ 1)! + o

0 x²ⁿ⁺² . (1 +x)^α =

0 1 +αx¹

1! + α(α−1)

2! x²+· · ·+α(α−1)· · ·(α−n+ 1)

n! xⁿ+ o

0(xⁿ) avec α un r´eel quelconque

=0 n

X

k=0

α k

x^k

!

+ o0(xⁿ).

√1 +x=

0 1 + x 2 − x²

8 +· · ·+ (−1)ⁿ⁻¹1×3× · · · ×(2n−3) 2ⁿn! xⁿ+ o

0(xⁿ). 1

1 +x =

0 1−x+x²−x³+· · ·+ (−1)ⁿxⁿ+ o

0(xⁿ). 1

1−x =

0 1 +x+x²+x³+· · ·+xⁿ+ o

0(xⁿ). ln(1 +x) =

0 x− x² 2 + x³

3 · · ·+ (−1)ⁿ⁻¹xⁿ n + o

0(xⁿ).

(9)

Proposition 43:

Soit f :I →Rune fonction. Sif est continue sur I alors la fonction F d´efinie sur I par :

F :x7→

Z x a

f(t)dt

est une fonction de classe C¹ surI telle que F⁰ estf.F est l’unique primitive de f qui s’annule en a.

Proposition 44:

^Soient ^f ^:^J ^→R et g :J →R deux fonctions. Soientr, u et y trois

´

el´ements deJ. On suppose quef etg sont continues ou continues par morceaux sur J, on a :

• Z b

a

(vf(t) +ug(t))dt=v Z b

a

f(t)dt+u Z b

a

g(t)dt. (Linéarité de l’intégration)

• Z u

r

f(t)dt = Z y

r

f(t)dt+ Z u

y

f(t)dt. (Relation de Chasles)

Proposition 45:

Soient u : J → R et v : J → R deux fonctions de classe C¹ sur J alors :

Z b a

u⁰(t)v(t)dt = [u(t)v(t)]^b_a− Z b

a

u(t)v⁰(t)dt. (Int´egrations par parties)

Proposition 46:

^Soient ^α êt ^β ^{deux r´}êels. ^K ^désignera le segment [α, β] si α6 β et le segment [β, α] siβ 6α.

Soient f : J → R et u : K → R deux fonctions. On suppose que f est continue ou continue par morceaux sur u(K) et que u est de classe C¹ surK. On a alors :

Z u(β) u(α)

f(x)dx et Z β

α

f(u(t))u⁰(t)dt existent et

Z u(β) u(α)

f(x)dx= Z β

α

f(u(t))u⁰(t)dt.

On dit qu’on effectue le changement de variable x=u(t) et que celui-ci est licite.

Proposition 47:

Croissance de l’int´egration Soient g et h deux r´eels tels que g 6h.

Soient f1 : [g, h] →R et f2 : [g, h] → R deux fonctions continues ou continues par morceaux sur [g, h].

1. Si pour tout élément t de [g, h], sauf éventuellement en un nombre finis de points, on a f₁(t)>f₂(t), alors on peut affirmer que :

Z h g

f₁(t)dt >

Z h g

f₂(t)dt.

2.

Z h g

f(t)dt 6

Z h g

|f(t)|dt. Cette dernière inégalité s’appelle l’inégalité triangulaire.

Proposition 48:

Si g est de classe C¹ surI et que g⁰ admet un développement limité au voisinage de zéro d’ordren alorsg admet un développement limité au voisinage de zéro d’ordre n+ 1 et si : g⁰(x) = (a₀+a₁x+a₂x²+· · ·+a_nxⁿ) + o

0(xⁿ) avec (a₀, a₁,· · ·, a_n)∈Rⁿ⁺¹ alors : g(x) =

g(0) +a₀x+a₁x²

2 +a₂x³

3 +· · ·+a_nxⁿ⁺¹ n+ 1

+ o0 xⁿ⁺¹ .

(10)

Proposition 49:

Notons S l’ensemble des solutions de l’ équation différentielle d’inconnue yfonction deux fois dérivable suivante : y⁰⁰+by⁰+cy = 0 . Pour l’expliciter, on résout son

´

equation caract´eristique, c’est l’´equation, d’inconnue x complexe, x² +bx+c = 0. On distingue alors les cas suivants :

1. Si l’équation caractéristique admet deux racines réelles r1 etr2, on a alors : S =

( f :

(I →R

x 7→λexp (r1x) +µexp (r2x),(λ, µ)∈R² )

.

2. Si l’´equation caract´eristique admet une racine double r₀, on a alors : S =

( f :

(I →R

x 7→(λ+µx)×exp (r₀x), (λ, µ)∈R² )

.

3. Si l’´equation caract´eristique admet deux racines complexes, elles seront de la forme α+ iβ etα−iβ avec (β, α)∈R². On a alors :

S = (

f :

(I →R

x 7→(λcos(βx) +µsin(βx)) exp (αx), (λ, µ)∈R² )

.

Proposition 50:

Soit (E) l’équation différentielle suivante d’inconnue y fonction dérivable sur I : y⁰+a(x)y=b(x) (E). L’ensemble des solutions de (E) est :

( f :

(I →R

x 7→y₀(x) +Cexp(−A(x)), C ∈R )

avec A une primitive de a et y₀ une solution particulière de (E). On peut chercher une solution particulière de (E) sous la formex7→C(x) exp(−A(x)) avecC fonction dérivable sur I (méthode de variations de la constante).

Proposition 51:

On cherche à calculer une approximation de u(T) aveca un réel, T un réel strictement positif et u une fonction dérivable sur [0, T] telle que :

∀t∈[0, T], u⁰(t) = f(t, u(t)) et u(0) =a

avec f une fonction continue sur R². On définit alors les réels z₀,· · · , z_N définis par z₀ = a et, pour tout entier k deJ0, N −1K, on pose :

z_k+1 =z_k+f

kT N, z_k

× T N. On sait que lim

N−→+∞(z_N) est une bonne approximation de u(T).

D´ efinition 52:

^Soient ^f ^:^{D →}R une fonction de deux variables avecD une partie de R² et λ un réel. Soit (a, b) un élément de D.

• On appelle courbe de niveauλdef l’ensemble{(x, y)∈R² avec (x, y)∈ D etf(x, y) =λ}.

(11)

• On appelle applications partielles def en (a, b) les fonctions suivantes : f_x:

({x∈R tels que (x, b)∈ D } →R

x 7→f(x, b) etf_y :

({y ∈Rtels que (a, y)∈ D } →R

y 7→f(a, y)

que l’on note parfois f(., b) et f(a, .).

• Si f_x est dérivable en a alors on dit que f admet une dérivée partielle par rapport

`

a la premi`ere variable en (a, b) et on note : ∂f

∂x(a, b) = f_x⁰(a). Autrement dit, si

x−→alim

f(x, b)−f(a, b) x−a

existe, on a alors :

∂f

∂x (a, b) = lim

x−→a

f(x, b)−f(a, b) x−a

. Mˆeme concept pour la deuxi`eme variable.

• On dit quef est une fonction de classeC¹surDsi toutes les d´eriv´ees partielles def existent et sont continues sur D.

• Si la fonction ∂f

∂x admet des d´eriv´ees partielles en tout point de D, on note :

∂²f

∂x² = ∂

∂x ∂f

∂x

et ∂²f

∂y∂x = ∂

∂y ∂f

∂x

.

De mˆeme avec ∂f

∂y qui donne ∂²f

∂x∂y et ∂²f

∂y². Ces quatre fonctions sont appelées les dérivées partielles secondes de f et on dit que f est de classe C² surD si ses dérivées partielles ∂f

∂x et ∂f

∂y sont de classe C¹ sur D. Si f est de classe C² surD alors leth´eor`eme de Schwarz affirme que ∂²f

∂y∂x = ∂²f

∂x∂y.

Proposition 53:

Soient I un intervalle réel non réduit à un point, f : D → R, ϕ:I →Retψ :I →R trois fonctions. On pose : g :

(I →R

t 7→f(ϕ(t), ψ(t)). On suppose quef est un élément deC¹(D,R), queϕetψ sont deux éléments deC¹(I,R) et queϕ(I)×ψ(I)⊂ D.g est alors un élément de C¹(I,R) et pour tout réel t de I, on a :

g⁰(t) = ϕ⁰(t)∂f

∂x(ϕ(t), ψ(t)) +ψ⁰(t)∂f

∂y(ϕ(t), ψ(t)).

D´ efinition 54:

^Soit ^f une fonction num´erique de classe C¹ sur D. Soit (a, b) un

´

el´ement de D. On appelle gradient de f en (a, b) le vecteur not´e −−→

grad_(a,b)(f) de coordonn´ees ∂f

∂x (a, b),∂f

∂y (a, b)

.

(12)

Proposition 55:

Soient (a, b, c, d) ∈ R⁴ avec a < b et c < d. Soit f une fonction num´erique de classeC¹ sur ]a, b[ × ]c, d[ .

• Si f admet en (x₀, y₀) un extremum alors ∂f

∂x(x₀, y₀) = ∂f

∂y (x₀, y₀) = 0 et le gradient de f en (x0, y0) est le vecteur nul.

• Si ∂f

∂x (x₀, y₀) = 0 et ∂f

∂y (x₀, y₀) = 0, on dit que (x₀, y₀) est un point critique de f.

D´ efinition 56:

Soit f :D → Rune fonction de classe C¹ sur D. Soit (x0, y0) un point de D. Le plan tangent à S_f en (x₀, y₀) est le plan d’équation cartésienne :

z =f(x₀, y₀) + ∂f

∂x(x₀, y₀) (x−x₀) + ∂f

∂y (x₀, y₀) (y−y₀).

Le plan tangent `a S_f en (x₀, y₀) est donc le plan passant par (x₀, y₀, f(x₀, y₀)) et normal `a

−−→grad_(x₀_,y₀₎(f).

Proposition 57:

Soit f :D → Rune fonction de classe C¹ sur D. Soient h etk deux r´eels et −→u le vecteur (h, k), on a :

f(x₀+h, y₀+k)−f(x₀, y₀)≈−−→

grad_(x₀_,y₀₎(f)· −→u