Dur´ ee de l’´ epreuve : 3 heures.

(1)

L3 et Magist` ere de physique fondamentale Universit´ e Paris-Sud Examen de Physique Statistique II

Vendredi 12 mai 2017

Dur´ ee de l’´ epreuve : 3 heures.

L’utilisation de documents, t´ el´ ephones portables, calculatrices, . . . est interdite.

Recommandations :

Lisez attentivement l’´ enonc´ e et r´ edigez succinctement et clairement votre r´ eponse.

V´ erifiez vos calculs (analyse dimensionnelle, etc) ; n’oubliez pas de vous relire.

1 Fluctuations de l’´ energie dans un gaz parfait classique

Nous ´ etudions les fluctuations de l’´ energie ∆E

^def

= p

var(E) d’un gaz parfait classique pr´ edites dans le cadre de diff´ erents ensembles de la physique statistique. Nous consid´ erons un gaz de N particules d´ ecrit par le Hamiltonien

H =

N

X

i=1

~ p _i ²

2m avec ~ r _i ∈ volume V . (1)

1/ Ensemble microcanonique.– Rappeler quelle est la situation physique d´ ecrite par l’en- semble microcanonique. Que valent les fluctuations ∆E ^∗ dans ce cas ?

2/ Ensemble canonique.

a ) ` A quelle situation physique correspond l’ensemble canonique ? Rappeler la d´ efinition g´ en´ erale de la fonction de partition canonique Z .

b) Comment d´ eduire l’´ energie moyenne E

^C

de Z ? (rappeler la d´ emonstration de cette relation).

c) Justifier rapidement que Z ∝ β ^−3N/2 pour le gaz parfait classique. Calculer E

^C

. d ) On donne ∆E

^C

2

def

= var(E) = − ^∂E _∂β

^C

. Calculer la variance puis les fluctuations relatives

∆E

^C

/E

^C

.

3/ Ensemble grand canonique.

a ) Quelle situation physique est d´ ecrite par l’ensemble grand canonique ? Donner la d´ efinition g´ en´ erale de la fonction de partition grand canonique Ξ.

b) Montrer que le nombre moyen de particules et l’´ energie moyenne peuvent ˆ etre d´ eduits de Ξ

`

a l’aide des relations N

^G

= 1

β

∂

∂µ ln Ξ et E

^G

=

− ∂

∂β + µ β

∂

∂µ

ln Ξ . (2)

c) Montrer que pour le gaz parfait classique Ξ = exp

z e ^βµ , o` u z est la fonction de partition pour une particule. Justifier que ∂z/∂β = −3z/(2β). D´ eduire N

^G

et E

^G

en fonction de z, β et µ.

d ) Calculer la variance de l’´ energie, maintenant donn´ ee par var(E) = − _∂β ^∂ + ^µ _β _∂µ ^∂

E

^G

. Exprimer E

^G

et ∆E

^G

2

def

= var(E) en fonction de N

^G

et k B T . D´ eduire ∆E

^G

/E

^G

en fonction de N

^G

. 4/ Conclusion.– Comparer ∆E ^∗ /E, ∆E

^C

/E

^C

et ∆E

^G

/E

^G

. Justifier physiquement pourquoi les fluctuations sont les plus grandes dans ce dernier cas. Rappeler la d´ efinition de la limite thermodynamique et commenter les r´ esultats.

1

(2)

2 Gaz de photons

On ´ etudie la thermodynamique d’un gaz de photons. Dans un premier temps, on applique (incorrectement) les r´ esultats obtenus dans le cadre canonique pour un gaz parfait classique de particules ultrarelativistes. Dans un deuxi` eme temps, on traitera rigoureusement l’effet du postulat de sym´ etrisation ` a l’aide du formalisme grand canonique.

1/ On consid` ere une particule libre de masse nulle, d’´ energie ε _~ _p = ||~ p ||c. Montrer que la densit´ e des ´ etats individuels (les ondes planes) est

ρ(ε) = V g _s

2π ² ( ~ c) ³ ε ² o` u g _s = 2 (3)

est la d´ eg´ en´ erescence de spin (pour les photons on a s = 1 mais g _s = 2 seulement, pour les deux

´

etats de polarisation).

[Indication : utiliser la r` egle semiclassique ou la repr´ esentation ρ(ε) = P

λ δ(ε − ε λ ).]

A. Gaz classique de particules ultrarelativistes.– On d´ ecrit le gaz de N particules comme un gaz classique dans un volume V ` a temp´ erature T .

2/ Justifier que la fonction de partition pour une particule est donn´ ee par z = R ∞

0 dε ρ(ε) e ^−βε puis calculer l’int´ egrale [exprimer le r´ esultat en fonction de V et la longueur thermique λ T

def

=

~ c/(k _B T )].

3/ Quelle est la fonction de partition canonique Z _N ^MB du gaz dans l’approximation de Maxwell- Boltzmann ? D´ eduire l’´ energie libre F ^MB (T, V, N ), qu’on exprimera en fonction de N , T , de la densit´ e n = N/V et de λ _T , afin de faire ressortir la propri´ et´ e d’extensivit´ e.

4/ D´ eduire l’´ energie moyenne du gaz E

^C

, la pression p et le potentiel chimique µ (on exprimera ce dernier en fonction de k _B T et du produit adimensionn´ e nλ ³ _T ).

5/ Photons.– Nous appliquons ces r´ esultats au cas des photons : pour prendre en compte la non conservation du nombre de photons, on impose µ = 0. D´ eduire une relation entre n et λ _T (o` u il est admis que n s’interpr` ete maintenant comme la densit´ e moyenne). Utiliser cette relation pour donner l’expression de F ^MB en fonction de T et V (et des constantes fondamentales).

B. Traitement grand canonique.

6/ On consid` ere des particules sans interaction ` a temp´ erature T et potentiel chimique µ. Don- ner la d´ efinition g´ en´ erale de la fonction de partition grand canonique pour un ´ etat individuel d’´ energie ε _λ . La calculer explicitement pour les bosons, on la note ξ ^B _λ . Rappeler quelle est la contrainte sur µ. Comment le facteur de Bose-Einstein n ^B (ε) est-il d´ eduit de ξ _λ ^B ? Donner son expression et tracer son allure en fonction de ε.

7/ Exprimer le nombre moyen de bosons N

^G

et l’´ energie moyenne E

^G

sous la forme d’int´ egrales faisant intervenir n ^B (ε) et la densit´ e d’´ etats individuels ρ(ε).

8/ Jusqu’` a la fin du probl` eme, nous ´ etudions le gaz de photons pour lequel µ = 0 . Justifier l’´ egalit´ e entre grand potentiel et ´ energie libre : J = F . Calculer explicitement N

^G

et E

^G

en fonction de V et T .

[Indication : utiliser les int´ egrales de l’annexe.]

9/ Rappeler la d´ efinition de la pression p (les d´ efinitions canonique et grand canonique co¨ıncident pour µ = 0). On a vu en cours que si ρ(ε) ∝ ε ² , alors J = −(1/3)E

^G

. D´ eduire l’´ energie libre F en fonction de T et V . Puis p en fonction de T et des constantes fondamentales.

10/ Montrer que l’´ energie libre, l’´ energie et la pression s’expriment respectivement comme F =

−η N

^G

k _B T , E

^G

= 3η N

^G

k _B T et p = η nk _B T o` u η est une constante adimensionn´ ee dont on donnera la valeur approch´ ee. Comparer aux r´ esultats de la partie A. Quelle est l’origine physique de η ? Justifier physiquement pourquoi η > 1 ou η < 1.

2

(3)

3 M´ etal bidimensionnel

Il est possible de r´ ealiser un m´ etal bidimensionnel en pi´ egeant un gaz d’´ electrons ` a l’interface de deux semi-conducteurs. On peut montrer que la densit´ e des ´ etats individuels est une constante ρ 0 = A m ∗ /(π ~ ² ), o` u m ∗ est la masse effective et A la surface o` u ´ evoluent les ´ electrons.

1/ Rappeler l’expression de la distribution de Fermi-Dirac n ^F (ε) et tracer la soigneusement pour µ > 0 et T = 0 ; puis pour k _B T µ sur le mˆ eme graphe.

2/ Rappeler l’expression grand canonique du nombre moyen de fermions N

^G

comme une int´ egrale faisant intervenir n ^F (ε). En remarquant que 1/ e ^β(ε−µ) + 1

= e ^{−β(ε−µ)} / 1 + e ^{−β(ε−µ)}

, calculer explicitement cette int´ egrale.

3/ On se place ` a la limite thermodynamique, i.e. N

^G

→ N : d´ eduire le potentiel chimique en fonction de T et de la densit´ e n = N/A. D´ eduire que l’´ energie de Fermi est donn´ ee par ε _F ≡ k _B T _F = π ~ ² n/m ∗ . Exprimer µ(T, n) en fonction de k _B T et T /T _F seulement. Tracer µ(T, n) en fonction de T et justifier que l’on pourra consid´ erer µ(T, n) ' ε F tant que T T F . 4/ A.N. : on consid` ere un gaz ` a une interface GaAs/GaAlAs. La masse effective des ´ electrons est m ∗ = 0.067 m e et la densit´ e n = 4.5 × 10 ¹⁵ m ⁻² . D´ eduire la temp´ erature de Fermi T _F en Kelvin. Dans quel r´ egime se trouve le gaz ` a T = 300 K ? Et dans un cryostat ` a T = 1 K ? 5/ Exprimer l’´ energie moyenne E

^G

comme une int´ egrale. On se place ` a la limite thermodyna- mique et on note l’´ energie E

^G

→ E(T, N ) (la d´ ependance en A est implicite). Montrer que

E(T, N ) = 1 2 N ε _F

"

1 + π ² 3

T T _F

2 + O(T ⁴ )

#

pour T T _F (4)

[Indication : utiliser la formule de Sommerfeld de l’annexe.]

6/ D´ eduire la capacit´ e calorifique C V pour T T F , exprim´ ee en fonction de N k B et de T /T F . Justifier physiquement le r´ esultat et comparer au r´ esultat qu’on aurait obtenu pour T T _F . 7/ [ Bonus ] En utilisant C V = T ^∂S _∂T

^C

, o` u S

^C

(T, N ) est l’entropie canonique, justifier que S

^C

' C _V . On introduit l’´ energie d’excitation E ^∗

^def

= E(T, N ) − E(0, N ). Exprimer T /T _F en fonction de E ^∗ /(N ε F ). D´ eduire l’expression de l’entropie microcanonique S ^∗ (E ^∗ , N ). D´ eduire le comportement dominant de la densit´ e des ´ etats du gaz fermionique. Comparer ` a la densit´ e d’´ etats d´ ecrivant un gaz classique ρ _class (E, N ) = _(N!) ^A

^N2

m

∗

E 2π ~

²

Dur´ ee de l’´ epreuve : 3 heures.

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Vendredi 12 mai 2017

Dur´ ee de l’´ epreuve : 3 heures.

L’utilisation de documents, t´ el´ ephones portables, calculatrices, . . . est interdite.

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Lisez attentivement l’´ enonc´ e et r´ edigez succinctement et clairement votre r´ eponse.

V´ erifiez vos calculs (analyse dimensionnelle, etc) ; n’oubliez pas de vous relire.

1 Fluctuations de l’´ energie dans un gaz parfait classique

Nous ´ etudions les fluctuations de l’´ energie ∆E

= p

var(E) d’un gaz parfait classique pr´ edites dans le cadre de diff´ erents ensembles de la physique statistique. Nous consid´ erons un gaz de N particules d´ ecrit par le Hamiltonien

H =

N

X

i=1

~ p i 2

2m avec ~ r i ∈ volume V . (1)

1/ Ensemble microcanonique.– Rappeler quelle est la situation physique d´ ecrite par l’en- semble microcanonique. Que valent les fluctuations ∆E ∗ dans ce cas ?

2/ Ensemble canonique.

a ) ` A quelle situation physique correspond l’ensemble canonique ? Rappeler la d´ efinition g´ en´ erale de la fonction de partition canonique Z .

b) Comment d´ eduire l’´ energie moyenne E

de Z ? (rappeler la d´ emonstration de cette relation).

c) Justifier rapidement que Z ∝ β −3N/2 pour le gaz parfait classique. Calculer E

. d ) On donne ∆E

2

= var(E) = − ∂E ∂β

. Calculer la variance puis les fluctuations relatives

∆E

/E

.

3/ Ensemble grand canonique.

a ) Quelle situation physique est d´ ecrite par l’ensemble grand canonique ? Donner la d´ efinition g´ en´ erale de la fonction de partition grand canonique Ξ.

b) Montrer que le nombre moyen de particules et l’´ energie moyenne peuvent ˆ etre d´ eduits de Ξ

`

a l’aide des relations N

= 1

β

∂

∂µ ln Ξ et E

=

− ∂

∂β + µ β

∂

∂µ

ln Ξ . (2)

c) Montrer que pour le gaz parfait classique Ξ = exp

z e βµ , o` u z est la fonction de partition pour une particule. Justifier que ∂z/∂β = −3z/(2β). D´ eduire N

et E

en fonction de z, β et µ.

d ) Calculer la variance de l’´ energie, maintenant donn´ ee par var(E) = − ∂β ∂ + µ β ∂µ ∂

E

. Exprimer E

et ∆E

2

= var(E) en fonction de N

et k B T . D´ eduire ∆E

/E

en fonction de N

. 4/ Conclusion.– Comparer ∆E ∗ /E, ∆E

/E

et ∆E

/E

. Justifier physiquement pourquoi les fluctuations sont les plus grandes dans ce dernier cas. Rappeler la d´ efinition de la limite thermodynamique et commenter les r´ esultats.

1

2 Gaz de photons

1/ On consid` ere une particule libre de masse nulle, d’´ energie ε ~ p = ||~ p ||c. Montrer que la densit´ e des ´ etats individuels (les ondes planes) est

ρ(ε) = V g s

2π 2 ( ~ c) 3 ε 2 o` u g s = 2 (3)

est la d´ eg´ en´ erescence de spin (pour les photons on a s = 1 mais g s = 2 seulement, pour les deux

´

etats de polarisation).

[Indication : utiliser la r` egle semiclassique ou la repr´ esentation ρ(ε) = P

λ δ(ε − ε λ ).]

A. Gaz classique de particules ultrarelativistes.– On d´ ecrit le gaz de N particules comme un gaz classique dans un volume V ` a temp´ erature T .

2/ Justifier que la fonction de partition pour une particule est donn´ ee par z = R ∞

0 dε ρ(ε) e −βε puis calculer l’int´ egrale [exprimer le r´ esultat en fonction de V et la longueur thermique λ T

=

~ c/(k B T )].

4/ D´ eduire l’´ energie moyenne du gaz E

~ p _i ²

2m avec ~ r _i ∈ volume V . (1)

1/ Ensemble microcanonique.– Rappeler quelle est la situation physique d´ ecrite par l’en- semble microcanonique. Que valent les fluctuations ∆E ^∗ dans ce cas ?

c) Justifier rapidement que Z ∝ β ^−3N/2 pour le gaz parfait classique. Calculer E

= var(E) = − ^∂E _∂β

z e ^βµ , o` u z est la fonction de partition pour une particule. Justifier que ∂z/∂β = −3z/(2β). D´ eduire N

d ) Calculer la variance de l’´ energie, maintenant donn´ ee par var(E) = − _∂β ^∂ + ^µ _β _∂µ ^∂

. 4/ Conclusion.– Comparer ∆E ^∗ /E, ∆E

1/ On consid` ere une particule libre de masse nulle, d’´ energie ε _~ _p = ||~ p ||c. Montrer que la densit´ e des ´ etats individuels (les ondes planes) est

ρ(ε) = V g _s

2π ² ( ~ c) ³ ε ² o` u g _s = 2 (3)

est la d´ eg´ en´ erescence de spin (pour les photons on a s = 1 mais g _s = 2 seulement, pour les deux

0 dε ρ(ε) e ^−βε puis calculer l’int´ egrale [exprimer le r´ esultat en fonction de V et la longueur thermique λ T

~ c/(k _B T )].

, la pression p et le potentiel chimique µ (on exprimera ce dernier en fonction de k _B T et du produit adimensionn´ e nλ ³ _T ).

sous la forme d’int´ egrales faisant intervenir n ^B (ε) et la densit´ e d’´ etats individuels ρ(ε).

9/ Rappeler la d´ efinition de la pression p (les d´ efinitions canonique et grand canonique co¨ıncident pour µ = 0). On a vu en cours que si ρ(ε) ∝ ε ² , alors J = −(1/3)E

k _B T , E

k _B T et p = η nk _B T o` u η est une constante adimensionn´ ee dont on donnera la valeur approch´ ee. Comparer aux r´ esultats de la partie A. Quelle est l’origine physique de η ? Justifier physiquement pourquoi η > 1 ou η < 1.

1/ Rappeler l’expression de la distribution de Fermi-Dirac n ^F (ε) et tracer la soigneusement pour µ > 0 et T = 0 ; puis pour k _B T µ sur le mˆ eme graphe.

comme une int´ egrale faisant intervenir n ^F (ε). En remarquant que 1/ e ^β(ε−µ) + 1

= e ^{−β(ε−µ)} / 1 + e ^{−β(ε−µ)}

E(T, N ) = 1 2 N ε _F

1 + π ² 3

T T _F

+ O(T ⁴ )

pour T T _F (4)

6/ D´ eduire la capacit´ e calorifique C V pour T T F , exprim´ ee en fonction de N k B et de T /T F . Justifier physiquement le r´ esultat et comparer au r´ esultat qu’on aurait obtenu pour T T _F . 7/ [ Bonus ] En utilisant C V = T ^∂S _∂T

' C _V . On introduit l’´ energie d’excitation E ^∗

dt t ^z−1 e ^−t avec Γ(n) = (n − 1)!

dx x ^α−1

e ^x − 1 = Γ(α) ζ(α) avec ζ(2) = π ²

6 ' 1.645 , ζ(3) ' 1.202 , ζ(4) = π ⁴

dε ϕ(ε) n ^F (ε) =

dε ϕ(ε) + π ²

6 ϕ ⁰ (µ) (k B T) ² + O(T ⁴ )

• Constantes : k B = 1.38 × 10 ⁻²³ J/K, ~ = 10 ⁻³⁴ J.s, |q _e | = 1.6 × 10 ⁻¹⁹ C et m e = 10 ⁻³⁰ kg.