Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Feuille d’exercices n˚15
Equations diff´ ´ erentielles lin´ eaires
Exercice 126 (R´esolutions d’´equations diff´erentielles lin´eaires d’ordre 1) Pour chaquei∈J1,10K, r´esoudre l’´equation diff´erentielles (Ei) sur l’intervalleJi pr´ecis´e.
N.B. : Sous chaque ´equation diff´erentielle, on propose le trac´e de quelques courbes int´egrales. On pourra v´erifier la coh´erence de l’ensemble solution trouv´e avec ce graphique (e.g. en ´etudiant le comportement asymptotique des solutions en certains points deR∪ {−∞,+∞}).
1. (E1) : y′−3y= 2 , J1=R
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−5
−1 1
−2
2. (E2) : y′+y=1
2x , J2=R
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3 4
−1
−2
3. (E3) : y′+1
2y= sh(x) , J3=R
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
1 2 3 4
−1
−2
4. (E4) : y′−1
2y= cos 3
2x
, J4=R
1 2 3 4 5 6 7 8 9
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
−10
1 2 3 4 5 6
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
5. (E5) : y′+ cos(2x)y= 3 cos(2x) , J5=R
1 2 3 4 5 6 7 8
−1
1 2 3
−1
−2
−3
6. (E6) : x y′+ (x−1)y=x2 , J6= ]0,+∞[
1 2 3
−1
−2
1 2 3 4 5 6
7. (E7) : y′+ ln(x)y=x−x , J7= ]0,+∞[
1 2 3 4 5 6 7 8
−1
−2
−3
−4
−5
−6
−7
−8
−9
1 2 3 4 5 6
8. (E8) : y′+ 1
x2 y=ex1 sin(4x) , J8= ]0,+∞[
1 2 3
−1
1 2 3 4 5 6
9. (E9) : (x2+ 1)y′+ 2x y= Arctan(x) , J9=R
1 2 3 4 5
−1
−2
−3
−4
−5
1 2 3
−1
−2
−3
10. (E10) : y′+ tan(x)y= 1 , J10=
−π2,π2
1 2 3 4
−1
−2
−3
−4
−5
−1 1
Exercice 127 (R´esolution d’un probl`eme de Cauchy pour une EDL1) D´eterminer l’unique solution sur ]−1,+∞[ du probl`eme de Cauchy
y′+ 1
x+ 1y=x y(1) = 0.
Exercice 128 (Une cons´equence du th´eor`eme de Cauchy pour les EDL1)
SoitI un intervalle deR. Soientaetbdeux fonctions d´efinies et continues surI, `a valeurs r´eelles. On consid`ere l’´equation diff´erentielle
(E) : y′+a(x)y=b(x).
1. Donner une condition suffisante surbpour que l’´equation diff´erentielle (E) poss`ede une solution constante surI.
2. On suppose que diff´erentielle (E) poss`ede une solution constante sur I, i.e. qu’il existe une constante r´eellectelle que la fonction
yc : I → R x 7→ c
est solution de (E). Soity:I→Rune solution de (E) qui est distincte deyc. (a) ´Ecrire `a l’aide d’une proposition logique quantifi´ee la conditiony6=yc. (b) Montrer que pour toutx∈I,y(x)6=c.
Exercice 129 (Des fonctions d´erivables qui transforment somme en produit) On se propose ici de d´eterminer toutes les fonctionsf:R→Rtelles que
f est d´erivable surR;
pour tout (x, y)∈R2,f(x+y) =f(x)f(y).
Pour r´esoudre ce probl`eme, on raisonne par analyse-synth`ese.
1. Analyse :Soitf:R→Rune fonction solution du probl`eme.
(a) Soitxun r´eel fix´e. On notegxla fonction d´efinie par
fx : R → R
y 7→ f(x+y) i. D´emontrer quefxest d´erivable surR.
ii. En calculant la d´eriv´ee defxde deux mani`eres, d´emontrer que pour touty∈R, f′(x+y) =f(x)f′(y).
(b) On posea:=f′(0). D´eduire de ce qui pr´ec`ede quef est solution de l’´equation diff´erentielle y′−a y= 0
d’inconnue une fonctiony:R→ Rd´erivable surR, puis qu’il existe une constante r´eellektelle que
f : R → R
x 7→ k eax.
2. Synth`ese :V´erifier si les fonctions candidates
R → R x 7→ k eax o`u (a, k)∈R2, sont solutions du probl`eme.
3. Conclusion :Ecrire l’ensemble solution du probl`eme consid´er´e.´
Exercice 130 (R´esolutions d’´equations diff´erentielles lin´eaires d’ordre 2) 1. R´esoudre l’´equation diff´erentielle
(E1) : y′′−4y′−5y=e2x d’inconnue une fonctiony: R→Rdeux fois d´erivable surR. 2. R´esoudre l’´equation diff´erentielle
(E2) : y′′+y=e−x d’inconnue une fonctiony: R→Rdeux fois d´erivable surR.
3. R´esoudre l’´equation diff´erentielle
(E3) : y′′−6y′+ 9y= 1 d’inconnue une fonctiony: R→Rdeux fois d´erivable surR. 4. R´esoudre l’´equation diff´erentielle
(E4) : y′′−4y′+ 3y= ch(x) d’inconnue une fonctiony: R→Rdeux fois d´erivable surR. 5. R´esoudre l’´equation diff´erentielle
(E5) : y′′+ (1−i)y′−i y=ex d’inconnue une fonctiony: R→Cdeux fois d´erivable surR. 6. R´esoudre l’´equation diff´erentielle
(E6) : y′′+ 2i y′+ 3y=eix d’inconnue une fonctiony: R→Cdeux fois d´erivable surR. 7. R´esoudre l’´equation diff´erentielle
(E7) : y′′+y′−2y= sin(x) d’inconnue une fonctiony: R→Rdeux fois d´erivable surR. 8. R´esoudre l’´equation diff´erentielle
(E8) : y′′−i y′+ 6y= cos(x) d’inconnue une fonctiony: R→Cdeux fois d´erivable surR. 9. R´esoudre l’´equation diff´erentielle
(E9) : y′′+ 4y= cos2(x) d’inconnue une fonctiony: R→Rdeux fois d´erivable surR. 10. R´esoudre l’´equation diff´erentielle
(E10) : y′′−4i y′−4y= sin(2x) d’inconnue une fonctiony: R→Cdeux fois d´erivable surR.
Exercice 131 (R´esolution d’un probl`eme de Cauchy `a param`etres pour une EDLCC2)
On fixe deux r´eels strictement positifsω etλ. D´eterminer l’unique solutiony:R→Rdu probl`eme de Cauchy
y′′+ 2λ y′+ω2y= 0 y(0) = 0
y′(0) = 1.
N.B. : On distinguera plusieurs cas au cours de l’´etude.
Exercice 132 (Une cons´equence du th´eor`eme de Cauchy pour les EDLCC2) Soientaet bdeux nombres r´eels. On consid`ere l’´equation diff´erentielle homog`ene
(E) : y′′+a y′+b y= 0
Soity:R→Rune solution de (E). Un rep`ere du plan ´etant fix´e, on noteCy sa courbe repr´esentative. Si la courbeCy coupe l’axe des abscisses en un pointA(xA,0) et si la tangente `a Cy au point A co¨ıncide avec l’axe des abscisses alors que peut-on dire dey?
