Dur´ ee de l’´ epreuve : 3 heures.

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L3 PAPP Universit´ e Paris-Saclay Examen de math´ ematiques

Vendredi 7 mai 2021

Dur´ ee de l’´ epreuve : 3 heures.

L’utilisation de documents, t´ el´ ephones portables, calculatrices, . . . est interdite.

Recommandations :

Lisez attentivement l’´ enonc´ e et r´ edigez succinctement et clairement votre r´ eponse.

Questions de cours

1/ Soit f (z) = h(z)/g(z) o` u h et g sont deux fonctions enti` eres (analytiques dans C ). Si g(z

0

) = 0 et g

⁰

(z

₀

) 6= 0, quelle est l’expression du r´ esidu de f en z

₀

, not´ e Res[f, z

₀

] ? Justifier.

2/ Soit f

_n

(z) = h(z)/(z − z

₀

)

ⁿ

o` u h est une fonction enti` ere.

a) Quelle est la nature de la singularit´ e de f

_n

?

b) Donner Res[f

_n

, z

₀

] (rappeler la d´ emonstration de ce r´ esultat).

3/ ´ Enoncer le th´ eor` eme des r´ esidus.

Exercice 1 : S´ erie de petites questions

Les questions suivantes requi` erent chacune un calcul tr` es court.

1/ (exercice du test 1 sous eCampus) La fonction Q(x, y) = y + 6xy est-elle la partie imaginaire d’une fonction analytique f de la variable z = x + i y ? Donner f (z).

2/ (exercice du test 2 sous eCampus) On consid` ere l’int´ egrale J =

Z

∆

dz 2

z

³

(1)

sur le segment ∆ allant de z = 1 ` a z = 2 + i (cf. figure 1).

C

∆ 2+i 1

Γ

z

Figure 1 : Trois chemins allant de z = 1 ` a z = 2 + i : le segment ∆, l’arc de cercle C centr´ e sur z = 2 et le chemin Γ (en tirets) entourant l’origine.

a) Calculer l’int´ egrale J .

b) C est l’arc de cercle centr´ e sur z = 2. L’int´ egrale R

C

dz

_z²3

est-elle ´ egale ` a J ? Justifier.

c) Le contour Γ est repr´ esent´ e en tirets sur la figure. R

Γ

dz

_z²3

est-elle ´ egale ` a J ? Justifier.

3/ (exercice du test 3 sous eCampus) Quelles sont les singularit´ es de f (z) =

^z_z²2⁺²+1

? Calculer les r´ esidus aux pˆ oles.

4/ Calculer le r´ esidu de g(z) =

^z_z²4⁺²−1

en z = i.

1

(2)

5/ Calculer H

Cπ

dz

_z−π/3^sin⁶^z

o` u C

_π

est le cercle de rayon π centr´ e sur z = 0.

6/ Calculer H

C₁

dz z

ⁿ

e

^1/z

pour n ∈ N

^∗

, o` u C

₁

est le cercle unit´ e centr´ e sur z = 0.

7/ En ´ ecrivant

Z

2π

0

dθ

2π cos π

6 + 5 e

^iθ

sin

³

π

3 + 7 e

^3iθ

(2) comme une int´ egrale de contour sur le cercle unit´ e, d´ eduire la valeur de l’int´ egrale.

8/ Calculer H

C₂

dz

_(z+1)^z^e^{z t}2

o` u C

₂

est le cercle de rayon 2 centr´ e sur z = 0.

Exercice 2 : Une int´ egrale

L’objectif de l’exercice est de calculer l’int´ egrale I =

Z

+∞

−∞

dx x

sh(πx) (3)

(on rappelle que sh x = (e

^x

− e

^−x

)/2). Pour cela on ´ etudie l’int´ egrale I

Γ

dz f (z) de la fonction f(z) = z

sh(πz) (4)

sur le contour ferm´ e Γ repr´ esent´ e sur la figure 2

z

ε

R

+R

Γ

₁

4

3 2

γ

ε

−R

i

∆ Γ Γ

Γ

Figure 2 : Le contour Γ = ∆

R

∪ Γ

1

∪ Γ

2

∪ γ

ε

∪ Γ

3

∪ Γ

4

est la r´ eunion de cinq segments et d’un demi cercle γ

_ε

de rayon ε centr´ e sur z = i.

1/ Discuter la convergence de l’int´ egrale I.

2/ Quel est le domaine d’analyticit´ e de la fonction f (z) ? Pr´ eciser la nature de ses singularit´ es, si elle en a.

3/ Que vaut H

Γ

dz f (z) ? Quel th´ eor` eme utilise-t-on ici ? (´ enoncer le th´ eor` eme) 4/ a) Si l’on pose z = x + i y, justifier que | sh x| 6 | sh z| 6 ch x.

b) Param´ etrer le segment Γ

1

et ´ ecrire R

Γ1

dz f (z). En bornant soigneusement | R

Γ1

dz f(z)|, montrer que

R→∞

lim Z

Γ1

dz f (z) = 0 . (5)

De mˆ eme, on admettra que lim

R→∞

R

Γ4

dz f (z) = 0

5/ Param´ etrer le demi cercle γ

ε

de rayon ε centr´ e sur z = i (cf. figure 2). Calculer

ε→0

lim Z

γε

dz f (z) (6)

(s’il faut permuter une int´ egrale et une limite, on admettra que c’est licite).

2

(3)

6/ Param´ etrer soigneusement les deux contours Γ

2

et Γ

3

. Montrer que

ε→0

lim Z

Γ2

+ Z

Γ3

dz f (z) = Z

∆_R

dz f (z) (7)

7/ D´ eduire la valeur de l’int´ egrale I .

Exercice 3 : une transformation de Fourier

On va calculer la transform´ ee de Fourier ˆ φ

_λ

(k) = F

_k

[φ

_λ

] de la fonction

φ

λ

(x) = 1

x

²

+ 2λ x + 2λ

²

, (8)

o` u λ > 0. On introduit la fonction analytique f (z) = e

^−ikz

z

²

+ 2z + 2 avec z ∈ C et k ∈ R . (9) 1/ Quel est le domaine d’analyticit´ e de la fonction f ?

2/ Si elle a un(des) pˆ ole(s), pr´ eciser leur nature. Calculer les r´ esidus correspondants.

3/ On consid` ere deux contours ferm´ es Γ

±

= ∆

_R

∪ C

_R^±

, o` u ∆

_R

= [−R, R] est le segment sur l’axe r´ eel et C

_R⁺

(resp. C

_R⁻

) le demi-cercle centr´ e sur l’origine dans le plan complexe sup´ erieur (resp.

inf´ erieur) ; cf. figure 3.

Si k > 0 laquelle des deux int´ egrales R

C⁺_R

dz f (z) ou R

C_R⁻

dz f (z) peut-elle ˆ etre born´ ee par un majorant qui s’annule dans la limite R → ∞ ?

Et pour k < 0 ?

(justifier soigneusement la majoration de l’int´ egrale dans les deux cas).

−R

R + R

R 0

∆ C

C +R

−

Figure 3 : Deux contours ferm´ es Γ

₊

= ∆

_R

∪ C

_R⁺

et Γ

−

= ∆

_R

∪ C

_R⁻

. 4/ Suivant le signe de k, appliquer le th´ eor` eme des r´ esidus ` a H

Γ+

dz f(z) ou H

Γ−

dz f (z) et calculer

φ ˆ

₁

(k) = Z

R

dx e

^−ikx

x

²

+ 2x + 2 (10)

5/ D´ eduire ˆ φ

_λ

(k).

6/ Donner l’expression de φ

_λ

(x − λ) et F

_k

[φ

_λ