Soient K = R ou C , et N ≥ 2. Consid´ erons l’´ equation diff´ erentielle lin´ eaire homog` ene d’ordre N sur K , ` a coefficients constants :

Universit´ e Paris Diderot - Paris 7 L3 Maths

Equations Diff´ erentielles 2012-2013

Devoir Maison no. 3 pour le 15/03/2013 Equations diff´ ´ erentielles d’ordre N ` a coefficients constants

Equations diff´ ´ erentielles d’ordre N homog` ene ` a coefficients constants

Soient K = R ou C , et N ≥ 2. Consid´ erons l’´ equation diff´ erentielle lin´ eaire homog` ene d’ordre N sur K , ` a coefficients constants :

y ^{(N )} + a N−1 y ^(N−1) + a N−2 y ^(N−2) + · · · + a 1 y ⁰ + a 0 y = 0. (E 0 ) On consid` ere le polynˆ ome P = X ^N + P N−1

i=0 a i X ⁱ , appel´ e polynˆ ome caract´ eristique de (E 0 ).

En se ramenant au cas matriciel et en utilisant les r´ esultats du cours, on peut montrer le r´ esultat suivant.

Th´ eor` eme Supposons que P = Q k

i=1 (X − r _i ) ^m

est scind´ e sur K . Alors les solutions de (E ₀ ) sont les applications

t 7→

k

X

i=1

e ^r

^t P i (t), o` u les P _i sont des polynˆ omes de degr´ e < m _i .

Le but de ce qui suit est d’en donner une nouvelle preuve. Pour tout polynˆ ome complexe P = X ^N + P N −1

i=0 a _i X ⁱ et pour toute fonction f : R → K de classe C ^N , on note P (D)(f ) = f ^(N) +

N−1

X

i=0

a _i f ⁽ⁱ⁾ = f ^{(N )} + · · · + a ₁ f ⁰ + a ₀ f, o` u D est l’op´ erateur de d´ erivation.

1. Pour tout polynˆ ome P ∈ K[X], on note S _P l’espace des solutions de l’´ equation diff´ erentielle P (D)(y) = 0. Si P 1 , · · · , P _k ∈ K [X] sont des polynˆ omes premiers entre eux deux ` a deux, montrer que S _P

_···P

= S _P

⊕ · · · ⊕ S _P

.

2. Si P _n (X) = (X − α) ⁿ (α ∈ K ), d´ eterminer la forme des solutions de l’´ equation diff´ erentielle P _n (D)(y) = 0.

3. En d´ eduire, pour P = Q k

i=1 (X − r _i ) ^m

scind´ e sur K (deg(P) ≥ 1), la forme des solutions

de l’´ equation diff´ erentielle P (D)(y) = 0.

4. On cherche ` a pr´ esent ` a r´ esoudre la relation de r´ ecurence lin´ eaire homog` ene d’ordre k ` a coefficients constants :

u n+k + a k−1 u n+k−1 + · · · + a 1 u n+1 + a 0 u n = 0, ∀n ∈ N.

Adapter la m´ ethode pr´ ec´ edente de r´ esolution des ´ equations diff´ erentielles lin´ eaires ho- mog` enes d’ordre N ` a coefficients constants ` a cette situation.

Equations diff´ ´ erentielles d’ordre N ` a coefficients constants avec second mem- bre

On consid` ere l’´ equation diff´ erentielle suivante :

y ⁽³⁾ + y ⁽²⁾ + y ⁰ + y = 2(cos(t) + sin(t)). (E) 5. R´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle homog` ene associ´ ee ` a (E).

6. R´ eduire l’´ equation diff´ erentielle (E) ` a un syst` eme diff´ erentiel lin´ eaire d’ordre 1 :

(S)



 y ₀ y 1

y 2





0

= A



 y ₀ y 1

y 2



 + B(t)

o` u A ∈ M <sub>3</sub> (R) et B : t ∈ R → B(t) ∈ R <sup>3</sup> . Donner un syst` eme fondamental de solutions (X 1 , X 2 , X 3 ) du syst` eme diff´ erentiel homog` ene associ´ e ` a (S).

7. On cherche ` a pr´ esent une solution particuli` ere de (S) par m´ ethode de variation des constantes, c’est ` a dire sous la forme X(t) = a(t)X 1 (t) + b(t)X 2 (t) + c(t)X 3 (t). Montrer que :

a ⁰ (t) = (cos(t) + sin(t))e ^t , b ⁰ (t) = −1 − 2 cos(t) sin(t), c ⁰ (t) = cos(t) ² − sin(t) ² . 8. D´ eterminer des primitives de a ⁰ (t), b ⁰ (t), c ⁰ (t).

9. Donner la forme g´ en´ erale des solutions de (S), puis de (E).

10. De la mˆ eme mani` ere, r´ esoudre les ´ equations diff´ erentielles suivantes :

y ⁽³⁾ + y ⁰⁰ − y ⁰ − y = 1 + 2ch(t) (1)

y ⁰⁰⁰ + y ⁰⁰ + y ⁰ + y = cos(t) (2)

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