5.1 Existence de solution pour l’´ equation homog` ene

5 Equation de la chaleur

5.1 Existence de solution pour l’´ equation homog` ene

Consid´erons le probl`eme

∂u

∂t −∆u= 0, t >0, x∈R^d, (5.1)

u(0, x) =u0(x), x∈R^d, (5.2)

o`u u0(x) est une fonction donn´ee appartenant `a l’espace Cb(R^d) des fonctions born´ees continues. Pourt >0 etx∈R^d, on pose

Kt(x) = (4πt)^−d/2e^−|x|

2 4t . Th´eor`eme 5.1. Pour toutu0∈Cb(R^d)la fonction

u(t, x) = (Kt∗u0)(x) = (4πt)^−d/2 Z

R^d

e^−|x−y|

2

4t u0(y)dy (5.3) appartient `a l’espace C^∞(R^∗₊ ×R^d)∩Cb(R^d+1₊ ) et v´erifie les ´equations (5.1), (5.2).

D´emonstration. Il est facile `a voir queu∈C^∞(R^∗₊×R^d). De plus, pour t >0, x∈R^d, on a

∂tKt(x) = (4πt)^−d2e^−|x|

2 4t

|x|² 4t² − d

2t

,

∂_kK_t(x) =−(4πt)^−d2e^−|x|

2 4t xk

2t,

∂_k²Kt(x) = (4πt)^−d2e^−|x|

2 4t

x²_k 4t² − 1

2t

,

d’o`u on conclut queuv´erifie l’´equation (5.1). Montrons queu∈Cb(R^d+1₊ ). En effet, si|u0| ≤C, alors

|u(t, x)| ≤(4πt)^−d/2 Z

R^d

e^−|x−y|

2

4t |u0(y)|dy≤C(2π)^−d/2 Z

R^d

e^−|z|

2

2 dz=C.

Montrons enfin que u(t, x) v´erifie l’´equation (5.2) au sens que, pour tout R >0, on a

t→0lim⁺u(t, x) =u0(x) uniform´ement pour|x| ≤R.

Soitε >0. En faisant le changement de variabley=x−√

2tz, on obtient

|u(t, x)−u₀(x)| ≤(4πt)^−d/2 Z

R^d

e^−|x−y|

2

4t |u₀(y)−u₀(x)|dy

≤(2π)^−d/2 Z

R^d

e^−|z|

2

2 |u0(x−√

2tz)−u0(x)|dz. (5.4)

27

On choisit des constantes N >0 etδ >0 telles que (2π)^−d/2

Z

|z|≥N

e^−|z|

2

2 dz≤(4 sup|u0|)⁻¹ε, sup

|x|≤R|u0(x−√

2tz)−u0(x)| ≤ ε

2 pour|z| ≤N, 0≤t≤δ.

Alors l’in´egalit´e (5.4) implique que sup

|x|≤R|u(t, x)−u₀(x)| ≤ ε 2+ε

2(2π)^−d/2 Z

|z|≤N

e^−|z|

2 2 dz≤ε.

Ceci ach`eve la d´emonstration du th´eor`eme.

Exercice 5.2. Pour touta >0, trouver une formule explicite pour la solution de l’´equation

∂_tu−a²∆u= 0,

munie de la condition initiale (5.2) avec u0 ∈ Cb(R^d). Indication : faire un changement de variablex=ay.

5.2 Formule de Duhamel

Consid´erons maintenant l’´equation non homog`ene

∂u

∂t −∆u=f(t, x), t >0, x∈R^d. (5.5) o`u f est une fonction donn´ee. On note C<sup>1,2</sup>(R<sup>∗</sup><sub>+</sub> ×R<sup>d</sup>) l’espace des fonctions u(t, x) telles que u, ∂tu, ∂ku, ∂k∂lu∈C(R<sup>∗</sup><sub>+</sub>×R<sup>d</sup>) pour tousk, l= 1, . . . , d. Les espaces C<sup>1,2</sup>(R<sup>d+1</sup><sub>+</sub> ) etC<sub>b</sub><sup>1,2</sup>(R<sup>d+1</sup><sub>+</sub> ) sont d´efinis d’une mani`ere analogue.

Th´eor`eme 5.3. Pour toutf ∈C_b¹(R^d+1₊ )la fonction u(t, x) =

Z t

0

Kt−s∗f(s,·) (x)ds

appartient `a l’espaceC_b^1,2(R^d+1₊ )et v´erifie les ´equations (5.5),(5.2)avecu0≡0.

D´emonstration. La fonction upeut ˆetre repr´esent´ee sous la forme u(t, x) =

Z t

0

(4πs)^−d2 Z

R^d

e^−|y|

2

4s f(t−s, x−y)dy ds. (5.6) Cette formule implique que u∈C_b¹(R^d+1₊ ) et

∂tu(t, x) = Kt∗f(0,·) (x) +

Z t

0

Ks∗(∂tf)(t−s,·)

(x)ds, (5.7)

∂ku(t, x) = Z t

0

Ks∗(∂kf)(t−s,·) (x)ds

= Z t

0

(4πs)^−d2 Z

R^d

e^−|x−y|

2

4s (∂kf)(t−s, y)dy ds, (5.8)

28

o`u k = 1, . . . , d. En d´erivant la relation (5.8) par rapport `a xl et faisant le changement de variabley=x−√

2sz, on obtient

∂k∂lu(t, x) =−(2π)^−d/2 Z t

0

Z d

R

zl(2s)⁻¹²e^−|z|

2

2 (∂kf)(t−s, x−√

2s z)dz ds.

(5.9) Nous avons montr´e queu∈C_b^1,2(R^d+1₊ ). V´erifions les ´equations (5.5), (5.2). En faisant le changement de variabley=x−√

2szdans (5.6), on obtient u(t, x) =

Z t

0

(2π)^−d2 Z

R^d

e^−|z|

2

zs f(t−s, x−√

2sz)dz ds.

Si |f| ≤C, alors

|u(t, x)| ≤C(2π)^−d2 Z t

0

Z

R^d

e^−|z|

2

zs dz ds=C t→0 quandt→0⁺. De plus, les relations (5.7) et (5.9) impliquent que

(∂t−∆)u(t, x)→f(0, x) quandt→0⁺. En combinant cette observation avec la relation

u(t+τ, x) = Kτ∗u(t,·) (x) +

Z τ

0

Kτ−s∗f(t+s,·)

(x)ds, (5.10) on d´emontre que l’´equation (5.5) est v´erifi´ee pourt >0,x∈R^d.

Exercice 5.4. V´erifier queKt+s(x) = (Ks∗Kt)(x). Utiliser cette relation pour d´emontrer (5.10).

5.3 Principe du maximum et unicit´ e

Th´eor`eme 5.5. Soitu∈C²(R^∗₊×R^d)∩Cb(R^d+1₊ )une fonction v´erifiant l’in-

´ egalit´e

∂tu−∆u≤0 pourt >0,x∈R^d. Alors

sup

(t,x)∈R^d+1+

u(t, x) = sup

x∈R^d

u(0, x).

D´emonstration. Il suffit de montrer que pour tout T >0 on a sup

(t,x)∈DT

u(t, x) = sup

x∈R^d

u(0, x),

o`uDT ={(t, x) : 0≤t≤T, x∈R^d}. Pourε >0 introduisons la fonction uε(t, x) =u(t, x)−ε(4dt+|x|²).

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Alorsuε∈C²(]0, T[×R^d)∩Cb([0, T]×R^d) et sup

0≤t≤T

uε(t, x)→ −∞ quand|x| → ∞. Donc, il existe (t0, x0)∈DT tel que

sup

(t,x)∈DT

u_ε(t, x) =u_ε(t0, x₀).

Montrons quet0= 0. En effet, sit0>0, alors

∂_tu_ε(t0, x₀)≥0, ∂_k²u_ε(t0, x₀)≤0, k= 1, . . . , d.

Il s’ensuit que

∂tuε(t0, x0)−∆uε(t0, x0)≥0.

D’autre part,

(∂t−∆)uε= (∂t−∆)u−ε(∂t−∆)(4dt+|x|²)≤ −2dε <0.

La contradiction obtenue prouve que t0= 0. Nous avons ´etabli l’in´egalit´e uε(t, x)≤uε(0, x0)≤ sup

x∈R^d

u(0, x)−ε|x|²

≤ sup

x∈R^d

u(0, x).

En passant `a la limite quandε→0⁺, on obtient le r´esultat cherch´e.

Corollaire 5.6. Pour toutes fonctions u0 ∈ Cb(R^d) et f ∈ C_b¹(R^d+1₊ ) le pro- bl`eme (5.1),(5.2)poss`ede une unique solutionu∈C^1,2(R^∗₊×R^d)∩Cb(R^d+1₊ ).

Exercice 5.7. Soit QT = {(t, x) : 0 < t < T, x ∈ D}, o`u D ⊂ R<sup>d</sup> d´esigne un domaine born´e `a bord r´egulier, etu(t, x) une fonction de classeC²(QT)∩C(Q_T) v´erifiant l’in´egalit´e

∂tu−∆u≤0 pour (t, x)∈QT. Montrer que

sup

(t,x)∈QT

u(t, x) = sup

x∈D

u(0, x).

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