Chapitre 4 Quelques rappels sur la polarisation lin´eaire

Quelques rappels sur la polarisation lin´ eaire

Dans ce chapitre nous rappelons bri` evement le formalisme math´ ematique inh´ erent ` a l’´ etude de la polarisation, en se focalisant plus particuli` erement sur le cas de la polarisation lin´ eaire. Nous pr´ esentons ensuite les diff´ erentes sources de polarisation de la lumi` ere en astrophysique. Dans la derni` ere section, nous revoyons la proc´ edure utilis´ ee afin d’obtenir des mesures po- larim´ etriques ` a partir de donn´ ees observationnelles. Nous avons utilis´ e ces techniques afin de r´ eduire des donn´ ees polarim´ etriques que nous avons obte- nues lors d’une mission d’observation au VLT (Chili) en Mai 2008 et effectu´ ee

`

a l’aide de l’instrument FORS1 (PI : D. Hutsem´ ekers). Ces techniques ont

´ egalement ´ et´ e utilis´ ees afin de pr´ eparer et r´ eduire les donn´ ees obtenues lors d’observations men´ ees au VLT au cours du mois d’octobre 2008 suite ` a une autre demande (PI : B. Borguet) soumise au mois d’avril 2008 (voir Cha- pitre 6).

4.1 Polarisation d’une onde et param` etres de Stokes

Consid´ erons une onde ´ electromagn´ etique transversale se propageant selon une direction donn´ ee (ici − → z ). En g´ en´ eral cette onde est d´ ecrite par l’oscilla- tion de son champ ´ electrique ( − →

E ) dans le plan perpendiculaire ` a la direction de propagation. On d´ ecompose ainsi le champ ´ electrique en :

−

→ E = E

cos(ωt − 2πz

λ + δ

) − → e

+ E

cos(ωt − 2πz

λ + δ

) − → e

(4.1)

47

Fig. 4.1 – Ces deux figures repr´ esentent un ´ etat de polarisation donn´ e. La

repr´ esentation de gauche correspond ` a un faisceau polaris´ e lin´ eairement et celle

de droite ` a un faisceau polaris´ e circulairement. On parle de polarisation elliptique

lorsqu’il y a une composition de ces deux ´ etats de polarisation.

o` u t est le temps, ω la pulsation, λ la longueur d’onde et δ

et δ

les phases ` a l’origine. On dira ainsi que le champ − →

E a une polarisation lin´ eaire s’il d´ ecrit une droite dans le plan x-y, circulaire s’il d´ ecrit un cercle, et plus g´ en´ eralement elliptique dans le cas d’une composition des deux cas pr´ ec´ edents (Fig. 4.1).

L’´ etat de polarisation d’un faisceau lumineux donn´ e pet ˆ etre exprim´ e sous la forme d’un vecteur de Stokes :











I Q U V











=











E

+ E

E

− E

2 E

E

cos(δ

− δ

) 2 E

E

sin(δ

− δ

)











.

Le premier param` etre de Stokes I repr´ esente l’intensit´ e totale de l’onde, les second et troisi` eme param` etres (Q et U ) caract´ erisent sa polarisation lin´ eaire et le dernier param` etre V sa polarisation circulaire. Etant donn´ e que nous nous int´ eressons uniquement ` a la polarisation lin´ eaire, nous supposerons dans la suite que V = 0. Notons ´ egalement qu’on normalise g´ en´ eralement ces param` etres au cas d’une intensit´ e unitaire re¸cue, on d´ efinit ainsi les quantit´ es suivantes :

q = Q/I

u = U/I

`

a partir desquels on peut facilement exprimer des quantit´ es au sens plus physique telles que le degr´ e de polarisation lin´ eaire :

P = (q

+ u

)

(4.2)

et l’angle de polarisation (orientation de l’´ elongation maximale du vecteur

´ electrique − →

E dans le plan perpendiculaire ` a la direction de propagation (Fig. 4.1)) :

θ

= 1

2 arctan u q

!

. (4.3)

4.2 Origine de la polarisation en astrophy- sique

Plusieurs m´ ecanismes peuvent ˆ etre ` a l’origine de la polarisation observ´ ee dans les AGNs. Habituellement on distingue la polarisation intrins` eque, pro- duite lors du processus d’´ emission du photon, de la polarisation extrins` eque produite par diffusion des photons dans des milieux particuliers. En astro- physique, on consid` ere ainsi trois grandes sources de polarisation (e.a. Lamy [1995], Zakamska et al. [2005]) : une intrins` eque, la radiation synchrotron et deux extrins` eques, l’absorption s´ elective par des poussi` eres align´ ees dans un champ magn´ etique et la r´ eflexion (diffusion) sur un “miroir” d’´ electrons ou de poussi` eres. Chacun de ces m´ ecanismes produit une polarisation poss´ edant des caract´ eristiques d´ etermin´ ees (d´ ependance en longueur d’onde, angle et degr´ e de polarisation, etc.). Dans les paragraphes suivants, nous discutons succinctement ces trois m´ ecanismes et pr´ esentons les caract´ eristiques pola- rim´ etriques g´ en´ erales de la lumi` ere qu’ils produisent.

4.2.1 Radiation synchrotron

Les lois de l’´ electromagn´ etisme nous apprennent que toute particule char- g´ ee plac´ ee dans un champ magn´ etique − →

B (consid´ erons-le uniforme dans un premier temps) subit une force de Lorentz lui communiquant un mouvement h´ elico¨ıdal autour des lignes de champ. Or une particule charg´ ee subissant des acc´ el´ erations ´ emet un rayonnement ´ electromagn´ etique, dit “synchrotron”

dans le cas de particules se d´ epla¸cant ` a des vitesses relativistes. L’efficacit´ e de ce processus d’´ emission, inversement proportionnel ` a la masse de la particule consid´ er´ ee, est plus ´ elev´ ee pour les particules les moins massives, comme les

´ electrons, qui vont dominer l’´ emission synchrotron. Le rayonnement synchro-

tron est donc d’origine non thermique, tr` es intense dans le domaine radio,

Fig. 4.2 – Une particule charg´ ee plac´ ee dans un champ magn´ etique − → B (ici

consid´ er´ e uniforme) va subir une force de Lorentz l’obligeant ` a suivre une tra-

jectoire h´ elico¨ıdale le long des lignes de champs. La particule ainsi acc´ el´ er´ ee va

´ emettre une radiation ´ electromagn´ etique qui ne prendra une valeur significative

dans le rep` ere d’un observateur au repos que dans un tr` es fin cˆ one d’ouverture

p (1 − v

/c

) le long de la vitesse instantan´ ee de la particule. L’´ emission produite,

fortement directionnelle (“beaming”), est ` a l’origine, lorsque l’on consid` ere un en-

semble d’´ electrons, de la variabilit´ e de la luminosit´ e et de la haute polarisation

observ´ ee dans les blazars.

mais peut ´ egalement ˆ etre observ´ e jusque dans le domaine optique pour cer- tains AGNs.

La radiation ´ emise est, au vu de la sym´ etrie du processus d’´ emission, pola- ris´ ee elliptiquement, la polarisation maximale ´ etant perpendiculaire ` a la pro- jection du champ magn´ etique sur le plan du ciel. La seconde caract´ eristique de ce rayonnement est que la polarisation produite est ind´ ependante de la fr´ equence et peut ˆ etre, du moins en th´ eorie, particuli` erement ´ elev´ ee (de l’ordre de 70 %).

Ce m´ ecanisme de polarisation ne constitue probablement pas, au vu de ses propri´ et´ es particuli` eres, la source de polarisation principale dans la plupart des quasars, o` u la faible polarisation mesur´ ee ne montre g´ en´ eralement pas de variabilit´ e excessive (` a l’exception des blazars, Urry & Padovani [1995]).

De plus, les ´ etudes spectropolarim´ etriques montrent que les raies larges et

´ etroites en ´ emission sont g´ en´ eralement polaris´ ees, ce qui n’est pas expliqu´ e

par ce type de m´ ecanisme o` u seul le continuum est affect´ e. Notons finalement

que ce processus conduirait ` a l’observation d’une polarisation nulle dans le

cas des AGNs de Type 2, les r´ egions centrales ´ emettant le continuum ´ etant

masqu´ ees par le tore de poussi` ere (Zakamska et al. [2005]).

Fig. 4.3 – La poussi` ere interstellaire, quand elle est align´ ee par un champ

magn´ etique galactique − →

B

, peut ˆ etre une source de polarisation. L’onde inci-

dente (ici d´ ej` a polaris´ ee lin´ eairement ` a 45

) va subir une extinction s´ elective en

traversant ce milieu, de sorte que la composante perpendiculaire aux poussi` eres,

moins affect´ ee, dominera ` a la sortie du nuage de poussi` eres.

4.2.2 Extinction par des poussi` eres align´ ees

La poussi` ere interstellaire pr´ esente dans les galaxies peut ˆ etre une source de polarisation. En effet lorsque la lumi` ere traverse un milieu contenant des poussi` eres, celle-ci va ˆ etre att´ enu´ ee par deux processus : l’absorption – le photon est absorb´ e par la particule qui accroˆıt son ´ energie interne – et la diffusion – la particule absorbe le photon et en r´ e´ emet un dans une direc- tion diff´ erente. Nous discutons ici le cas d’un faisceau de lumi` ere dirig´ e vers l’observateur. Dans ce cas, il peut y avoir polarisation (partielle) du fais- ceau incident par “dichro¨ısme lin´ eaire”, c’est-` a-dire une extinction s´ elective r´ esultant de la pr´ esence de grains de poussi` eres dissym´ etriques align´ es

par le champ magn´ etique galactique − →

B

.

En effet, consid´ erons un ensemble de grains allong´ es de forme cylindrique, orient´ es de la mˆ eme fa¸con, avec leur grand axe perpendiculaire ` a la direction de propagation du faisceau lumineux (cf. Fig. 4.3). On peut alors d´ efinir les coefficients d’extinction A

et A

correspondant au cas o` u le vecteur

´ electrique ( − →

E ) est respectivement parall` ele ou perpendiculaire au grand axe des grains. On a bien sˆ ur A

≥ A

. Ainsi, l’extinction ´ etant plus forte dans

1

Les grains de poussi` eres contenus dans le milieu interstellaire sont en partie compos´ es de mat´ eriaux paramagn´ etiques, qui, une fois plong´ es dans le champ magn´ etique de la Galaxie − →

B

, ont tendance ` a placer leur grand axe perpendiculaire ` a ce dernier (e.a.

Davis & Greenstein [1951]).

la direction parall` ele ` a la direction d’alignement des grains, on obtiendra une polarisation r´ esultante perpendiculaire ` a la direction d´ efinie par l’alignement des grains et donc parall` ele aux lignes de champ magn´ etique.

Le degr´ e de polarisation produit par ce m´ ecanisme a ´ et´ e ´ etudi´ e empiri- quement dans notre galaxie et d´ epend de la quantit´ e de poussi` ere pr´ esente et donc du rougissement E(B − V ) : P (en %) ≤ 9 E(B − V ) (Serkowski et al.

[1975]). L’´ etude de cette polarisation sur un domaine spectral s’´ etendant du visible au proche infrarouge dans notre propre galaxie indique une d´ ependan- ce spectrale du degr´ e de polarisation pr´ esentant un pic dissym´ etrique dans le visible (Serkowski et al. [1975]). Par contre la polarisation produite par di- chro¨ısme poss` ede un angle de polarisation ind´ ependant de la longueur d’onde et directement li´ e ` a l’orientation des grains (cf. ci-dessus) Finalement, la pro- duction d’un degr´ e de polarisation de quelques pourcent demande de fortes valeurs de l’extinction, ce qui permet de rejeter ce processus pour les qua- sars poss´ edant un continuum bleu fortement polaris´ e comme les blazars (e.a.

Januzzi et al. [1994]).

F ig. 4.4 – G ´eom ´etri e d u m ´e canisme d e d iff u si on p ar un ´e lectron ou un e p ouss i`e re . A : u ne ond e p olari s´ee v erti c aleme n t (b le u e ) ou hori z on tale men t (rou ge ) es t ´em is e e n 1. C ette derni `e re in teragi t a v ec u n ´ele ctron plac ´e en 2. S ous l’in flu e n c e de l’on de, c e dern ier se m et `a os cill e r v e rticale men t ou h orizon talem en t, les ond e s ´em ises par c e d e rnier ´etan t ´e gal e me n t p olaris ´ee s hor izon talem en t ou v erti c aleme n t. Ce s on des p euv en t ˆe tr e d ´ete ct ´e es en d iff ´e re n ts end roits selon le u r ´etat de p olarisation . B : La lumi `ere ´e mise c ette foi s e n p os it ion 1 es t non p o laris ´e e. La lu m i`ere p er¸ c u e dan s le s p lans 5 e t 6 es t p ol aris ´e e `a 100 % p e rp end ic u lair e me n t au p lan d e diffu sion . Ainsi si l’ on c on sid `e re un e r´egion ´ete n du e c on te n an t des ´e le ctron s e t d e s p ouss i`e re s et se situ an t d e par t e t d ’autr e d ’un e sour c e lumin e u se non p olari s´ee , la dir e ction d e p olari sation r´es u ltan t d e l’ e n sem bl e d e s di ff u si ons, p ro je t´e e sur le p lan du ciel et p our u n obse rv ateur d onn ´e , sera pr ´ef ´eren tielleme n t p e rp end ic u lair e `a la dir e ction de l’extension des r´egion s diffu san tes.

4.2.3 Diffusion par des ´ electrons ou des poussi` eres :

La diffusion de lumi` ere initialement non polaris´ ee par une zone de pous- si` eres ou d’´ electrons libres peut ´ egalement constituer une source de polarisa- tion lin´ eaire. Le degr´ e de polarisation produit par diffusion de Rayleigh est reli´ e ` a l’angle de diffusion Ξ (angle entre le faisceau incident et le faisceau diffus´ e) :

P = 1 − cos Ξ

1 + cos Ξ

(4.4)

et vaut donc 100 % dans la direction perpendiculaire ` a la direction incidente (voir Lamy [1995] et r´ ef´ erences cit´ ees).

Dans ce cas, la polarisation produite poss` ede un angle de polarisation perpendiculaire ` a la derni` ere direction de propagation du photon avant dif- fusion. Ainsi si l’on consid` ere une zone de diffusion compos´ ee de particules se situant de part et d’autre du disque d’accr´ etion sous forme de cˆ ones, la polarisation r´ esultante sera perpendiculaire ` a l’axe de sym´ etrie du syst` eme diffusant (voir Fig. 4.4). Ce m´ ecanisme de polarisation est ` a la base d’un ar- gument fondamental en faveur du mod` ele d’unification des AGN (Antonucci

& Miller [1985] voir Fig. 4.5).

La diffusion peut ˆ etre produite par des ´ electrons libres ou de la poussi` ere (ou les deux en mˆ eme temps). Cependant, ces deux types de particules donnent lieu ` a des propri´ et´ es spectropolarim´ etriques diff´ erentes. En effet, la diffusion par des ´ electrons produit un degr´ e de polarisation ind´ ependant de la longueur d’onde. Dans le cas de la diffusion par des poussi` eres, le degr´ e de po- larisation produit d´ epend de la longueur d’onde et peut ˆ etre fortement affect´ e par la composition des poussi` eres, ou par la g´ eom´ etrie de la zone diffusante (Zakamska et al. [2005]). Notons finalement que le degr´ e de polarisation pro- duit par un syst` eme diffusant de sym´ etrie sph´ erique est identiquement nul.

La polarisation nous fournit ainsi une indication de la g´ eom´ etrie de la r´ egion

dont elle est issue.

F ig. 4.5 – Ce tt e fi gure sc h ´ematis e la troisi `e me sou rce d e p olar is ati on d ´e crite dan s le te xte. Les phot ons pro v enan t des r´egion s c en tr ale s v on t ˆe tr e di ff u s´es (et donc p ol aris ´e s) e n d irec tion de l’observ ate u r par le s p articul e s c on ten u e s d ans le s r´e gi ons di ff u san te s (´elec tr ons et/ou p ou ssi `eres ) pr ´e se n te s d e par t et d ’aut re du tor e de p oussi `e re . Alor s que le flu x d irec teme n t observ ´e pr o vien t es se n tie lle men t d e la r´egion ´e tend ue se situ an t d e part e t d’au tre du tor e (l a NLR), la c omp os an te p olar is ´ee c on tie n t l’i nf ormation sur l’ ´e miss ion situ ´e e dan s les r´egions in tern e s (la B LR), la r´egion d iffusan te agi ssan t c omme un p ´erisc op e . Ce pr o ce ss u s p e rmit `a An ton u c ci & Mill e r [1985] d e r´ev ´ele r la n ature in tr ins `e q ue d e s gal axies de S e y fert de T yp e 2.

4.3 Mesure de la polarisation lin´ eaire

Nous pr´ esentons ici une technique couramment utilis´ ee en vue d’´ evaluer la polarisation lin´ eaire des sources astronomiques (e.a. Sluse et al. [2005]).

Cette technique consiste en la mesure de flux ` a partir de couples d’images po- laris´ ees perpendiculairement. De tels couples d’images peuvent ˆ etre obtenus ` a l’aide de cristaux bir´ efringents comme le prisme de Wollaston. Ce dernier est constitu´ e de deux prismes de calcite accol´ es de sorte que leurs axes optiques soient orthogonaux (cf. Fig. 4.6). A partir d’un faisceau incident non pola- ris´ e, ce dispositif produit deux faisceaux angulairement s´ epar´ es et polaris´ es orthogonalement l’un par rapport ` a l’autre. Afin d’´ eviter une superposition d’images due ` a la s´ eparation angulaire engendr´ ee par le prisme de Wollas- ton dans des champs trop peupl´ es, on ajoute ´ egalement dans le plan focal un masque constitu´ e de bandes transparentes altern´ ees avec des bandes opaques.

Ainsi l’image fournie par ce dispositif consiste en une s´ erie de bandes de ciel polaris´ ees orthogonalement deux ` a deux (cf. image de droite de la Fig. 4.6).

Une telle image permet de mesurer un des param` etres de Stokes caract´ eri- sant la polarisation lin´ eaire (q ou u). Afin de d´ eterminer les deux param` etres de Stokes q et u, il faut au moins observer l’objet pour deux orientations diff´ erentes du prisme de Wollaston. En pratique, une lame demi-onde est ins´ er´ ee dans le trajet optique et quatre observations sont r´ ealis´ ees en orientant successivement la lame demi-onde ` a 0

, 22.5

, 45

et 67.5

. Cette proc´ edure permet de s’affranchir de la polarisation instrumentale mais aussi des distor- sions g´ eom´ etriques introduites dans le chemin optique par la lame demi-onde (Lamy & Hutsem´ ekers [1999]).

On peut ainsi d´ eterminer les deux param` etres de Stokes q et u ` a partir de la mesure des flux contenus dans chacune des images polaris´ ees, en utilisant les formules suivantes :

q = R

− 1

R

+ 1 , avec R

= N

/N

N

/N

(4.5) u = R

− 1

R

+ 1 , avec R

= N

/N

N

/N

(4.6)

o` u N

et N

d´ esignent respectivement les intensit´ es int´ egr´ ees dans les images

inf´ erieures ou sup´ erieures de chaque objet, α repr´ esentant l’orientation de la

lame demi-onde. Vu le faible degr´ e de polarisation des objets, une estimation

pr´ ecise des intensit´ es contenues dans chaque image polaris´ ee est n´ ecessaire.

F ig. 4.6 – La fi gur e d e gauc h e pr ´ese n te le sc h ´e ma d u d isp ositif qu e nous a v ons u tili s´e afin d e d ´e termin e r la p olar is ati on lin ´eaire lor s d’ obse rv ation s astron om iques . Le disp ositif se c omp ose d ’un m asque ´e vi tan t le re couvr e men t d’images angu lair e me n t pr o ch e s sur le d ´ete cte u r, d’u ne lame d e mi-ond e don t l’ori e n tati on p eut ˆetre mo di fi ´ee , et d ’un pr ism e de W ollaston p erme ttan t de s´eparer angul airem en t un fai sce au d e lumi `ere in c id e n t en d e u x faisc eaux p olaris ´e s or thogon ale men t. L’image de dr oite (Lam y & Hutse m ´ek e rs [1 999] ) mon tre l’e x e mple d ’un e image ob ten ue `a l’aid e d e c e typ e de d is p ositif (EF O SC2 sur le t´ele sc op e de 3 . 6 m `a l’ob serv atoire de La Si lla). Chaqu e ob jet du champ p oss `e d e deux image s p ol aris ´e es orth ogonal e me n t.

Erreur sur les param` etres d´ etermin´ es

Nous venons de montrer comment la mesure de quatre flux correspon- dant ` a deux orientations d’une lame demi-onde permet de d´ eterminer un param` etre de Stokes. La d´ etermination des deux param` etres q et u demande donc une mesure pr´ ecise des huit flux contenus dans les images polaris´ ees. A partir de ce constat et des d´ efinitions ´ enonc´ ees dans la Sect. 4, nous pouvons estimer les incertitudes σ

et σ

entachant le degr´ e de polarisation P et l’angle de polarisation θ

. En consid´ erant le bruit de photons dans l’objet et dans le ciel, et en propageant ces erreurs dans les relations (4.6) et (4.5), nous d´ etrminons les erreus σ

et σ

affectant les param` etres u et q.

On peut alors d´ eterminer l’incertitude sur le degr´ e et l’angle de polari- sation (d´ efinis en (4.2) et (4.3)). Ce probl` eme fut notamment investigu´ e par Serkowski [1962] qui fournit une estimation simple des erreurs σ

et σ

lorsqu’une polarisation significative est d´ etect´ ee (i.e. P > σ

). Il montre que les erreurs σ

et σ

peuvent ˆ etre exprim´ ees comme suit :

σ

= (q

σ

+ u

σ

)

P (4.7)

σ

= (q

σ

+ u

σ

)

2P

. (4.8)

Vu le faible degr´ e de polarisation des sources ´ etudi´ ees, on peut faire l’ap- proximation que σ

' σ

. On obtient ainsi de l’Eq. (4.7) que σ

' σ

' σ

. On peut d` es lors simplifier l’Eq. (4.8) en :

σ

= σ

2P (en radians) = 28.65 σ

P (en degr´ es). (4.9) Ainsi un objet poss´ edant un degr´ e de polarisation P = 0.4% pourra ˆ etre observ´ e avec P/σ

= 2 (correspondant ` a σ

∼ 14

), si σ

= σ

= σ

∼ 0.2%. Enfin il faut garder ` a l’esprit que bien que les erreurs sur q et u soient distribu´ es selon une loi normale lorsque le nombre de photons r´ ecolt´ es est suffisant, il n’en est pas de mˆ eme pour l’erreur sur P qui, ´ etant donn´ e sa d´ efinition, est biais´ e pour les observations ` a faible S/N (e.g. Simmons &

Stewart [1985]).