Deuxi` eme Session - Samedi 10 septembre 2011 - Dur´ ee 3h

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CNAM – Paris Septembre 2011 MVA004 - Automates, codes, graphes et matrices - HTO et TO

Deuxi` eme Session - Samedi 10 septembre 2011 - Dur´ ee 3h

Tous documents autoris´ es. Tous appareils ´ electroniques interdits.

Toutes vos r´ eponses doivent ˆ etre justifi´ ees.

Exercice 1 (8 points)

On consid` ere sur l’alphabet Σ = {a, b} l’automate fini A de diagramme :

1 a 2 b 3

a 4

b b

a

1) L’automate est-il d´ eterministe ? Donner la liste de tous les mots de longueur inf´ erieure ou ´ egale ` a 4 reconnus par A.

2) Ecrire le syst` eme du d´ epart de A . En d´ eduire une expression r´ eguli` ere aussi simple que possible du langage L reconnu par A.

3) Construire B, un AFD reconnaissant L.

4) Par la m´ ethode de minimisation de votre choix, construire l’automate minimal qui reconnaˆıt L.

Exercice 2 (8 points)

On consid` ere qu’on poss` ede un canal binaire sym´ etrique sans m´ emoire de probabilit´ e de mauvaise transmission d’un bit p et un code lin´ eaire et syst´ ematique de matrice g´ en´ eratrice

G =







1 0 0 0 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1







1) D´ eterminer les valeurs de n, k et r.

2) Ecrire

^t

H o` u H est la matrice de contrˆ ole du code.

3) D´ eterminer la distance minimale du code, en d´ eduire le nombre d’erreurs d´ etect´ ees de fa¸con certaine et le nombre d’erreurs corrig´ ees fa¸con certaine.

4) Le r´ ecepteur re¸ coit le message m

1

= 10101010. V´ erifier que e = 00001001 est l’un des vecteurs d’erreurs possibles. Quelle est sa probabilit´ e ?

5) Le r´ ecepteur re¸ coit le message m

2

= 11100001 ? Quel est son syndrome ? Quel vecteur d’erreur de plus faible poids peut-on lui associer ? Donner une correction possible de m

₂

.

6) Le r´ ecepteur re¸ coit m = 1010101011100001. Quel d´ ecodage peut-il faire ?

T.S.V.P.

1

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Exercice 3 (9 points)

On consid` ere l’alphabet Σ = {a, b, c}

1) Donner une expression r´ eguli` ere des langages suivants : - L est le langage des mots contenant un nombre pair de a,

- M est le langage des mots ne contenant aucune occurrence de ab.

2) Donner une phrase d´ ecrivant les mots du langage dont une expression r´ eguli` ere est : P = (a + ab)

^∗

c. D´ eterminer a

⁻¹

P , b

⁻¹

P , c

⁻¹

P en d´ eduire que l’automate minimal qui reconnaˆıt L poss` ede au moins 4 ´ etats.

OOOOOO

2