Examen 2` eme session de M´ ethodes Quantitatives 2

Univ. Paris VIII, 2018-2019

Examen 2` eme session de M´ ethodes Quantitatives 2

Dur´ee : 2 heures

Les t´el´ephones portables doivent ˆetre ´eteints. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif. Une table de loi statistique est disponible `a la fin de l’´enonc´e.

Exercice 1 - (7 points) Le tableau suivant contient, pour 10 pays d’Am´erique en 2015, le taux d’urbanisationX (qui est le quotient de la population en zone urbaine sur la population totale) et le taux de natalit´eY (qui est le quotient du nombre de naissances sur le nombre de femmes ˆag´ees de 15 `a 49 ans).

Pays Taux d’urbanisationx_i en % Taux de natalit´e y_i en %

Br´esil 86 1,77

Canada 82 1,59

Chili 90 1,82

Cuba 77 1,47

El Salvador 67 1,91

Etats Unis 82 1,87

Guatemala 52 2,90

Ha¨ıti 59 2,69

Mexique 79 2,27

Paraguay 60 1,91

1. Calculerx,y,V(x),V(y) et Cov(x, y).

2. Calculer le coefficient de corr´elationr, et interpr´eter le r´esultat obtenu.

3. (a) En utilisant la m´ethode MCO, calculer les coefficients ˆa et ˆb de la droite de r´egression de Y selonx.

(b) En 2015, le taux d’urbanisation `a Porto Rico ´etait de 94%. Estimer le taux de natalit´e dans ce pays en 2015.

4. Effectuer le test du coefficient de corr´elation lin´eaire de Student au seuil de signification de 5 %.

5. Calculer des intervalles de confiance de ˆaet ˆb au seuil de signification de 5 %.

Exercice 2 - (2,5 points) En int´egrant par parties, calculerRln(2)

0 xe^−xdx.

Exercice 3 - (4 points) Etudier la convexit´e de la fonction d´efinie sur [0,+∞[ par f(x) = ln(1 +x²).

Suite au verso.

1

Exercice 4 - (6,5 pts) Dans cet exercice on posef(x, y) = _1+xy¹ . 1. Pr´eciser l’ensemble de d´efinition de la fonction f.

2. Calculer les d´eriv´ees partielles d’ordre 1 def, c’est-`a-dire ^∂f_∂x et ^∂f_∂y. 3. D´eterminer le(s) point(s) critique(s) ´eventuel(s) def.

4. Calculer les d´eriv´ees partielles d’ordre 2 def, c’est-`a-dire ^∂_∂x^2f2, ^∂_∂y^2f2, _∂x∂y^∂2f et _∂y∂x^∂2f .

Annexe : Table de Student ËB§gsi*+ g§$ gsg"3993$g$§E§$§"s§ FBssBsssÈ $ɧ§g§B§BB 383 B§g$Ëig§ sgsgBg$38**§g§s§sâ§s§§s§*ËËgsF ˧§gs.§§§Ëgâg§g§$s§g§sgsÊnsË$§È s§: F$§Rs:§ss:ft nEËBi3:EsʧËsi§$E §îË s§Ër§*$$Fss§:.:gligË3§Ë§ g:§ 3 3E i 3

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