Dur´ ee de l’´ epreuve : 2 heures.

L3 et Magist` ere de physique fondamentale Universit´ e Paris-Sud

Examen de Physique Statistique I Mardi 3 janvier 2017

Dur´ ee de l’´ epreuve : 2 heures.

L’utilisation de documents, t´ el´ ephones portables, calculatrices, . . . est interdite.

Recommandations :

Lisez attentivement l’´ enonc´ e et r´ edigez succinctement et clairement votre r´ eponse.

V´ erifiez vos calculs (analyse dimensionnelle, etc) ; n’oubliez pas de vous relire.

!

Pensez aux informations en annexe.

1 Distribution de Maxwell

A. Question de cours

1/ Enoncer le postulat fondamental de la physique statistique. ´

2/ Donner l’expression g´ en´ erale de l’entropie microcanonique, not´ ee S

(d´ efinir toutes les quan- tit´ es introduites).

B. Gaz parfait monoatomique.– On consid` ere un gaz parfait de N atomes confin´ es dans une boˆıte de volume V , d´ ecrits par l’hamiltonien

H =

N

X

i=1

~ p

2m avec ~ r

∈ volume V . (1)

On se place dans un cadre classique.

1/ D´ ecrire les micro´ etats du syst` eme. Donner l’expression du nombre Φ

(E) de micro´ etats ayant une ´ energie inf´ erieure ` a E sous la forme d’une int´ egrale multiple (sans la calculer).

2/ Entropie.– On introduit l’int´ egrale multiple

Σ

(E)

= Z

d

~ p

· · · d

~ p

δ E −

N

X

i=1

~ p

2m

!

. (2)

a ) Justifier que l’entropie microcanonique est donn´ ee par

S

(E, V, N ) = k

ln [b Σ

(E)] , (3) o` u l’on pr´ ecisera la valeur de b (notamment sa d´ ependance en V et N ).

b) Justifier que l’int´ egrale multiple (2) d´ epend de l’´ energie comme une loi de puissance Σ

(E) ∝ E

et donner l’expression de l’exposant α (le pr´ efacteur n’est pas demand´ e).

c) Rappeler la d´ efinition de la temp´ erature microcanonique T

et donner son expression en fonction de E et N .

3/ Distribution de Maxwell.– On cherche maintenant la distribution de l’impulsion d’un des atomes du gaz, disons l’atome n

1. On note cette densit´ e de probabilit´ e f(~ p

).

a ) Justifier que la distribution microcanonique est donn´ ee par ρ

(~ r

, · · · , ~ r

, ~ p

, · · · , ~ p

) = C δ(E − H), o` u H est l’hamiltonien (1). Exprimer la normalisation C en fonction de Σ

(E).

1

b) Quelle est la relation entre ρ

(· · · ) et f (~ p

) ? Montrer que cette derni` ere est donn´ ee par

f(~ p

) = Σ

E −

Σ

(E) . (4)

c) Pr´ eliminaire : rappeler la valeur de lim

(1 + x/N)

. En consid´ erant la limite N → ∞ avec une temp´ erature T

fix´ ee dans (4), montrer que l’on retrouve la distribution de Maxwell.

d ) En utilisation la distribution de Maxwell, d´ eduire l’´ energie cin´ etique moyenne d’un atome, hε

i = h

i.

2 Th´ eor` eme H de Boltzmann

Consid´ erons un gaz parfait de N particules dans un volume V et ayant une ´ energie E, ` a l’´ equilibre thermodynamique. On rappelle la formule de Sackur-Tetrode pour son entropie microcanonique

S

(E, V, N ) = N k

"

5 2 − ln

( N V

3π~

N mE

)#

. (5)

1/a) Calculer la temp´ erature microcanonique du gaz, not´ ee T

, en fonction des variables E, V et/ou N . Rappeler la d´ efinition du potentiel chimique microcanonique µ

et le calculer.

b) D´ eduire une expression de l’entropie S

en fonction de N , T

, la densit´ e moyenne n = N/V et des autres param` etres microscopiques. De mˆ eme, exprimer µ

en fonction de n et T

. 2/ On consid` ere un tube cylindrique de longueur 2L et de section A contenant un gaz parfait monoatomique. Le tube est s´ epar´ e par une paroi en x = 0 en deux parties contenant respecti- vement N

et N

= N − N

atomes (Fig. 1). La temp´ erature est la mˆ eme dans les deux parties, ´ egale ` a T

. ` A un certain instant, on fait un trou dans la paroi par lequel les deux gaz s’´ echangent des atomes. On attend qu’un nouvel ´ equilibre s’´ etablisse. Quelle est la condition d’´ equilibre ? Que valent alors les densit´ es moyennes n

et n

dans les deux volumes ?

−L 0 + L x

Figure 1 : Un tube cylindrique est s´ epar´ e en deux.

3/ Entropie pour une densit´ e non homog` ene.– Nous supposons maintenant, qu’` a cause de contraintes ext´ erieures, la densit´ e dans le tube est spatialement inhomog` ene (Fig. 2). Pour sim- plifier nous consid´ erons le cas o` u la densit´ e n(x) d´ epend uniquement de l’abscisse x ∈ [−L, +L], et varie “lentement”. Nous allons construire une expression de l’entropie dans cette situation, en supposant que la temp´ erature T

est fix´ ee et ind´ ependante de x.

On divise par la pens´ ee le tube en tranches d’´ epaisseurs “infinit´ esimales” ∆x, o` u ∆x est tr` es grand par rapport aux longueurs microscopiques et ∆x L. Les contraintes sont telles que dans chaque tranche [x, x + ∆x], le gaz est ` a l’´ equilibre microcanonique (´ equilibre local) et on peut y appliquer la formule de Sackur-Tetrode (5).

a) Exprimer l’entropie ∆S

(x) de la tranche d’´ epaisseur ∆x situ´ ee ` a x en fonction des donn´ ees.

b) Montrer que l’entropie du gaz peut s’´ ecrire sous la forme S

= −C

Z

−L

dx n(x) ln n(x)

n

| {z }

def

= S b

+R(T

, n

) , (6)

2

n(x)

x

−L 0 + L

Figure 2 : A cause de contraintes ext´ ` erieures la densit´ e est inhomog` ene dans le tube et d´ epend de la coordonn´ ee x.

o` u n

est une densit´ e de r´ ef´ erence et le “reste” R(T

, n

) d´ epend de la temp´ erature et n

(mais pas de n(x)). Donner l’expression de la constante C. Pourquoi n

est-il arbitraire ? Choisir n

= N/V et donner l’expression de R(T

, n

).

c) ` A un instant initial on relˆ ache les contraintes responsables des inhomog´ en´ eit´ es de densit´ e, si bien qu’un nouvel ´ equilibre s’installera. Que vaut S b dans ce nouvel ´ etat d’´ equilibre ? Motiver votre r´ eponse tr` es bri` evement.

Pour s’aider : on pourra borner S b ` a l’aide de l’in´ egalit´ e ln x > 1 − 1/x.

4/ Dynamique vers l’´ equilibre.– On sort maintenant du cadre de la physique statistique de l’´ equilibre et l’on va s’int´ eresser ` a l’´ evolution temporelle du syst` eme entre son ´ etat initial, caract´ eris´ e par une densit´ e inhomog` ene (Fig. 2), et son ´ etat final. L’´ evolution de la densit´ e, not´ ee n(x, t), est r´ egie par l’´ equation de la diffusion

∂n(x, t)

∂t = D ∂

n(x, t)

∂x

, (7)

o` u D est la constante de diffusion. On admettra que l’hypoth` ese de l’´ equilibre local reste vraie

`

a tout instant et qu’il est possible de d´ efinir une entropie S(t) au temps b t, simplement donn´ ee en rempla¸cant n(x) par n(x, t) dans (6). Montrer que

d S(t) b

dt > 0 (8)

et que l’´ egalit´ e est satisfaite seulement ` a l’´ equilibre.

Indication : Les int´ egrations par parties g´ en` erent des termes de bord que vous pouvez n´ egliger.

Commentaire : Une in´ egalit´ e comme (8) pour la d´ eriv´ ee temporelle de l’entropie s’appelle un th´ eor` eme H de Boltzmann.

Annexe :

• Le volume d’une sph` ere de dimension d et de rayon R est donn´ e par V

(R) = π

Γ(d/2 + 1) R

(9)

• Pour grand argument, la fonction Gamma peut ˆ etre approxim´ ee ` a l’aide de la formule de Stirling ln Γ(z) ' z ln z − z pour z 1.

• On rappelle l’int´ egrale Z

−∞

dx e

= r π

a .

Solutions sur la page du cours : cf. http://lptms.u-psud.fr/christophe_texier/

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