Seconde 8 DST5 : Correction 13 janvier 2017 Dur´ee 55 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Exercice 1 : In´equations (15 minutes) (41/2 points)
R´esoudre les in´equations suivantes `a l’aide d’un tableau de signes :
1. (x+ 3)(3x−5)>0 2. (x−3)(−2x+ 5)>0 3. (x−5)2−960
Solution:
1. S=]− ∞;−3[∪]53; +∞[
2. S= [52; 3].
3. S=]− ∞; 2[∪]8; +∞[
Exercice 2 : Repr´esentation analytique de vecteur (15 minutes) (6 points) Le plan est muni d’un rep`ere.
On se donne sept points :
A(−3; 1); B(5; 4); C(2;−2); D(5;−1); E(−2; 1); F(0;−1) etG(4;−5).
1. a. Les vecteurs−−→
AB et−−→
CD sont-ils colin´eaires ? b. Que peut-on en d´eduire ?
2. a. Les vecteurs−−→ EF et−−→
EGsont-ils colin´eaires ? b. Que peut-on en d´eduire ?
3. D´eterminer les cordonn´ees deM tels que −−→
AM =−3−−→ BC 4. On consid`ere maintenant les vecteurs ~u 1+x−3√7
et~v 1−
√ 7 x+3
. Existe-t’il un r´eel x tel que ~u et~v soient colin´eaires ?
Solution:
1. a. On a −−→ AB 83
et−−→
CD 31
. 8×1−3×3 =−16= 0 donc les vecteurs ne sont pas colin´eaires.
b. On en d´eduit que (AB) et (CD) ne sont pas parall`eles.
2. a. On a −−→ EF −22
et−−→
CD −66
. 2×(−6)−(−2)×6 = 0 donc les vecteurs sont colin´eaires.
b. On en d´eduit que E, F, Gsont align´es.
3. Soit (xM;yM) les coordonn´ees de M.
−−→AM xyM+3
M−1
.
−−→ BC −3−6
donc
−3−−→ BC
9 18
.
(xM + 3 = 9 yM −1 = 18 ssi
(xM = 6 yM = 19 M(6; 19)
4. ~u et~v sont colin´eaires ssi (x−3)(x+ 3)−(1 +√
7)(1−√
7) = 0 ssi x2−9−1 + 7 =x2−3 = 0 ssi x=√
3 ou x=−√ 3
Oui, il existe unx tel que~u et~v sont colin´eaires.
Exercice 3 : Algorithme (10 minutes) (4 points)
La directrice d’un commerce et de reprographie a cr´e´e un algorithme permettant de d´eterminer le montant pay´e par un client `a partir du nombre de photocopies effectu´ees.
Seconde 8 DST1 Page 2 sur 1 Variables : N un entier etP un r´eel
Initialisation : Demander `a l’utilisateur la valeur de N. Traitement : SiN <30
Affecter `a P la valeur N×0,2 Sinon
Affecter `aP la valeur 6 + (N −30)×0,1 Fin Si
Sortie : AfficherP.
1. Quel est le prix pay´e par un client effectuant :
1. 28 photocopies ? 2. 52 photocopies ? 3. 30 photocopies ? 2. D´eterminer le prix unitaire des 30 premi`eres photocopies et celui des photocopies suivantes.
3. La commer¸cante d´ecide de changer ses tarifs : les 20 premi`eres photocopies seront factur´ees 0,25eet les suivantes 0,10e. Modifier l’algorithme.
Solution:
1. Le prix `a pay´e pour
1. 28 photocopies est 5,6e. 2. 52 photocopies est 8,2e 3. 30 photocopies est 6e
2. Le prix unitaires des 30 premi`eres photocopies est de 0,2 euro et le prix unitaire des suivantes est 0,1e
3.
Variables: N un entier et P un r´eel
Initialisation: Demander `a l’utilisateur la valeur deN. Traitement : SiN <20
Affecter `aP la valeur N ×0,25 Sinon
Affecter `a P la valeur 5 + (N −20)×0,1 Fin Si
Sortie : AfficherP.
Seconde 8 DST1 Page 3 sur 1 Exercice 4 : D´emonstration vectorielle d’un alignement (10 minutes) (3 points)
ABC est un triangle, I est le milieu du segment [AB], J etL sont les points tels que :
−→BJ = 3 5
−−→ BC et−→
AL=−3−→
AC.
1. Construire une figure. Que peut-on dire deI,J etL? 2. Exprimer chaque vecteur−→
IJ et−→
J Len fonction des vecteurs−−→
AB et−−→ BC.
3. Montrer que ces vecteurs sont colin´eaires et conclure
Solution:
1. Voir figure.
2. −→ IJ=−→
IB+−→
BJ = 12−−→
AB+35−−→ BC.
−→J L=−→
J B+−−→ BA+−→
AL=−35−−→ BC−−−→
AB+ 3−→
AC =−35−−→ BC−−−→
AB+ 3−−→
AB+ 3−−→
BC = 2−−→
AB+125−−→ BC.
3. 4−→ IJ =−→
J L. Les vecteurs−→ IJ et−→
J L sont donc colin´eaires. Les pointsI,J etLsont align´es.
A B
C
J
L
I
Exercice 5 : Prise d’initiative (10 minutes) (21/2 points)
Un ´el`eve trop curieux a demand´e une fois l’adresse de votre prof de maths. Celui-ci tr`es joueur lui a laiss´e un indice pour trouver son rep`ere : J’habite rue des ´equations. L’un de mes enfants est ˆag´e de 4 fois le num´ero de mon rep`ere moins 1 et l’autre est ˆag´e de 3 moins ce num´ero. De plus. De plus, si je soustrait 5 fois le num´ero de ma maison au produit des ˆages de mes enfant, je trouve un nombre n´egatif.
D´eterminer l’adresse de votre prof de maths.
Indication : On pourra d´emontrer que 4x2−8x+ 3 = (2x−1)(2x−3)
Solution: Soitx l’age de Toto. Le premier enfant a 4x−1 ans, le suivant a −x+ 3 ans.
On alors 5x−(4x−1)×(−x+ 3) <0 ce qui ´equivaut `a 4x2−8x+ 3 <0 . Or (2x−1)(2x−3) = 4x2−2x−6x+ 3 = 4x2−8x+ 3. L’´equation ´equivaut donc `a (2x−1)(2x−3)<0.
Avec un tableau de signes, on trouve que les solutions sont ]12;32[. Un seul entier est compris dans cet intervalle. Il s’agit de 1.
L’adresse de votre prof de maths est 1 rue des maths.
