L.E.G.T.A. Le Chesnoy TB2 − 2011-2012
D. Blotti`ere Math´ematiques
Sujet d’oral blanc n˚4
Les deux exercices forment un sujet complet, pos´e lors de l’oral du concours A-TB 2011.
Exercice 1 : Soient X et Y deux variables al´eatoires r´eelles ind´ependantes, suivant toutes les deux la loi de Bernoulli de param`etre p (p∈]0,1[).
On pose U =X+Y etV =X−Y. 1. Calculer la loi du couple (U, V).
2. D´eterminer le coefficient de corr´elation lin´eaire deU etV. 3. Les variablesU etV sont-elles ind´ependantes ?
Exercice 2 : On note F(R,R) le R-espace vectoriel des fonctions de Rdans R. 1. Montrer que l’ensemble :
C0(R,R) = {f ∈ F(R,R) : f est continue sur R} est un sous-espace vectoriel deF(R,R).
2. SoientG={f ∈ C0(R,R) : f est constante sur R}etH =
f ∈ C0(R,R) : Z 1
0
f(x)dx= 0
. (a) Montrer que Get H sont deux sous-espaces vectoriels deC0(R,R).
(b) Montrer que C0(R,R) =G⊕H.
