R´ esoudre les ´ equations et in´ equations suivantes : 1. 2 x2 3 x3

Feuille d’exercices n 2 - FONCTIONS USUELLES

FONCTIONS LOGARITHME ET PUISSANCES Exercice 32. ( )

R´ esoudre les ´ equations et in´ equations suivantes : 1. 2 ^x

3 ^x

2. 2e ^4x 5e ^2x 2 0

3. 2 ^2x 3 ^x

3 ^x

2 ^{2x 1}

4.

"

ln x ln y 0

x y 4

5. ln | x 1 | ln | 2x 1 | ¤ ln 2 Exercice 33. ( )

Montrer que @ x P R , ln p x ?

1 x ² q ln p ?

1 x ² x q 0.

Exercice 34. ()

R´ esoudre, sur R , l’´ equation x ^{? x} ? x ^x Exercice 35. ₍₎

On pose f p x q x ^x .

1. D´ eterminer l’ensemble de d´ efinition D de f , et ´ etudier les variations de la fonction f.

2. D´ eterminer les limites de f aux bornes de D.

3. Montrer que l’on peut prolonger f par continuit´ e en 0. D´ eterminer la limite du taux d’accroissement en 0. La fonction f est-elle d´ erivable en 0 ? 4. Tracer la courbe repr´ esentative de f .

Exercice 36. (de ` a ) D´ eterminer les limites suivantes :

a) lim

x Ñ 8

ln p 1 x ² q

2x b) lim

x Ñ 8

x 1 e ^x 1 c) lim

x Ñ 1 lnpxq ln plnpxqq d) lim

x Ñ 0 x ^{? x} e) lim

x Ñ 8

e ^x

x ^αx (avec α 0) f) lim

x Ñ 8

p x ^x q ^x x ^{p x}

^q Exercice 37. ( )

R´ esoudre l’in´ equation suivante, d’inconnue x P R : lnpx 1q lnpx 1q   2 lnpxq 1

FONCTIONS HYPERBOLIQUES Exercice 38. ( )

R´ esoudre les ´ equations et in´ equations suivantes :

1. sh p x q ¤ 2 2.

"

ch p x q ch p y q 4 sh p x q sh p y q 1 . Exercice 39. ()

En utilisant les d´ eriv´ ees, ´ etablir une relation entre les fonctions : x ÞÑ arctan p e ^x q et x ÞÑ arctan p sh p x qq . Exercice 40. _{( )}

D´ eterminer l’expression de la bijection r´ eciproque de la fonction sh sur R .

FONCTIONS CIRCULAIRES Exercice 41. ( )

R´ esoudre cos 7π

5 x

sin 2π

5 3x

sur R puis sur r 0, π s . Exercice 42. (de ` a )

R´ esoudre les ´ equations ou in´ equations suivantes sur R : 1. sin p x q sin p 2x q 0

2. sin p x q cos p x q 0 3. cos ⁴ p x q sin ⁴ p x q 1

4. sin p x q sin p 2x q sin p 3x q 0 5. ?

3 cos p x q sin p x q   1 6. 2 cos ² p x q 3 cos p x q 1   0 Indication : pour le 4. : sinppq sinpqq 2 sin ^{p q} ₂

cos ^p ₂ ^q

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Feuille d’exercices n 2 - FONCTIONS USUELLES

FONCTIONS CIRCULAIRES R´ ECIPROQUES Exercice 43. ( )

1. arccos

cos 2π 3

2. arccos p cos p 4π qq

3. arccos

cos

2π 3

4. arctan

tan 3π 4

Exercice 44. ₍₎ On pose f p x q arcsin

x

? x ² 1

.

1. Justifier que l’ensemble de d´ efinition de f est R .

2. Justifier que f est d´ erivable sur R et calculer sa d´ eriv´ ee.

3. En d´ eduire une expression simplifi´ ee de f.

Exercice 45. ₍₎

D´ emontrez les ´ egalit´ es suivantes :

1. @ x P r 1, 1 s , arccos p x q arcsin p x q π 2 . 2. @ x P R , arctan p x q arctan p _x ¹ q

" _π

2 si x ¡ 0 ^π ₂ si x   0 Exercice 46. ( )

On souhaite r´ esoudre l’´ equation pEq : arccospxq arcsinp2xq d’inconnue x P R.

1. Soit x P R tel que arccos p x q arcsin p 2x q . Montrer que x P

1

2 , 1 2

puis que x P

0, 1 2

. 2. Soit x P r 1, 1 s .

(a) V´ erifier que sin p arccos p x qq ¥ 0.

(b) Montrer que sin p arccos p x qq ? 1 x ² . 3. D´ eduire des r´ esultats pr´ ec´ edents que p E q ñ ?

1 x ² 2x.

4. R´ esoudre l’´ equation p E q .

Exercice 47. _{( )}

D´ emontrez l’´ egalit´ e : @ x ¥ 0, arccos

1 x

1 x

2 arctan p ? x q . Exercice 48. ₍₎

Simplifier les expressions suivantes apr` es avoir pr´ ecis´ e l’intervalle de d´ efinition : 1. cos p 2 arccos p x qq

2. cos p arcsin p x qq

3. tan p arccos p x qq 4. cos p arctan p x qq Exercice 49. (de ` a )

R´ esoudre les ´ equations suivantes apr` es avoir pr´ ecis´ e les domaines de d´ efinitions : 1. arcsin

tan p x q 2

x 2. arccos p x q arcsin p 2x q

3. arcsin p x q arcsin p ¹⁶ ₂₅ q arcsin p ₁₆ ⁹ q 4. arctan p 3x q arctan p 10x q 3π

4 Exercice 50. ( )

1. Pour pa, bq P R ² , calculer chpaq chpbq shpaq shpbq.

2. Montrer que :

@ n P N , @ x P R , p ch p x q sh p x qq ⁿ ch p nx q sh p nx q A CHERCHER `

Exercice 51. ( )

Pour tout n P N , on d´ efinit la somme S _n en posant : S _n

¸ n k 0

arctan

1

k ² k 1

.

1. Montrer que, @ x ¥ 0, arctan

1

x ² x 1

arctan p x 1 q arctan x.

2. En d´ eduire la valeur de S _n ainsi que sa limite lorsque n tend vers 8 .

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