Dur´ ee de l’´ epreuve : 2 heures.

L3 PAPP

Universit´ e Paris-Saclay Examen partiel de math´ ematiques

Lundi 1 mars 2021

Dur´ ee de l’´ epreuve : 2 heures.

L’utilisation de documents, t´ el´ ephones portables, calculatrices, . . . est interdite.

Recommandations :

Lisez attentivement l’´ enonc´ e et r´ edigez succinctement et clairement votre r´ eponse.

n’oubliez pas de vous relire.

Exercice 1 : S´ eries de Fourier

A. Questions de cours

Soit une fonction f (x) p´ eriodique de p´ eriode 2π, d´ ecomposable en s´ erie de Fourier f(x) =

n∈Z

c

e

(1)

1/ Si f(x) est r´ eelle et sym´ etrique, f (−x) = f(x), montrer que les coefficients c

sont r´ eels et sym´ etriques, c

= c

.

2/ Montrer que dans ce cas, la d´ ecomposition de Fourier prend la forme f(x) = b

+

∞

X

n=1

b

cos(nx) (2)

Etablir la relation entre les coefficients b

et b

(n

1) et les coefficients c

.

3/ Rappeler comment obtenir le coefficient c

de la d´ ecomposition (1) ; on d´ emontrera la relation (si besoin, on admettra qu’il est licite de permuter somme et int´ egrale). D´ eduire

b

=

0

dx

π f (x) et b

= 2

0

dx

π f (x) cos(nx) . (3)

B. Application On consid` ere la fonction

f (x) = 1

x π

2

d´ efinie pour x

[−π, π] . (4) 1/ Tracer le graphe de la fonction f(x), pour x

[−π, π].

2/ On souhaite repr´ esenter f (x) par une s´ erie de Fourier (1). Pour cela on ´ etend le domaine de d´ efinition de f(x) sur

tout entier en consid´ erant que f (x) est p´ eriodique de p´ eriode 2π.

a) Que pouvez vous dire de la d´ eriv´ ee de la fonction f (x) ainsi prolong´ ee sur

x =

(tracer la fonction p´ eriodique).

b) Calculer les coefficients de Fourier b

et b

introduits dans la question de cours. ´ Ecrire explicitement la s´ erie de Fourier (2).

c) D´ eduire les valeurs des deux s´ eries suivantes :

(−1)ⁿ

n²

et

n²

.

d) Discuter de la d´ ecroissance de

quand n

et des propri´ et´ es de continuit´ e et de d´ erivabilit´ e de la fonction f (x).

3/ ( Bonus ) Justifier que l’on peut construire une autre fonction p´ eriodique sur

` a partir des mˆ emes arcs de parabole, de mani` ere ` a obtenir une s´ erie de Fourier qui converge plus rapide- ment. En ´ etudiant la continuit´ e des d´ eriv´ ees de la nouvelle fonction, identifier la d´ ecroissance des coefficients c

pour n

(sans calcul et en utilisant un th´ eor` eme du cours).

1

Exercice 2 : Transformation de Fourier

On rappelle la d´ efinition de la transform´ ee de Fourier d’une fonction f

(

), f(k) = ˆ

[f ]

=

Z

R

√

dx

2π f (x) e

et f (x) =

[ ˆ f ] =

R

√

dk 2π

f ˆ (k) e

presque partout. (5)

A. Questions de cours

1/ Rappeler la d´ efinition de l’espace

(

).

Pour les deux questions suivantes, une br` eve d´ emonstration est demand´ ee : 2/ Exprimer

[x f(x)] en fonction de ˆ f (k).

3/ Exprimer

[(f

g)(x)] en fonction de ˆ f (k) et ˆ g(k).

Rappel : d´efinition du produit de convolution de deux fonctionsf etg,(f∗g)(x)^def=R

Rdy f(x−y)g(y).

B. Autour de la fonction porte On consid` ere la fonction :

Π

(x) =

(

1/a si

< a/2

0 sinon (6)

1/ Justifier que Π

(

)

2/ Calculer la transform´ ee de Fourier Π

(k) =

[Π

].

3/ Soit n un entier positif. Est-ce que la fonction x

est dans l’espace

(

) ? Et la fonction f

(x) = x

Π

(x) ? Justifiez la r´ eponse.

4/ Reliez

[f

] et

[Π

]. Utilisez ce r´ esultat pour calculer la valeur de la n-i` eme d´ eriv´ ee d

dx

sin x x

au point x = 0 . 5/ Soient a, b

. La fonction g

est d´ efinie sur

par la formule

g

= Π

Π

. (7)

Tracez le graphique de g

(x) sur l’intervalle [−2, 2]

indication :

pour vous aider ` a d´ eterminer g

(x), tracez Π

(x

y) et Π

(y).

6/ Montrez que g

est une fonction affine par morceaux et donnez en une formule explicite (on supposera a

b).

7/ Calculez ˆ g

(k) =

[g

] et justifiez que

[ˆ g

] = g

(x).

8/ Utilisez ces r´ esultats pour calculer l’int´ egrale suivante :

R

dx sin(αx) sin(βx)

x

(8)

o` u α, β > 0.

Solutions sur la page du cours : cf.

http://lptms.u-psud.fr/christophe_texier/

2