L3 Mapes 2007-2008 Module alg`ebre et g´eom´etrie.
Exercice ` a r´ ediger 1 : formes lin´ eaires et produit scalaire.
SoitE un R-espace vectoriel de dimensionn.
1.Donner la dimension de l’espace des formes lin´eaires surE.
2.Soit (e1, . . . , en) une base de E. Montrer que pour chaquei= 1, . . . , n, il existe une forme lin´eaire φi telle que pour tout j = 1, . . . , n,φi(ej) =δij (δij est le symbole de Kronecker et vaut 1 sii=j, 0 sinon). Montrer que la familleφi est libre dans l’espace des formes lin´eaires. En d´eduire que c’est une base de cet espace.
3.Montrer que si un vecteur x ∈ E est tel que pour toute forme lin´eaire φ, φ(x) = 0, alors x est le vecteur nul.
4.En d´eduire que pourψ1, . . . , ψn des formes lin´eaires lin´eairement ind´ependantes, la formule :
< x, y >=
Xn
i=1
ψi(x)ψi(y)
d´efinit un prouit scalaire surE.
5.Est-ce toujours vrai si on prend seulement une famille libre de formes lin´eaires comptant moins de n´el´ements ? En cas de r´eponse n´egative, on fournira un contre-exemple.
6.Montrer que si Pri=1ψi(x)ψi(y) d´efinit un produit scalaire entre x ety, alors la famille de formes lin´eaires (ψ1, . . . , ψr) engendre l’espace des formes lin´eaires. On pourra montrer que l’intersection des noyaux den−1 formes lin´eaires est de dimension≥1.
