Universit´e Paris XII Licence ´Economie-Gestion
Math´ematiques Tronc commun, semestre 3
1. Syst`emes lin´eaires
Exercice 1 — R´esoudre les syst`emes lin´eaires suivants (m´ethode au choix).
(a)
15x1+ 20x2+ 10x3 = 0 4x1+x3 = 0 (b)
x1+x2−x3+ 2x4 = 0 2x1+ 2x2−2x3+ 4x4 = 6
−3x1−3x2+ 3x3−6x4 = −9
−2x1−2x2+ 2x3−4x4 = −6
(c)
x1−x2+ 3x3−x4 = 0 3x1+ 7x2+x3+x4 = 6 3x1+ 2x2+ 5x3−x4 = 3
(d)
x1+ 6x2+x3+ 4x4 = 9 2x1+ 12x2+ 2x3+ 2x4 = 3
−x1−6x2+ 5x3+x4 = 4
(e)
x+y+ 2z = 1 x+ 2y+z = 0 3x+ 4y+ 5z = a 2y+ 3z = 2 2x+ 5y+ 6z = b
Exercice2 — D´eterminer, suivant les valeurs du param`etre r´eelm, le nombre de solutions du syst`eme suivant.
mx+y+t = m+ 1 x+my+z = m−1 y+mz+t = m+ 1 x+z+mt = m−1
Exercice 3 — Les matrices suivantes sont les matrices des coefficients de syst`emes d’´equations lin´eaires. Que pouvez-vous dire, dans chaque cas, du nombre de solutions
(1) si le syst`eme est homog`ene (c.`a.d. si le second membre est nul) ? (2) si le second membre est quelconque ?
1 4 3 2 1 0
2 1 1 4 0 3
1 4 3 2 1 0 1 1 1
1 4 3 2 1 0 0 7 6
Exercice 4 — On consid`ere la matrice A˜=
−2 −3 4 1
1 2 −1 1
1 1 −3 α
o`u α est un nombre r´eel.
(1) ´Ecrire le syst`eme lin´eaire (S) en les inconnuesx,y,z dont ˜A est la matrice augment´ee.
(2) Donner la matrice A des coefficients de (S).
(3) Calculer, en fonction de α, les rangs de A et de ˜A. En d´eduire le nombre de solutions du syst`eme (S).
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Exercice 5 — Une entreprise s’est engag´ee `a verser net d’impˆots 5% de son b´en´efice `a une œuvre de bienfaisance. Elle doit payer un impˆot local ´egal `a 5% de son b´en´efice (apr`es donation aux œuvres de bienfaisance) et un impˆot national ´egal `a 25% de son b´en´efice (apr`es donation et impˆot local).
Quels sont les montants de l’impˆot local, de l’impˆot national et de la donation si : (1) l’entreprise fait un b´en´efice avant impˆots et donation de 100000 euros ? (2) l’entreprise fait un b´en´efice apr`es impˆots et donation de 100000 euros ?
Exercice 6 — J’ai le double de l’ˆage que vous aviez quand j’avais l’ˆage que vous avez. Quand vous aurez l’ˆage que j’ai, nous aurons ensemble 63 ans. Quels sont nos ˆages respectifs ?
Exercice 7 — On dispose de trois fruits contenant respectivement, par unit´e : Vitamine A Vitamine B Vitamine C
Citrasperge 1 3 4
Artifraise 2 3 5
Pamplericot 3 0 3
Quelles quantit´es de chaque fruit doit-on utiliser afin d’obtenir (1) 11 unit´es de vitamine A, 9 de vitamine B, 20 de vitamine C ? (2) 11 unit´es de vitamine A, 9 de vitamine B, 14 de vitamine C ?
Exercice 8 — On consid`ere un march´e `a trois biens B1, B2 etB3. Pour chaque bienBi, on note pi
son prix unitaire, Di sa demande etOi son offre. On suppose qu’on a
D1 = 2−p1+p2+p3
D2 = 10 +p1−2p2+p3 D3 = 5 +p1+p2−p3,
O1 = −2 +p1
O2 = −2 +p2 O3 = −3 + 2p3.
Existe-t-il des valeurs dep1,p2 etp3 qui r´ealisent l’´equilibre, c’est-`a-dire Di =Oi pour touti?
Exercice 9 — Pierre et Marie ach`etent deux boˆıtes identiques contenant des feuilles de papier et des enveloppes. Pierre n’´ecrit que des lettres d’une feuille. Marie ´ecrit toujours des lettres de trois feuilles.
Quand Pierre a ´epuis´e les enveloppes, il lui reste 50 feuilles. Quand Marie a ´epuis´e les feuilles, il lui reste 50 enveloppes.
Donner la composition de la boˆıte.
Exercice 10 — Vous payez 10 euros de chocolats avec un billet de 100 F. Le caissier vous rend la monnaie avec des pi`eces de 1 euro, 10 centimes d’euro et 2 centimes d’euro. Il y a au total 13 pi`eces.
Combien de pi`eces de chaque sorte pouvez-vous avoir re¸cu ? Rappel : 100 F = 15,24 euros.
