Soient K = R ou C , et N ≥ 2. Consid´ erons l’´ equation diff´ erentielle lin´ eaire homog` ene d’ordre N sur K , ` a coefficients constants :

Universit´ e Paris Diderot - Paris 7 L3 Maths

Equations Diff´ erentielles 2012-2013

Devoir Maison no. 3 pour le 15/03/2013 Equations diff´ ´ erentielles d’ordre N ` a coefficients constants

Equations diff´ ´ erentielles d’ordre N homog` ene ` a coefficients constants

Soient K = R ou C , et N ≥ 2. Consid´ erons l’´ equation diff´ erentielle lin´ eaire homog` ene d’ordre N sur K , ` a coefficients constants :

y

+ a

y

+ a

y

+ · · · + a

y

+ a

y = 0. (E

) On consid` ere le polynˆ ome P = X

+ P

i=0

a

X

, appel´ e polynˆ ome caract´ eristique de (E

).

En se ramenant au cas matriciel et en utilisant les r´ esultats du cours, on peut montrer le r´ esultat suivant.

Th´ eor` eme Supposons que P = Q

i=1

(X − r

)

est scind´ e sur K . Alors les solutions de (E

) sont les applications

t 7→

k

X

i=1

e

P

(t), o` u les P

sont des polynˆ omes de degr´ e < m

.

Le but de ce qui suit est d’en donner une nouvelle preuve. Pour tout polynˆ ome complexe P = X

+ P

i=0

a

X

et pour toute fonction f : R → K de classe C

, on note P (D)(f ) = f

+

N−1

X

i=0

a

f

= f

+ · · · + a

f

+ a

f, o` u D est l’op´ erateur de d´ erivation.

1. Pour tout polynˆ ome P ∈ K[X], on note S

l’espace des solutions de l’´ equation diff´ erentielle P (D)(y) = 0. Si P

, · · · , P

∈ K [X] sont des polynˆ omes premiers entre eux deux ` a deux, montrer que S

= S

⊕ · · · ⊕ S

.

2. Si P

(X) = (X − α)

(α ∈ K ), d´ eterminer la forme des solutions de l’´ equation diff´ erentielle P

(D)(y) = 0.

3. En d´ eduire, pour P = Q

i=1

(X − r

)

scind´ e sur K (deg(P) ≥ 1), la forme des solutions

de l’´ equation diff´ erentielle P (D)(y) = 0.

4. On cherche ` a pr´ esent ` a r´ esoudre la relation de r´ ecurence lin´ eaire homog` ene d’ordre k ` a coefficients constants :

u

+ a

u

+ · · · + a

u

+ a

u

= 0, ∀n ∈ N.

Adapter la m´ ethode pr´ ec´ edente de r´ esolution des ´ equations diff´ erentielles lin´ eaires ho- mog` enes d’ordre N ` a coefficients constants ` a cette situation.

Equations diff´ ´ erentielles d’ordre N ` a coefficients constants avec second mem- bre

On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle suivante :

y

+ y

+ y

+ y = 2(cos(t) + sin(t)). (E) 5. R´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle homog` ene associ´ ee ` a (E).

6. R´ eduire l’´ equation diff´ erentielle (E) ` a un syst` eme diff´ erentiel lin´ eaire d’ordre 1 :

(S)



 y

y

y





0

= A



 y

y

y



 + B(t)

o` u A ∈ M

(R) et B : t ∈ R → B(t) ∈ R

. Donner un syst` eme fondamental de solutions (X

, X

, X

) du syst` eme diff´ erentiel homog` ene associ´ e ` a (S).

7. On cherche ` a pr´ esent une solution particuli` ere de (S) par m´ ethode de variation des constantes, c’est ` a dire sous la forme X(t) = a(t)X

(t) + b(t)X

(t) + c(t)X

(t). Montrer que :

a

(t) = (cos(t) + sin(t))e

, b

(t) = −1 − 2 cos(t) sin(t), c

(t) = cos(t)

− sin(t)

. 8. D´ eterminer des primitives de a

(t), b

(t), c

(t).

9. Donner la forme g´ en´ erale des solutions de (S), puis de (E).

10. De la mˆ eme mani` ere, r´ esoudre les ´ equations diff´ erentielles suivantes :

y

+ y

− y

− y = 1 + 2ch(t) (1)

y

+ y

+ y

+ y = cos(t) (2)

Solution

1. On regarde D comme endomorphisme de C

(R, C) qui ` a u associe u

. Soit u est solution de (E

), u de classe C

. On sait (cours) qu’en tant que solution de (E

), u est en fait de classe C

. D` es lors u est solution de (E

) si et seulement si P (D)(u) = 0, i.e.

u ∈ Ker(P(D)). Ainsi S

= Ker(P(D)).

Maintenant si les polynˆ omes P

, · · · , P

sont premiers entre eux deux ` a deux, on a d’apr` es le lemme des noyaux

Ker(P

· · · P

(D)) = Ker(P

(D)) ⊕ · · · ⊕ Ker(P

(D)).

En d’autres termes,

S

= S

⊕ · · · ⊕ S

.

2. Montrons que les solutions de P

(D)(y) = 0 sont les fonctions de la forme t 7→ e

F(t) avec F un polynˆ ome de degr´ e < n. On proc` ede par r´ ecurrence sur n.

Pour n = 1, le r´ esultat est connu (EDL1 ` a coefficients constants homog` ene) : les solutions sont les fonctions t 7→ λe

, λ ∈ R .

Supposons le r´ esultat vrai au rang n−1 et montrons le au rang n. L’´ equation P

(D)(y) = 0 s’´ ecrit aussi P

(D)[P

(D)(y)] = 0. Ainsi P

(D)(y) est solution de P

(D)(y) = 0.

Par hypoth` ese de r´ ecurrence, P

(D)(y) est donc de la forme t 7→ e

F (t) avec F un polynˆ ome de degr´ e < n − 1. On a donc

y

− αy = e

F (t).

En multipliant l’´ equation pr´ ec´ edente par e

, on obtient [ye

]

= F (t). D’o` u y = e

G(t), avec G une primitive de F , i.e. G ∈ K [X] de degr´ e < n. D’o` u la propri´ et´ e au rang n. On conclut par principe de r´ ecurrence.

3. On suppose que P = Q

i=1

(X − r

)

scind´ e sur K (deg(P) ≥ 1). D’apr` es 1., on a S

= S

⊕ · · · ⊕ S

.

Par 2., on sait de plus que pour tout 1 ≤ i ≤ k, S

est l’ensemble des fonctions de la forme t 7→ e

F

(t) avec F

un polynˆ ome de degr´ e < m

. On en d´ eduit finalement que S

est l’ensemble des fonctions de la forme

t 7→

k

X

i=1

e

P

(t), o` u les P

sont des polynˆ omes de degr´ e < m

.

Remarque Pour une autre d´ emonstration de ce th´ eor` eme (encore une !), voir [Dem, p.

206].

4. On consid` ere la relation de r´ ecurence lin´ eaire homog` ene d’ordre k ` a coefficients constants :

u

+ a

u

+ · · · + a

u

+ a

u

= 0, ∀n ∈ N. (R) On adapte la m´ ethode de r´ esolution des ´ equations diff´ erentielles d’ordre N ` a coefficients constants homog` ene vue pr´ ec´ edement de la fa¸ con suivante. Soit E = K

l’espace vec- toriel des suites ` a valeurs dans K . On consid` ere l’endomorphisme L ∈ L(E) d´ efini par

L : u = (u

)

−→ v = (v

)

telle que v

= u

pour tout n ∈ N.

L est l’analogue de l’op´ erateur de d´ erivation ici (il supprime le terme d’ordre 0), et est souvent appel´ e le shift ` a gauche pour la raison suivante

L : u = (u

, u

, u

, · · · ) → L(u) = (u

, u

, · · · ) (on d´ ecale la suite vers la gauche).

Notons P = X

+ a

X

+ · · · + a

X + a

, et S

l’ensemble des solutions de (R).

C’est un sous-ev de E. De plus une suite u est solution de (R) si et seulement si P (L)(u) = 0

, i.e. u ∈ Ker(P (D)). Donc S

= Ker(P (D)).

On montre alors de fa¸ con analogue aux questions pr´ ec´ edentes que

• pour tout polynˆ omes P

, · · · , P

∈ K [X] premiers entre eux deux ` a deux, S

= S

⊕ · · · ⊕ S

.

• si P

(X) = (X − α)

(α ∈ K ), alors S

est form´ e de l’ensemble des suites u = (u

)

de la forme u

= F (n)α

pour tout n ∈ N , o` u F est un polynˆ ome ` a coefficients dans K (ind´ ependant de n) de degr´ e < i.

On obtient donc le r´ esultat suivant Th´ eor` eme Supposons que P = Q

i=1

(X − r

)

est scind´ e sur K (deg(P) = k ≥ 1), les solutions de (R) sont les suites u = (u

)

de la forme

u

=

u

X

i=1

r

F

(n) o` u les F

sont des polynˆ omes de degr´ e < m

.

5. Le polynˆ ome caract´ eristique associ´ e ` a (E) est P = X

+ X

+ X + 1. Ses racines sont

−1, i, −i. Par le Th´ eor` eme, les solutions de l’´ equation homog` ene associ´ ee sont donc les fonctions :

t 7→ ae

+ b cos(t) + c sin(t), a, b, c ∈ R . 6. y est solution de (E) si et seulement si



 y y

y



 est solution du syst` eme diff´ erentiel lin´ eaire :

(S)

 y

y



=

 0 1 0

0 0 1

  y

y

 +

 0

0



.

On a obtenu un syst` eme fondamental de solutions de l’´ equation homog` ene (E

) associ´ ee

`

a (E) ` a la question pr´ ec´ edente : il s’agit de (x

, x

, x

) avec x

(t) = e

, x

(t) = cos(t), x

(t) = sin(t).

D’o` u un syst` eme fondamental de solutions de l’´ equation homog` ene (S

) associ´ ee ` a (S) :

X

(t) =



 e

−e

e



 , X

(t) =



 cos(t)

− sin(t)

− cos(t)



 , X

(t) =



 sin(t) cos(t)

− sin(t)



 .

7. X(t) = a(t)X

(t) + b(t)X

(t) + c(t)X

(t) est solution de (S) si et seulement si X

(t) = AX (t) + B(t). Or

X

(t) = a(t)X

(t) + b(t)X

(t) + c(t)X

(t) + a

(t)X

(t) + b

(t)X

(t) + c

(t)X

(t).

Comme X

, X

, X

sont solutions de (S

), on obtient

a

(t)X

(t) + b

(t)X

(t) + c

(t)X

(t) = B(t).

Ainsi, a, b, c sont solutions du syst` eme :







a

(t)e

+ b

(t) cos(t) + c

(t) sin(t) = 0

−a

(t)e

− b

(t) sin(t) + c

(t) cos(t) = 0

a

(t)e

− b

(t) cos(t) − c

(t) sin(t) = 2(cos(t) + sin(t)) Apr` es r´ esolution du syst` eme, on obtient :

a

(t) = (cos(t) + sin(t))e

,

b

(t) = −(cos(t) + sin(t))

= −1 − 2 cos(t) sin(t) = −1 − sin(2t), c

(t) = −(sin(t) − cos(t))(cos(t) + sin(t)) = cos(t)

− sin(t)

= cos(2t).

8. On d´ etermine A, B, C des primitives de a, b, c respectivement.

B(t) = −x + cos(2t)

2 , C (t) = sin(2t) 2 . Pour A, on doit faire deux int´ egrations par parties :

A(t) = Z

0

(cos(s) + sin(s))e

ds = 2 sin(t)e

− Z

0

(cos(s) + sin(s))e

ds d’o` u A(t) = sin(t)e

.

9. On en d´ eduit les solutions de (S) : ce sont les fonctions (o` u a, b, c ∈ R ) X(t) = aX

(t) +bX

(t) + cX

(t) + sin(t)e

X

(t) +

−x + cos(2t) 2

X

(t) + sin(2t)

2 X

(t).

Enfin, on a vu que y est solution de (E ) si et seulement si



 y y

y



 est solution de (S).

Ainsi, les solutions de (E) sont les fonctions (a, b, c ∈ R ):

x(t) = ae

+ b cos(t) + c sin(t) + sin(t) +

−x + cos(2t) 2

cos(t) + sin(2t) 2 sin(t).

10. On r´ esout l’´ equation

y

+ y

− y

− y = 1 + ch(t).

Le polynˆ ome caract´ eristique associ´ e est P = X

+ X

− X − 1 = (X − 1)(X + 1)

. Par le Th´ eor` eme, les solutions de l’´ equation homog` ene sont donc les fonctions de la forme

t 7→ ae

+ (bt + c)e

, a, b, c ∈ R.

Un syst` eme fondamental de solutions de l’´ equation homog` ene est alors donn´ e par (x

: t 7→ e

, x

: t 7→ te

, x

: t 7→ e

). On cherche ` a pr´ esent une solution particuli` ere de l’´ equation par m´ ethode de variation des constantes : on doit r´ esoudre le syst` eme







a

(t)e

+ b

(t)te

+ c

(t)e

= 0 a

(t)e

+ b

(t)(e

− te

) − c

(t)e

= 0 a

(t)e

+ b

(t)(−2e

+ te

) + c

(t)e

= 1 + ch(t)

Par la m´ ethode du pivot de Gauss, on d´ etermine a

, b

et c

. On note A, B, C les primitives respectives qui s’annulent en 0. Finalement, l’ensemble des solutions de l’´ equation diff´ erentielle (1) est donc form´ ee des fonctions

t 7→ ae

+ (bt + c)e

+ A(t)e

+ B(t)te

+ C(t)e

, a, b, c ∈ R . On r´ esout l’´ equation

y

+ y

+ y

+ y = cos(t).

On a d´ ej` a d´ etermin´ e les solutions de l’´ equation homog` ene : ce sont les fonctions de la forme

t 7→ ae

+ b cos(t) + c sin(t), a, b, c ∈ R .

Ainsi (x

, x

, x

) (avec x

(t) = e

, x

(t) = cos(t), x

(t) = sin(t)) est un syst` eme fonda- mental de solutions de l’´ equation homog` ene associ´ ee ` a (2).

On d´ etermine une solution particuli` ere par m´ ethode de variation des constantes : on cherche une solution sous la forme X(t) = a(t)X

(t) + b(t)X

(t) + c(t)X

(t) avec a, b, c d´ erivables. On obtient le syst` eme







a

(t)e

+ b

(t) cos(t) + c

(t) sin(t) = 0

−a

(t)e

− b

(t) sin(t) + c

(t) cos(t) = 0 a

(t)e

− b

(t) cos(t) − c

(t) sin(t) = cos(t) Apr` es r´ esolution du syst` eme, on obtient :

a

(t) = 1

2 cos(t)e

, b

(t) = − 1

4 sin(2t) − 1

4 cos(2t) − 1

4 , c

(t) = − 1

4 sin(2t) + 1

4 cos(2t) + 1

4 .

On note A, B, C les primitives respectives qui s’annulent en 0. L’ensemble des solutions

de l’´ equation diff´ erentielle (2) est alors donn´ e par les fonctions

R´ ef´ erences

• [Deb1] G. Debeaumarch´ e - Manuel de math´ ematiques - Volume 4 Analyse et g´ eom´ etrie diff´ erentelle - 2e ann´ ee de pr´ epas scientifiques MP-MP* - Ellipses.

• [Deb2] G. Debeaumarch´ e - Manuel de math´ ematiques - Volume 4 Alg` ebre et g´ eom´ etrie - 2e ann´ ee de pr´ epas scientifiques MP-MP* - Ellipses.

• [Dem] J.-P. Demailly - Analyse num´ erique et ´ equations diff´ erentielles - Collection Greno- ble Sciences.

• [G] X. Gourdon - Les maths en tˆ ete - Alg` ebre - Ellipses.