on consid` ere les formes lin´ eaires : f

(1)

feuille 3-ter, formes lin´ eaires et dualit´ e

Exercice 1. Dans R

³

on consid` ere les formes lin´ eaires : f

1

(X ) = x + y − z, f

2

(X ) = x − y + z, f

3

(X ) = x + y + z.

1– Montrer que (f

1

, f

2

, f

3

) est une base de ( R

³

)

^∗

. 2– Trouver la base duale.

Exercice 2. Dans R

³

on consid` ere les formes lin´ eaires : f

1

(X ) = x+ 2y + 3z, f

2

(X ) = 2x + 3y + 4z, f

3

= 3x + 4y + 6z.

1– Montrer que (f

1

, f

2

, f

3

) est une base de ( R

³

)

^∗

. 2– Trouver la base duale.

Exercice 3. Pour x = (x

1

, x

2

, . . . , x

n

) ∈ R

ⁿ

on pose f

i

(x) = x

i

+ x

i+1

et f

n

(x) = x

n

+ x

1

. D´ eterminer si F = (f

1

, . . . , f

n

) est une base de ( R

ⁿ

)

^∗

et le cas

´ ech´ eant, d´ eterminer la base duale.

Exercice 4. Soit E = R

ⁿ

[X]. Montrer que la famille F = (f

0

, . . . , f

n

) est une base de E

^∗

et donner la base duale lorsque

1– f

i

(P ) = P (x

i

) o` u x

0

, . . . , , x

n

sont des scalaires distincts.

2– f

i

(P ) = P

⁽ⁱ⁾

(0) .

3– f

i

(P ) = P

⁽ⁱ⁾

(x

i

) o` u x

0

, . . . , , x

n

sont des scalaires quelconques. Ne pas chercher la base duale pour cet exemple.

Exercice 5. Soit E = R

²ⁿ⁻¹

[X], et x

1

, . . . , x

n

∈ R distincts. On note : φ

i

: P 7→ P(x

i

)

ψ

_i

: P 7→ P

⁰

(x

_i

)

1– Montrer que (φ

₁

, . . . , φ

_n

, ψ

₁

, . . . , ψ

_n

) est une base de E

^∗

. 2– Chercher la base duale. On notera P

i

= Q

j6=i

X − x

j

x

i

− x

j

et d

i

= P

_i⁰

(x

i

).

Exercice 6. Soit E = R

3

[X]. On consid` ere les formes lin´ eaires :

f

i

: P 7→

Z

1

t=−1

t

ⁱ

P (t) dt.

1– Montrer que (f

0

, f

1

, f

2

, f

3

) est une base de E

^∗

. 2– Trouver la base duale.

Exercice 7. Soit E = R [X] et a, b, c distincts. On consid` ere les formes lin´ eaires sur E :

f

a

: P 7→ P(a), f

b

: P 7→ P (b), f

c

: P 7→ P (c), φ : P 7→

Z

b

t=a

P (t) t.

1

(2)

´ etudier la libert´ e de (f

a

, f

b

, f

c

, φ).

Exercice 8. Soit E = R

ⁿ

[X]. On note P

0

= 1 et pour i > 1 : P

i

= X(X − 1) . . . (X − i + 1) et f

i

: P 7→ P (i).

1– Montrer que P = (P

0

, . . . , , P

n

) est une base de E de base duale P

₀^∗

, . . . , P

_n^∗

et F = (f

0

, . . . , , f

n

) est une base de E

^∗

.

2– D´ ecomposer la forme lin´ eaire P

_n^∗

dans la base P. On pourra utiliser les polynˆ omes : Q

i

= Q

j6i,16j6n

(X − j).

3– D´ ecomposer de mˆ eme les autres formes lin´ eaires P

_k^∗

.

Exercice 9. Soit E = R

ⁿ

[X] et a, b distincts. On pose P

k

= (X − a)

^k

(X − b)

^n−k

.

1– Montrer que (P

0

, . . . , , P

n

) est une base de E.

2– On suppose n = 2, et on prend comme base de E

^∗

: F = (f

a

, f

c

, f

b

) o` u f

_x

(P ) = P (x) et c = a + b

2 . Exprimer les formes lin´ eaires (P

₁^∗

, P

₂^∗

, P

₃^∗

) dans E

^∗

.

Exercice 10. Soient f

1

, . . . , f

n

des formes lin´ eaires sur R

ⁿ

.

On suppose qu’il existe x ∈ R

ⁿ

\ {0} tel que f

1

(x) = . . . = f

n

(x) = 0. Montrer que (f

1

, . . . , f

n

) est li´ ee.

Exercice 11. Soit E = R

ⁿ

[X]. On consid` ere les formes lin´ eaires : f

i

: P 7→

P

⁰

(i). Montrer que (f

0

, . . . , , f

n

) est li´ ee.

Exercice 12. Soit E = R

n

[X ].

1– Soit φ ∈ E

^∗

telle que : ∀P ∈ R

n−1

[X ], φ((X − a)P ) = 0.

Montrer qu’il existe λ ∈ R tel que : ∀P ∈ E, φ(P) = λP (a).

2– Soit φ ∈ E

^∗

telle que : ∀P ∈ R

n−2

[X ], φ((X − a)

²

P) = 0.

Montrer qu’il existe λ, µ ∈ R tels que : ∀P ∈ E, φ(P ) = λP (a) + µP

⁰

(a).

Exercice 12. Montrer l’existence et l’unicit´ e d’une forme lin´ eaire φ sur R

n

[X] telle que : φ(1) = 0, φ(X) = 1 et φ(P ) = 0 pour tout polynˆ ome P ∈ R

n

[X]

tel que P (0) = P(1) = 0.

2