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Equation diff´ ´ erentielle lin´ eaire d’ordre 2 ` a coefficients non constants

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Academic year: 2022

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(1)

DM de MPSI2

Devoir non surveill´ e

Equation diff´ ´ erentielle lin´ eaire d’ordre 2 ` a coefficients non constants

On consid`ere l’´equation diff´erentielle suivante, surR∗+ :

(F) x2y00(x) +xy0(x) +y(x) = 0 1Soitz une application deux fois d´erivable surR, telle que

∀x∈R∗+, y(x) =z(lnx).

Exprimer `a l’aide des applicationsz0, z00 les d´eriv´ees premi`ere et seconde de l’applicationy.

2Montrer que l’applicationy : R∗+→R est solution sur R∗+ de l’´equation diff´erentielle (F), si et seulement si l’applicationz est solution d’une ´equation diff´erentielle `a pr´eciser, que l’on notera (H).

3R´esoudre (H). En d´eduire l’ensemble des solutions de (F).

4D´eterminer l’unique solutionf de (F) v´erifiantf(1) = 0 etf0(1) = 1.

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