L3 PAPP/MEC Universit´e Paris-Sud Examen partiel de math´ematiques
Lundi 25 f´evrier 2019
Dur´ee de l’´epreuve : 2 heures.
L’utilisation de documents, t´el´ephones portables, calculatrices, . . . est interdite.
Recommandations :
Lisez attentivement l’´enonc´e et r´edigezsuccinctementetclairement votre r´eponse.
n’oubliez pas de vousrelire.
Pensez aux informations en annexe.
Question de cours
Soit f =u(x, y) + iv(x, y) une fonction d´efinie surR2.
1/ A quelles conditions sur` u et v, f est-elle une fonction holomorphe de la variable complexe z=x+ iy?
2/v(x, y) = cosx shyest-elle la partie imaginaire d’une fonction holomorphe ? Si oui, laquelle ? 3/ Enoncer le th´´ eor`eme de Cauchy en supposant que f est holomorphe dans un ouvert simple- ment connexe.
4/ Rappeler la d´emonstration du th´eor`eme de Cauchy (`a partir des conditions de Cauchy- Riemann en coordonn´ees cart´esiennes).
Exercice 1 : Une int´ egrale
On souhaite calculer l’int´egrale
Φ(k) = Z +∞
−∞
dx coskx
x2−2x+ 2. (1)
On choisit k>0. On consid`ere la fonction de la variable complexe f(z) = eikz
z2−2z+ 2. (2)
1/ Quel est le domaine d’analyticit´e de la fonction f? 2/ Si elle a des pˆoles, calculer les r´esidus correspondants.
3/ On consid`ere le contour suivant :
1
∆
R
0
R
+R
−R
C
Montrer que
R→∞lim Z
CR
dz f(z) = 0. (3)
4/En appliquant le th´eor`eme des r´esidus, d´eduire la valeur deR
Rdx f(x), puis l’int´egrale Φ(k).
Exercice 2 : Application du th´ eor` eme de Cauchy
L’objectif de l’exercice est de calculer l’int´egrale I =
Z +∞
−∞
dx x
shπx. (4)
On consid`ere le contour suivant :
γ γ
cε
i γ
γ
+R
−R +ε
0
−ε Γ:
4 1
∆R 3 2
1/ Quel est le domaine d’analyticit´e de la fonction f(z) = z
shπz ? (5)
Si la fonction a une(des) singularit´e(s), pr´eciser sa(leur) nature.
2/ Param´etrer les diff´erents morceaux du contour Γ = ∆R∪γ1∪γ2∪cε∪γ3∪γ4.
3/ Montrer que dans la limite R → ∞et ε→0 les trois morceaux ∆R,γ2 et γ3 du contour Γ donnent une contribution proportionnelle `aI :
R→∞lim, ε→0
Z
∆R
dz f(z) + Z
γ2
dz f(z) + Z
γ3
dz f(z)
=α I (6)
donner le coefficientα.
3/ Montrer que limR→∞
R
γ1dz f(z) = 0 et que limR→∞
R
γ4dz f(z) = 0.
4/ Calculer la contribution du demi cercle limε→0R
cεdz f(z).
5/ D´eduireI.
2
Exercice 3 : S´ erie de Laurent
On consid`ere la fonction
f(z) = 1
z(1−z) . (7)
1/ Discuter l’analyticit´e de cette fonction et la nature de ses singularit´es.
2/ Donner les d´eveloppements en s´erie de Laurent, en pr´ecisant les domaines de convergence des s´eries :
(a) un d´eveloppement autour dez= 0, valable lorsque z→0.
(b) Un d´eveloppement autour dez=−1, pour 1<|z+ 1|<2.
Comparer (dessiner les domaines de convergence). Ces deux d´eveloppements ont-ils un coefficient commun ? Si oui pourquoi ?
Annexe
On rappelle les deux lemmes de Jordan. Consid´erons f(z) sur CR, un arc de cercle de rayonR centr´e sur 0, alors
R→0lim Sup
z∈CR
|z f(z)|= 0 ⇒ lim
R→0
Z
CR
dz f(z) = 0 (8)
R→∞lim Sup
z∈CR
|z f(z)|= 0 ⇒ lim
R→∞
Z
CR
dz f(z) = 0 (9)
3
