Analyse I : les r´ eels et les fonctions Ann´ ee 2013-2014

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ann´ ee

Analyse I : les r´ eels et les fonctions Ann´ ee 2013-2014

Contrˆ ole continu n

3 – Corrig´ e

1. [2pt] La fonction f est d´ erivable sur R, donc son graphe admet une tangente en tout point (x

, f(x

)) et il s’agit de la droite d’´ equation

y − f (x

) = f

(x

)(x − x

).

[2pt] Si x

= 1, alors f (x

) = f (1) = 1 et f

(x

) = f

(1) = − 1. On obtient la droite d’´ equation y = 1 − x, c’est-` a-dire la parall` ele ` a la seconde diagonale passant par le point (1, 0).

[2pt] Elle forme un angle de − π/4

avec l’axe des abscisses.

x

−π/4 O 1

2. [2pt] Si f et g sont deux fonctions n fois d´ erivables, alors la fonction f g est ´ egalement n fois d´ erivable et

(f g)

=

∑

k=0

( n k )

f

g

(formule de Leibniz).

[2pt] On applique ceci aux fonctions f et g d´ efinies sur R par f (x) = x et g(x) = e

. Leurs d´ eriv´ ees successives se calculent facilement :

f

(x) = 1, f

= 0 pour tout entier m > 2 et

g

(x) = 2

e

pour tout entier m > 0.

Pour la fonction g, on d´ emontre l’identit´ e pr´ ec´ edente en raisonnant par r´ ecurrence sur m. C’est vrai pour m = 0 puisque g

(x) = g(x) = e

et, si c’est vrai pour un entier m > 0, alors ¸ca l’est

´ egalement pour m + 1 puisque

g

(x) = (g

)

(x) = (2

e

)

= 2

(2e

) = 2

e

.

[3pt] Comme la d´ eriv´ ee k-i` eme de f s’annule pour k > 2, seuls les termes d’indices k = 0 et k = 1 ont une contribution dans la formule de Leibniz. On a donc

(f g)

(x) = ( n

0 )

f (x)g

(x) + ( n

1 )

f

(x)g

(x)

= 2

xe

+ n2

e

= (2x + n)2

e

.

1. L’angle entre deux droites est d´efini moduloπ

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3. [2pt+2pt] Les fonctions ` et h sont d´ erivables sur R. Pour tout x ∈ R, h

(x) + 3h(x) = (e

− 3 × 2013e

) + 3(e

+ 2013e

) = 4e

et

`

(x) + 3`(x) = (e

− 3e

) + 3(e

+ e

) = 4e

,

donc les fonctions h et ` sont des solutions de l’´ equation diff´ erentielle y

+ 3y = 4e

.

[3pt] Les solutions de l’´ equation homog` ene y

+ 3y = 0 sont exactement les fonctions de la forme y(x) = Ce

, avec C ∈ R. On obtient toutes les solutions de l’´ equation inhomog` ene en faisant la somme d’une solution particuli` ere, par exemple la fonction h, et d’une solution quelconque de l’´ equation homog` ene. On obtient ainsi toutes les fonctions de la forme

y(x) = e

+ Be

avec B ∈ R. En particulier, la fonction exponentielle (cas B = 0) est une troisi` eme solution de l’´ equation diff´ erentielle consid´ er´ ee.

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