EILCO 2015-2016
CP1 MAT11
VI. Equations diff´ erentielles
Exercice 1. R´ esoudre les ´ equations diff´ erentielles lin´ eaires homog` enes d’ordre 1 sui- vantes :
1. 3y
0+ 21y = 0 2. y
0= sin(t)y 3. y
0− y
t = 0, d´ eterminer la solution satisfaisant ` a f(−1) = 5
Exercice 2. On place dans un entrepˆ ot une masse R
0de radium 226, un d´ echet de la combustion en centrale nucl´ eaire. On admet que la quantit´ e(en grammes) de radium R(t)
`
a l’instant t (exprim´ e en ann´ ees) subit un ph´ enom` ene de d´ esint´ egration suivant l’´ equation R
0(t) = −4.3 · 10
−4· R(t).
Combien de temps faut-il attendre avant que la moiti´ e du radium ait disparu ?
Exercice 3. R´ esoudre les ´ equations diff´ erentielles lin´ eaires non-homog` enes d’ordre 1 sui- vantes (par la “m´ ethode de la variation de la constante”) :
1. y
0+ 2y = 1 2. y
0= y − 1 − e
t3. y
0= ty + t
4. y
0+ 2y = te
−2t, d´ eterminer la solution satisfaisant ` a y(2) = 0
Exercice 4. On ´ etudie le circuit suivant comportant une r´ esistance de valeur R et un condensateur de capacit´ e C.
E C
R
La tension u(t) aux bornes du condensateur est solution de l’´ equation diff´ erentielle :
u
0(t) + 1
τ u(t) = E τ
o` u E est la tension continue d´ elivr´ e par le g´ en´ erateur et τ = RC est la constante de temps du circuit.
A l’instant t = 0, on ferme l’interrupteur et on consid` ere que le condensateur est vide.
1. R´ esoudre l’´ equation diff´ erentielle.
2. Tracer la courbe u(t) pour E = 24V et τ = 5s.
3. Calculer la tension aux bornes du condensateur ` a l’instant t = 5τ, puis calculer le quotient u(5τ)
E exprim´ e en pourcentage.
2
