Dur´ ee de l’´ epreuve : 2 heures.

L3 et Magist` ere de physique fondamentale Universit´ e Paris-Sud

Examen partiel de Physique statistique Mercredi 9 mars 2016

Dur´ ee de l’´ epreuve : 2 heures.

L’utilisation de documents, t´ el´ ephones portables, calculatrices, . . . est interdite.

Recommandations :

Lisez attentivement l’´ enonc´ e et r´ edigez succinctement et clairement votre r´ eponse.

V´ erifiez vos calculs (analyse dimensionnelle, etc) ; n’oubliez pas de vous relire.

! Pensez aux informations en annexe. ^!

1 Equation d’´ ´ etat de particules ultrarelativistes

A. Pr´ eliminaires.– On rappelle quelques propri´ et´ es de l’ensemble grand canonique qui seront utiles. Consid´ erons un syst` eme ` a temp´ erature T et potentiel chimique µ.

1/ Rappeler la d´ efinition de la fonction de partition grand canonique Ξ(µ). Donner la relation entre Ξ(µ) et la fonction de partition canonique Z (N ) du probl` eme ` a N particules.

2/ Montrer comment d´ eduire N

et E

− µ N

` a partir de ln Ξ, o` u E est l’´ energie.

3/ Pour un fluide simple le grand potentiel est seulement fonction de trois grandeurs J (T, V, µ) o` u V est le volume. Justifier que la pression grand canonique est alors donn´ ee par p

= −J/V . B. Traitement classique.– On consid` ere un gaz de particules ultrarelativistes sans inter- action dont la relation de dispersion est ε <sub>~ p</sub> = ||~ p ||c. Le gaz est contenu dans un volume V et maintenu ` a temp´ erature T et potentiel chimique µ.

1/ Probl` eme ` a une particule.– Exprimer la fonction de partition canonique z pour une particule sous la forme d’une int´ egrale dans l’espace des phases. Calculer l’int´ egrale. Donner l’expression de la longueur thermique λ _T , d´ efinie par z = V /λ ³ _T .

2/ Rappeler la forme approch´ ee de la fonction de partition canonique Z(N ) dans la limite (classique) de Maxwell-Boltzmann. En utilisant la relation entre Ξ(µ) et Z (N ), montrer que le grand potentiel prend alors la forme

J = − 1

β z e ^βµ . (1)

3/ D´ eduire la densit´ e moyenne n = N

/V puis la pression p

en fonction de T et µ. Exprimer la pression en fonction de n et T.

4/ Montrer que pour le gaz ultrarelativiste

E

= −3 J (2)

(notons que la relation est tr` es g´ en´ erale et ne repose pas sur l’approximation de Maxwell- Boltzmann ; elle est une cons´ equence de la relation de dispersion lin´ eaire ε _{~ p} ∝ ||~ p ||). Exprimer l’´ energie moyenne du gaz E

en fonction de N

et k _B T puis en fonction de p

et V .

1

C. ´ Equation d’´ etat des photons

1/ Pr´ eliminaire : oscillateur harmonique quantique.– Le spectre des ´ energies d’un os- cillateur harmonique quantique est ε _n = ~ ω(n + 1/2), n ∈ N . Calculer la fonction de parti- tion canonique z ω de l’oscillateur. Montrer que le nombre d’excitation moyen n ω , d´ efini par ε

= ~ ω(n ω + 1/2), est donn´ e par (distribution de Bose-Einstein)

n ω = 1

e ^{β ~ ω} − 1 (3)

2/ Gaz de photons.– On rappelle que l’´ energie ´ electromagn´ etique s’´ ecrit comme la somme des

´

energies d’oscillateurs harmoniques. Le nombre d’oscillateurs ayant des pulsations ∈ [ω, ω + dω]

est ρ(ω) dω o` u la densit´ e des modes ´ electromagn´ etiques est ρ(ω) = V ω ² /(π ² c ³ ) pour ω > 0.

Le nombre de photons (d’´ energie ~ ω) dans le mode est n _ω . Exprimer le nombre moyen N

de photons et l’´ energie moyenne E

sous la forme de deux int´ egrales que l’on calculera.

3/ D´ eduire la pression (sans calcul suppl´ ementaire) ` a l’aide de la relation (2). Montrer que l’on peut ´ ecrire la pression comme p = κ nk <sub>B</sub> T o` u n = N

/V est la densit´ e moyenne de photons et κ un nombre sans dimension dont on pr´ ecisera la valeur num´ erique. Commenter.

2 Fluctuations ´ electriques et th´ eor` eme de Johnson-Nyquist

1/ Pr´ eliminaire : th´ eor` eme d’´ equipartition.– On consid` ere un Hamiltonien H(ξ, χ) = c (ξ ² +χ ² ), fonction des deux variables ξ et χ variant continˆ ument sur R, o` u c est une constante.

a ) Calculer la fonction de partition Z _β (` a une constante multiplicative pr` es). ´ Enoncer le th´ eor` eme d’´ equipartition de l’´ energie. D´ eduire hξ ² i et hχ ² i.

b) On ´ ecrit H = c |z| ² o` u l’on a introduit la variable complexe z

= ξ + iχ. D´ eduire hz ² i et h|z| ² i de la question pr´ ec´ edente.

Introduction.– Dans un circuit ´ electrique ` a l’´ equilibre (en l’absence de source de courant ou de tension), le courant ´ electrique est nul en moyenne mais pr´ esente des fluctuations ` a cause de l’agitation thermique. Nous allons ´ etudier ces fluctuations dans une ligne de transmission

´

electrique (figure 1), que nous mod´ elisons comme une suite de bobines et de condensateurs pour tenir compte des effets inductifs et capacitifs. Nous appelons Q _n la charge sur le condensateur n et I n le courant dans la bobine n. L’´ energie ´ electrique stock´ ee dans la ligne est la somme d’un terme

cin´ etique

E _L = L/2 P

n I _n ² , o` u L est l’inductance des bobines, et d’un terme

potentiel

E C = 1/(2C) P

n Q ² _n , o` u C est la capacit´ e des condensateurs. ` A chaque nœud on a I _n = ˙ Q _n + I n−1 , i.e. I _n = P _n

m=−∞ Q ˙ _m .

... ^{+ Q} n

Q n

−

Q + _n

Q n

− I n −1 I _n I _n +1

+1 +1 V n V n

...

Figure 1 : Un cable coaxial (ligne de transmission) peut ˆ etre mod´ elis´ e comme une s´ erie d’in- ductances et de capacit´ es.

2/ Variables conjugu´ ees et hamiltonien.– Si nous traitons les charges Q n comme des

co- ordonn´ ees

, les variables canoniquement conjugu´ ees (les

impulsions

) sont d´ efinies comme P n

def

= ∂E L /∂ Q ˙ n = L P ∞

m=n I m . Exprimer le courant I n en fonction des variables conjugu´ ees et

2

montrer que la fonction de Hamilton est H({Q _n , P _n }) = X

n

(P n − P n+1 ) ²

2L + 1

2C Q ² _n

. (4)

3/ On consid` erera maintenant une ligne de taille finie de N couples bobine-condensateur et l’on n´ egligera les effets de bord. ´ Ecrire la fonction de partition canonique Z _β d’une ligne sous la forme d’une int´ egrale multiple. Quelle est la difficult´ e pour calculer Z β ?

4/ Modes propres.– On introduit les coordonn´ ees normales associ´ ees aux modes propres : q _k

= 1

√ N

N

X

n=1

Q _n e ^−ikn et p _k

= 1

√ N

N

X

n=1

P _n e ^−ikn o` u k ∈ [−π, π] (5) (notons que dans la chaˆıne finie, le vecteur d’onde est quantifi´ e : k = 2πm/N avec m entier). Il est alors facile de v´ erifier que l’hamiltonien (4) prend la forme

H = X

k∈[0,π]

4 sin ² (k/2)

L |p _k | ² + 1 C |q _k | ²

(6)

Quel est l’int´ erˆ et des nouvelles coordonn´ ees {q _k , p _k } (par exemple pour le calcul de Z _β ) ? Justifier que la moyenne canonique du produit de deux coordonn´ ees normales est de la forme hp _k p −k

i = p k p ^∗ _k

= δ k,k

/c k , o` u l’on pr´ ecisera la valeur de c k . 5/ Fluctuations thermiques du courant a ) En utilisant P _n = (1/ √

N ) P

k∈[−π,π] p _k e ^ikn , justifier que le courant s’exprime en termes des coordonn´ ees normales comme

I _n = 1 L

√ 1 N

X

k∈[−π,π]

e ^ikn (1 − e ^ik ) p _k . (7)

Exprimer les fluctuations I _n ²

sous la forme d’une int´ egrale (utiliser (1/N ) P

k∈[−π,π] = R +π

−π dk 2π ).

D´ eduire I _n ²

en fonction de T et L. Le r´ esultat est-il surprenant ? Doit-on augmenter ou diminuer l’inductance pour minimiser le bruit ´ electrique ?

A.N : calculer les fluctuations de courant δI

= p

hI _n ² i pour L = 5 × 10 ⁻⁸ Henry (le Henry est l’unit´ e S.I.) ` a T = 300 K.

b) ( Bonus ) Nous analysons les corr´ elations temporelles du courant I n (t). Il suffit de faire p _k −→ p _k e ^−iω

^t dans (7), o` u ω _k = 2ω LC | sin(k/2)| est la fr´ equence propre (avec ω LC = 1/ √

LC).

En reprenant le calcul du 5.a, montrer que la fonction de corr´ elation hI _n (t)I _n (t + τ )i s’exprime

`

a l’aide de la fonction de Bessel J 0 (cf. annexe).

c) ( Bonus ^{) Th´ eor`} eme de Johnson-Nyquist.– En utilisant les propri´ et´ es de J ₀ (cf. annexe), montrer que

hI _n (t)I n (t + τ )i = k B T R

δ(τ ˜ ) (8)

o` u R = p

L/C est la r´ esistance ´ electrique de la ligne semi-infinie et ˜ δ(τ ) une fonction

´ etroite

telle que R

R dt δ(t) = 1. ˜

d ) ( Bonus ) Le bruit ´ electrique aux bornes d’une r´ esistance a ´ et´ e mesur´ e par Johnson en 1928.

Commenter la figure o` u est repr´ esent´ e le spectre de bruit de tension |V _ω | ²

= R

dτ hV (t)V (t + τ )i en fonction de la r´ esistance R.

3

202 J. B. ^JOHNSON

all about the same resistance, and this was repeated with another resistance value.

MEASUREMENTS

RESULTS

A considerable part of the work consisted of comparative measurements in which the characteristics of the amplifier did not need to be known. In these circumstances only the maximum amplification was determined. It

was convenient in such cases to think of the resistance as impressing on the amplifier a mean-square potential V'. By this method of comparison was determined the fact that the phenomenon is independent of the material and shape of the resistance unit and of the mechanism of the conduction, ' _but

does depend on the electrical resistance. A few of the results are reproduced in Fig. 4. They are expressed in terms of P', the apparent mean-square potential fluctuation, plotted against the resistance component R(&o). The points ^lie close to a straight line. The quantity W= P'/R(s&), which may be

5 xIO

I

I)

Vvs.RESISTANCE

~CARSONFILAMENT +ADVANCE WIRE x_CuSO~INHzO vNaCI

O~KzCr04»

oCo(NO&)z

0 ₄ '.5

RESISTANCE COMPONENT, OH&5

,7 x10

Fig, 4. Voltage-squared vs. resistance component for various kinds of conductors.

called the power equivalent of the effect, is independent of all the variables so far considered, including the electrical resistance itself.

The effect of the shunt capacity C across the conductor is shown in Fig. 5.

In this case the abscissae are the measured values of resistance Ro, the circles marking the observed values of the apparent V'. These values of P' reach a maximum and then actually decrease as the resistance is indefinitely in- creased. Obtaining a factor of proportionality X from the initial slope of the curve and using the measured value of C and ~ for the calculation of Q =

KR(co) =PRO/(]+co'O'Ro'), the expected values of ^Tr' were calculated.

These are represented by the curve ⁱⁿ Fig. 5. The course of the calculated curve agrees well with that for the observed points. The agreement was also verified by using a fixed resistance and adding known shunt capacities up to as high as 60, 000 mmf.

' Resistances such as thermionic tubes and photoelectric cells, perhaps all resistances not obeying Ohm's law, are exceptions to this rule. In these the statistical conditions are different.

Figure 2 : Spectre de bruit de tension en fonction de la r´ esistance. Figure tir´ ee de : J. B. John- son, Thermal agitation of electricity in conductors, Phys. Rev. 32, 97–109 (1928).

Annexe

• Fonction Gamma

Γ(z)

= Z ∞

0

dt t ^z−1 e ^−t (9)

Relation fonctionnelle : Γ(z + 1) = zΓ(z). Quelques valeurs : Γ(n + 1) = n! et Γ(1/2) = √ π.

• Des int´ egrales

Z ∞

0

dt t ^α−1

e ^t − 1 = Γ(α) ζ (α) (10)

o` u ζ(2) = π ² /6, ζ (3) ' 1.202, ζ(4) = π ⁴ /90, etc

• La fonction de Bessel

J 0 (x) = Z +π

−π

dk

2π e ^{ix cos k} (11)

pr´ esente les comportements limites : J 0 (x) ' 1 − x ² /2 pour x 1 et J 0 (x) ' p

2/(πx) cos(x − π/4) pour x 1. Son int´ egrale est R

R dx J 0 (x) = 2.

• Constantes : ~ = 1.05 × 10 ⁻³⁴ J.s, k B = 1.38 × 10 ⁻²³ J/K.

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