Examen – 2` eme session Dur´ ee : 1 heure 30

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S1 PCST, Option Math 152 Univ. Paris-Sud, Orsay

Bases du raisonnement math´ematique Juin 2016

Examen – 2` eme session Dur´ ee : 1 heure 30

L’´el´ement principal d’appr´eciation des copies est la rigueur logique dans la r´eponse aux ques- tions. Les preuves devront ˆetre fond´ees uniquement sur les d´efinitions et m´ethodes vues en cours ce semestre, et sur des propri´et´es math´ematiques banales (de niveau coll`ege par exemple). L’utilisation de la notion de d´eriv´ee est notamment interdite, ainsi que l’applica- tion de th´eor`emes sur les limites de suites (encadrement, . . . ), sauf dans l’exercice 6.

Exercice 1 - Ecrire la n´egation de chacune des phrases logiques suivantes (aucune justifi- cation n’est demand´ee, et on ne demande pas non plus si ces phrases sont vraies ou fausses) :

(a) ∀x∈R ∃y∈Z ∀z∈N

(x > y) et (z < xy) (b) ∃a∈N ∀b∈N

(a≥b)⇒(2a < b)

Exercice 2 - Pour chacune des phrases logiques suivantes, dire si elle est vraie ou fausse, puis le d´emontrer :

(a) ∀n∈Z

(n= 2)⇒(n² = 4)

(b) ∀n∈Z

(n² = 4)⇒(n= 2) (c) ∀n∈N ∃k∈N k²≥n (d) ∀N ∈N ∃n≥N (−1)ⁿ= 1 (e) ∃N ∈N ∀n≥N ∃k∈N n= 2k+ 1

Exercice 3 - Notonsf :R→ Rla fonction d´efinie parf(x) = x²+ 4x−1. R´epondre aux questions suivantes, en fournissant des preuves qui consistent `a revenir aux d´efinitions. On rappelle que l’utilisation de la d´eriv´ee est interdite.

(a) La fonction f est-elle strictement croissante sur [−1,2] ? (b) La fonction f est-elle strictement croissante sur [−5,−4] ?

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Exercice 4 - Pour x₀ ∈ R, on rappelle que R\ {x₀} est l’ensemble des r´eels x tels que x6=x0; autrement dit, c’est la r´eunion des intervalles ouverts ]− ∞, x₀[ et ]x0,+∞[. On note g:R\ {2} →R\ {−1}la fonction d´efinie parg(x) = ^3−x_x−2.On rappelle que les preuves doivent ˆ

etre fond´ees sur des d´efinitions, et pas sur l’utilisation de th´eor`emes d’analyse portant sur la continuit´e ou la monotonie ´eventuelle de fonctions.

(a) D´emontrer queg est bien d´efinie et bijective ; expliciter la bijection r´eciproque g⁻¹. (b) D´eterminerg(]3,4]). (Indication : on pourra ´ecrireg(x) sous la formeα+_x−2^β avecα, β ∈R

bien choisis)

Exercice 5 - Notons (un)n≥0 la suite d´efinie par un = 3 − _n2¹₊₁. D´emontrer que limn→+∞u_n = 3. On rappelle que l’utilisation de th´eor`emes sur les limites (notamment le th´eor`eme d’encadrement) est interdite : il est demand´e de revenir `a la d´efinition de limite.

Exercice 6 - Soit (un)n≥0 une suite de limite`∈R. D´emontrer que limn→+∞u<sup>2</sup><sub>n</sub>=`².Il est interdit dans cet exercice d’utiliser le th´eor`eme donnant la limite d’un produit ; on pourra en revanche utiliser la propri´et´e vue en cours affirmant que toute suite convergente est born´ee.