Exercice 1. R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes, en pr´ecisant sur quels intervalles maximaux ces solutions sont valables.

Universit´e du Littoral Ann´ee universitaire 2012-2013

Master 2 `eme ann´ee M´etiers de l’Enseignement en Math´ematiques

Pr´eparation ´ecrit analyse S´eance 3 : ´ Equations diff´erentielles.

1. E QUATIONS DIFF ERENTIELLES LIN ´ EAIRES ´

Exercice 1. R´esoudre les ´equations diff´erentielles suivantes, en pr´ecisant sur quels intervalles maximaux ces solutions sont valables.

(1) y

− 1 −

y = 0 (2) y

+ y = 3x

+ x − 4,

(3) x(1 + x

)y

− y(x

+ 1) + 2x = 0.

Exercice 2. On consid`ere l’´equation diff´erentielle x(1 − x)y

+ (1 −x)y = 1. Pour quels points du plan, passe-t-il une courbe int´egrale unique ?

Exercice 3. Pour quelles valeurs de λ, la solution g´en´erale de l’´equation diff´erentielle (x

− 1)y

= (4x + 1 + λ)y

est-elle un polynˆome ?

Exercice 4. Montrer que l’´equation y

− 2y = xe

admet des solutions continues sur R . D´eterminer la solution born´ee `a l’infini.

Exercice 5. Int´egrer les ´equations diff´erentielles suivantes : (1) y

− 4y

= x

− 2x,

(2) y

− 5y

+ 6y = 3e

, (3) y

− 5y

+ 6y = 5e

, (4) y

− 3y

+ 2y = cos x, (5) y

+ 4y = cos 2x,

(6) y

+ y = x sin x + e

+ x

; (7) y

+ 3y

+ 2y =

e

.

2. E QUATIONS DIFF ERENTIELLES DU ´ 1

ORDRE REMARQUABLE

Exercice 6. Int´egrer les ´equations diff´erentielles `a variables s´eparables suivantes : (1) y

− 1 −

y = 0,

(2) y − xy

= y

,

(3) (1 + x

)y

+ 2x(1 + y

) = 0, (4) (1 + x

)y

+ 2x(1 − y

) = 0, (5) y

= (x + y)

.

Exercice 7. Int´egrer les ´equations homog`enes suivantes : (1) x

y

= x

+ y

− xy,

(2) x

− 2y

+ 2xyy

= 0, (3) xy

− y = p

x

+ y

, (4) 2(xy

− y) = x 1 − e

, (5) (x − y)y

= y,

(6) (x

− xy)y

= −y

.

1

2

3. S YST EME DIFF ` ERENTIELLES LIN ´ EAIRES ´ Exercice 8.

1. R´esoudre sur R le syst`eme diff´erentielle

(E)



 

 

x

= 5x − y + 9z y

= 3x + 4y z

= x + y + z 2. D´eterminer l’unique solution v´erifiant x(0) = 1, y(0) = 2 et z(0) = 0.

Exercice 9. R´esoudre sur C et sur R le syst`eme diff´erentielle

(E)



 

  x

= x y

= −2x + z z

= 2x − y

Exercice 10. R´esoudre sur R l’´equation y

(t) − 3y

(t) + 2y(t) = 0.

Exercice 11. Soit (E) l’´equation xy

+ y

− xy = 0.

1. Chercher les solutions d´eveloppable en s´erie enti`ere de (E).

2. Ecrire les soultions trouv´ee `a l’aide de fonction usuelle.

3. E est-elle lin´eaire, si oui quelle est la dimension de l’espace des solutions ?

4. Utiliser la m´ethode la variation de la constante pour trouver toutes les solutions de E.