Syst` emes lin´ eaires
1 G´ en´ eralit´ es sur les syst` emes d’´ equations lin´ eaires 2 1.1 d´ efinitions et premi` eres propri´ et´ es . . . . 2 1.2 Ecriture matricielle du syst` ´ eme . . . . 3 1.3 Op´ erations ´ el´ ementaires sur les lignes d’un syst` eme
ou d’une matrice . . . . 4 2 Echelonnement et algorithme du pivot de Gauss-
Jordan 5
2.1 Matrices et syst` emes ´ echelonn´ es par lignes . . . . . 5 2.2 Algorithme de Gauss-Jordan . . . . 6 3 R´ esolution d’un syst` eme lin´ eaire 8
Mathieu Mansuy - Professeur de Math´ ematiques en sup´ erieures PCSI au Lyc´ ee Saint Louis (Paris)
mansuy.mathieu@hotmail.fr
1 G´ en´ eralit´ es sur les syst` emes d’´ equations lin´ eaires
1.1 d´ efinitions et premi` eres propri´ et´ es
Dans ce chapitre, K d´ esigne l’un des ensembles R ou C , n et p sont deux ´ el´ ements de N ∗ . D´ efinition.
On appelle ´ equation lin´ eaire ` a p inconnues une ´ equation de la forme a 1 x 1 + a 2 x 2 + · · · + a p x p = b, d’inconnue (x 1 , x 2 , . . . , x p ) ∈ K p et o` u (a 1 , a 2 , . . . , a p , b) ∈ K p+1 .
On appelle syst` eme lin´ eaire ` a n ´ equations et p inconnues un syst` eme de la forme :
(S)
a 1,1 x 1 + · · · + a 1,p x p = b 1 a 2,1 x 1 + · · · + a 2,p x p = b 2
.. .
a n,1 x 1 + · · · + a n,p x p = b n
Pour i ∈ [|1, n|], j ∈ [|1, p|], les x j ∈ K sont les inconnues du syst` eme, les a i,j sont les coefficients du syst` eme, et les b i forment le second membre du syst` eme.
Lorsque les b i sont tous nuls, on dit que le syst` eme (S) est homog` ene. Dans le cas g´ en´ eral, on appelle syst` eme homog` ene associ´ e ` a (S) le syst` eme (S 0 ) obtenu en rempla¸ cant le second membre (b 1 , . . . , b n ) par des (0, . . . , 0).
D´ efinition.
Soit (S) un syst` eme de n ´ equations lin´ eaires ` a p inconnues. On appelle solution du syst` eme (S) tout p-uplet (x 1 , . . . , x p ) ∈ K p tel que les n ´ equations de (S) soient v´ erifi´ ees.
Un syst` eme dont l’ensemble des solutions est vide est dit incompatible. Il est dit compatible sinon.
Interpr´ etation g´ eom´ etrique.
Dans le plan, les droites affines D sont les ensembles dont une ´ equation cart´ esienne est de la forme ((a, b) 6= 0) :
ax + by = c.
On retiendra qu’un vecteur directeur de la droite D est ~ u = −b
a
, et qu’un vecteur normal de la droite D est ~ n =
a b
.
Dans l’espace, les plans affines P sont les ensembles dont une ´ equation cart´ esienne est de la forme ((a, b, c) 6= 0) :
ax + by + cz = d.
On retiendra qu’un vecteur normal au plan P est ~ n =
a b c
.
Un syst` eme lin´ eaire de deux ´ equations ` a trois inconnues
ax + by + cz = d
a 0 x + b 0 y + c 0 z = d 0 (avec (a, b, c), (a 0 , b 0 , c 0 ) 6=
0) peut s’interpr´ eter g´ eom´ etriquement comme l’intersection de deux plans P et P 0 dans l’espace. L’ensemble
des solutions de ce syst` eme est alors soit vide (si les deux plans sont parall` eles non confondus), soit une
droite (si P et P 0 sont non parall` eles non confondus), soit un plan (si P et P 0 sont confondus). Le syst` eme
est donc incompatible dans le premier cas, compatible dans les deux cas suivants.
Soit (S) un syst` eme homog` ene de n ´ equations ` a p inconnues. Notons E l’ensemble de ses solutions.
On a :
(1) (0, . . . , 0) appartient ` a E.
(2) ∀x = (x 1 , . . . , x p ) ∈ E, ∀y = (y 1 , . . . , y p ) ∈ E, x + y = (x 1 + y 1 , . . . , x p + y p ) ∈ E.
(3) ∀x = (x 1 , . . . , x p ) ∈ E, ∀λ ∈ K , λ · x = (λx 1 , . . . , λx p ) ∈ E.
Propri´ et´ e 1 (Structure des solutions d’un syst` eme homog` ene)
Preuve.
(1) Pour tout i ∈ [|1, n|], on a a i,1 0 + · · · + a i,n 0 = 0, donc (0, . . . , 0) est solution de (S ), et appartient ` a E.
(2) Soient x = (x 1 , . . . , x p ), y = (y 1 , . . . , y p ) ∈ E. Alors pour tout i ∈ [|1, n|], on a a i,1 x 1 + · · · + a i,n x p = 0 et a i,1 y 1 + · · · + a i,n y p = 0. D’o` u par somme : a i,1 (x 1 + y 1 ) + · · · + a i,n (x p + y p ) = 0, et x + y = (x 1 + y 1 , . . . , x p + y p ) ∈ E.
(3) Soit ∀x = (x 1 , . . . , x p ) ∈ E, ∀λ ∈ K . On a pour tout i ∈ [|1, n|], a i,1 x 1 + · · · + a i,n x p = 0. D’o` u a i,1 (λx 1 ) + · · · + a i,n (λx p ) = 0. Donc λ x ˙ = (λx 1 , . . . , λx p ) ∈ E.
Soit (S) un syst` eme compatible de n ´ equations ` a p inconnues. Alors toute solution de (S) s’´ ecrit comme somme d’une solution particuli` ere de (S) et d’une solution du syst` eme homog` ene associ´ e (S 0 ). En d’autres termes, on a
E = y + E 0
o` u E et E 0 sont les ensembles des solutions de (S) et (S 0 ), et y ∈ K p une solution particuli` ere de (S).
Propri´ et´ e 2 (Structure des solutions d’un syst` eme avec second membre)
Preuve. On consid` ere le syst` eme S :
a 1,1 x 1 + · · · + a 1,p x p = b 1 .. .
a n,1 x 1 + · · · + a n,p x p = b n
et y = (y 1 , . . . , y p ) ∈ K p une solution particuli` ere. Alors (x 1 , . . . , x p ) est solution de S si et seulement si
a 1,1 x 1 + · · · + a 1,p x p = a 1,1 y 1 + · · · + a 1,p y p
.. .
a n,1 x 1 + · · · + a n,p x p = a n,1 y 1 + · · · + a n,p y p
si et seulement si
a 1,1 (x 1 − y 1 ) + · · · + a 1,p (x p − y p ) = 0 .. .
a n,1 (x 1 − y 1 ) + · · · + a n,p (x p − y p ) = 0 si et seulement si (x 1 − y 1 , . . . , x p − y p ) est solution du syst` eme homog` ene associ´ e.
1.2 Ecriture matricielle du syst` ´ eme
D´ efinition.
Une matrice de taille n × p ` a coefficients dans K est un tableau ` a n lignes et p colonnes d’´ el´ ements de K , appel´ es coefficients de la matrice :
a 1,1 . . . a 1,p
.. . .. . a n,1 . . . a n,p
et B =
b 1
.. . b n
.
Ses coefficients sont index´ es par les couples (i, j) o` u i est l’indice de ligne, et j l’indice de colonne.
D´ efinition.
Soit (S) le syst` eme lin´ eaire ` a n ´ equations et p inconnues introduit plus haut.
On appelle matrice des coefficients de (S) la matrice
A =
a 1,1 . . . a 1,p .. . .. . a n,1 . . . a n,p
`
a n lignes et p colonnes.
On appelle colonne des seconds membres de (S) la matrice
B =
b 1
.. . b n
.
On d´ efinit la matrice augment´ ee associ´ ee au syst` eme (S ) par :
(A|B) =
a 1,1 . . . a 1,p b 1
.. . .. . .. . a n,1 . . . a n,p b n
.
Exemple. Consid´ erons le syst` eme
−x + 3y + 2z = 2
3x − 2y + 5z = 4 . Sa matrice augment´ ee est
−1 3 2 2
3 −2 5 4
.
1.3 Op´ erations ´ el´ ementaires sur les lignes d’un syst` eme ou d’une matrice
D´ efinition.
On appelle op´ eration ´ el´ ementaire sur les lignes d’un syst` eme (ou d’une matrice) l’une des trois op´ erations suivantes :
Multiplication d’une ligne L i par un scalaire λ non nul ce que l’on note L i ← λL i .
Echange des lignes ´ L i et L j avec i 6= j ce que l’on note L i ↔ L j ;
Ajout de β L ˙ j ` a L i avec i 6= j ce que l’on note L i ← L i + βλL j o` u β ∈ K .
Exemple.
Dans le syst` eme
−x + 3y + 2z = 2
3x − 2y + 5z = 4 , le r´ esultat de L 2 ← L 2 + 3L 1 est
−x + 3y + 2z = 2 7y + 11z = 10 .
Dans la matrice A =
1 2 −1
3 4 1
−2 5 1
, le r´ esultat de L 2 ← L 2 + L 3 est
1 2 −1
1 9 2
−2 5 1
.
Remarque. On pr´ ecisera syst´ ematiquement et ` a chaque ´ etape les op´ erations ´ el´ ementaires qu’on a effectu´ e pour pass´ e d’un syst` eme lin´ eaire ` a un autre.
Les op´ erations ´ el´ ementaires sont r´ eversible. En particulier, si (S 0 ) se d´ eduit de (S) par une suite finie d’op´ erations ´ el´ ementaires, alors (S) se d´ eduit de (S 0 ) par une suite finie d’op´ erations ´ el´ ementaires.
Propri´ et´ e 3
Preuve. Quitte ` a faire une r´ ecurrence sur le nombre d’op´ erations ´ el´ ementaires, il suffit de prouver la propri´ et´ e lorsque l’on passe de (S) ` a (S 0 ) par une seule op´ eration ´ el´ ementaire. On a alors les trois cas suivants :
Si l’on passe de (S) ` a (S 0 ) en effectuant L i ↔ L j avec i 6= j, on passe de (S 0 ) ` a (S) en effectuant L j ↔ L i .
Si l’on passe de (S) ` a (S 0 ) en effectuant L i ↔ L i + βL j avec i 6= j et β ∈ K , on passe de (S 0 ) ` a (S ) en effectuant L i ↔ L i − βL j .
Si l’on passe de (S) ` a (S 0 ) en effectuant L i ↔ λL i avec λ ∈ K ∗ , on passe de (S 0 ) ` a (S) en effectuant L i ↔ 1 λ L i .
D´ efinition.
On dit que deux syst` emes S et S 0 sont ´ equivalents si l’on peut passer de l’un ` a l’autre par une suite finie d’op´ erations ´ el´ ementaires sur les lignes. On le note S ⇔ S 0 .
On dit que deux matrices A et A 0 sont ´ equivalentes par lignes si elles se d´ eduisent l’une de l’autre par une suite finie d’op´ erations ´ el´ ementaires sur les lignes. On le note A ∼
L A 0 .
Deux syst` emes ´ equivalents ont mˆ eme ensemble de solutions.
Propri´ et´ e 4
Preuve. Quitte ` a faire une r´ ecurrence sur le nombre d’op´ erations ´ el´ ementaires, il suffit de prouver la propri´ et´ e lorsque l’on passe de (S) ` a (S 0 ) par une seule op´ eration ´ el´ ementaire. Notons E l’ensemble des solutions de S et E 0 celui de S 0 .
⊂ On a clairement E ⊂ E 0 .
⊃ D’apr` es la proposition pr´ ec´ edente, on peut passer de (S 0 ) ` a (S ) par une op´ eration ´ el´ ementaire. Donc on a ´ egalement E 0 ⊂ E.
Remarque. Grˆ ace ` a des op´ erations ´ el´ ementaires sur les lignes du syst` eme (S), on va se ramener ` a un syst` eme (S 0 ) plus simple ` a r´ esoudre.
Si l’on passe d’un syst` eme (S ) ` a (S 0 ) par une suite finie d’op´ erations ´ el´ ementaires sur les lignes, la matrice augment´ ee de S 0 s’obtient en effectuant la mˆ eme suite d’op´ erations ´ el´ ementaires sur la matrice augment´ ee de S . Ainsi,
(S) ⇔ (S 0 ) si et seulement si (A|B) ∼
L (A 0 |B 0 ).
Propri´ et´ e 5
Remarque. Ceci justifie la pr´ esentation matricielle pour la r´ esolution d’un syst` eme lin´ eaire (ce qui nous
´
epargne l’´ ecriture des inconnues du syst` eme).
2 Echelonnement et algorithme du pivot de Gauss-Jordan
2.1 Matrices et syst` emes ´ echelonn´ es par lignes
D´ efinition.
Une matrice est dite ´ echelonn´ ee par lignes si elle v´ erifie les deux propri´ et´ es suivantes : 1. Si une ligne est nulle, toutes les lignes suivantes le sont aussi ;
2. ` A partir de la deuxi` eme ligne, dans chaque ligne non nulle, le premier coefficient non nul ` a partir de la gauche est situ´ e ` a droite (strictement) du premier coefficient non nul de la ligne pr´ ec´ edente.
On appelle pivot le premier coefficient non nul de chaque ligne non nulle.
Une matrice ´ echelonn´ ee par lignes est dite ´ echelonn´ ee r´ eduite par lignes si elle est nulle, ou si tous ses pivots sont ´ egaux ` a 1 et sont les seuls ´ el´ ements non nuls de leur colonne.
Un syst` eme est dit ´ echelonn´ e par lignes (resp. ´ echelonn´ e r´ eduit par lignes) si sa matrice des coefficients l’est.
Forme g´ en´ erale d’une matrice ´ echelonn´ ee par lignes.
E =
0 O + ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 O + ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗
0 0 0 0 0 O + ∗ ∗ ∗
0 0 0 0 0 0 0 O + ∗
0 0 0 0 0 0 0 0 0
R =
0 O 1 0 ∗ ∗ 0 ∗ 0 ∗
0 0 O 1 ∗ ∗ 0 ∗ 0 ∗
0 0 0 0 0 O 1 ∗ 0 ∗
0 0 0 0 0 0 0 O 1 ∗
0 0 0 0 0 0 0 0 0
o` u + O sont des r´ eels non nuls correspondant aux pivots et ∗ sont des r´ eels.
E est ´ echelonn´ ee par ligne et R est ´ echelonn´ ee r´ eduite par ligne.
Exemple.
La matrice A =
1 5 −4 3
0 2 3 0
0 0 7 8
0 0 0 0
est ´ echelonn´ ee par lignes. Ses pivots sont 1, 2 et 7. Elle n’est pas
´
echelonn´ ee r´ eduite.
La matrice A =
1 1 2 3
0 0 2 3
0 0 4 5
n’est pas ´ echelonn´ ee par lignes.
La matrice A =
1 5 0 4
0 0 1 −2
0 0 0 0
est ´ echelonn´ ee r´ eduite par lignes.
2.2 Algorithme de Gauss-Jordan
Toute matrice est ´ equivalente par lignes ` a une matrice ´ echelonn´ ee r´ eduite par lignes (qui est de plus unique).
Propri´ et´ e 6
Preuve. L’unicit´ e est admise. Montrons par r´ ecurrence sur p ∈ N ∗ la propri´ et´ e P (p) : si A est une matrice ` a n lignes et p colonnes, A est ´ equivalente par lignes ` a une matrice ´ echelonn´ ee r´ eduite.
• Soit A une matrice ` a n lignes et 1 colonnes. Alors A est de la forme
a 1
.. . a n
. Si A est une colonne nulle, il n’y a rien ` a faire. On suppose donc avoir k ∈ [|1, n|] tel que a k 6= 0. On effectue alors L k ↔ L 1 pour obtenir
A 0 =
a 0 1
.. . a 0 n
avec a 0 1 6= 0. On effectue ensuite L 1 ← a 1
01
L 1 pour obtenir A 1 =
1 a 00 2
.. . a 00 n
. Enfin on effectue
L k ← L k − a 00 k L 1 pour k ∈ [|2, n|] et on obtient A 2 =
1 0 .. . 0
, ´ echelonn´ ee r´ eduite par lignes. Ainsi A est
´
equivalente par lignes ` a une matrice ´ echelonn´ ee en lignes et on a P (1).
• Soit p ∈ N ∗ tel que P (p) et soit A une matrice ` a n lignes et p + 1 colonnes.
On note M la matrice obtenue ` a partir de A en supprimant la derni` ere colonne. Par hypoth` ese de r´ ecurrence, on a une suite d’op´ erations ´ el´ ementaires qui transforme M en une matrice ´ echelonn´ ee r´ eduite par lignes. On effectue cette suite d’op´ erations ´ el´ ementaires ` a A pour obtenir A 1 = (N C), avec N une matrice ` a n lignes et p colonnes ´ echelonn´ ee r´ eduite par lignes, C une colonne (` a n lignes) de la forme
c 1
.. . c n
. Notons i 0 l’indice de ligne du dernier pivot de N.
Si i 0 = n, A 1 est ´ echelonn´ ee r´ eduite par lignes.
Supposons i 0 < n.
– Si pour tout k ∈ [|i 0 + 1, n|], c k = 0, A 1 est ´ echelonn´ ee r´ eduite par lignes.
– Supposons qu’il existe k ∈ [|i 0 + 1, n|] tel que c k 6= 0. On effectue L i
0+1 ↔ L k sur A pour le ramener en (i 0 + 1)-i` eme position (ce qui ne change pas N car toutes ses lignes au-del` a de la i 0 -` eme sont nulles). On effectue L i
0+1 ← c 1
i0 +1
L i
0+1 pour transformer le coefficient en 1 (ce qui ne change pas
N comme plus haut) : la derni` ere colonne est alors de la forme C 0 =
c 1
.. . c i
01 C i
0+2
.. . c n
. Enfin, on effectue
L i ← L i − c 0 i L i
0+1 pour k 6= (j + 1). On obtient ainsi une matrice A 00 de la forme (N|C 00 ) avec
C 00 =
0
.. . 1 .. . 0
, matrice ´ echelonn´ ee r´ eduite par lignes. On a donc montr´ e P (p + 1).
En conclusion, ∀p ∈ N ∗ , P(p).
I Algorithme du pivot de Gauss-Jordan.
Pour une matrice A = (a i,j ) (i,j)∈[|1,n|]×[|1,p|] , on commence avec i = 1 et j = 1.
Tant que (i ≤ n et j ≤ p) faire :
I On regarde dans la j-` eme colonne s’il y a un coefficient non nul entre la i-` eme et la derni` ere ligne.
Si oui, on note k l’indice de cette ligne, et on effectue les op´ erations ´ el´ ementaires suivantes :
• On effectue L i ↔ L k ,
• On effectue L i ← a 1
k,j
L i (pour avoir un coefficient = 1)
• On effectue L l ← L l − a l,j L i pour tout 1 ≤ k ≤ n, k 6= i (pour annuler tous les coefficients de la colonne sauf le pivot).
• On augmente i de 1.
Sinon, ne rien faire I On augmente j de 1.
Exemple.
Appliquons l’algorithme ` a la matrice A =
0 3 0 2 1 2
.
On effectue
0 3 0 2 1 2
L 1 ↔ L 3
1 2 0 2 0 3
L 2 ← 1 2 L 2
1 2 0 1 0 3
L 1 ← L 1 − 2L 2
L 3 ← L 3 − 3L 2
1 0 0 1 0 0
.
Appliquons l’algorithme ` a la matrice A =
1 2 −1
0 3 1
1 5 0
.
1 2 −1
0 3 1
1 5 0
L 3 ← L 3 −L 1
1 2 −1
0 3 1
0 3 1
L 2 ← 1 3 L 2
1 2 −1 0 1 1 3
0 3 1
L 1 ← L 1 − 2L 2 L 3 ← L 3 − 3L 2
1 0 − 5 3 0 1 1 3
0 0 0
.
3 R´ esolution d’un syst` eme lin´ eaire
En appliquant la m´ ethode de Gausse-Jordan sur la matrice augment´ ee associ´ ee au syst` eme initiale (S), on se ram` ene donc ` a un syst` eme ´ equivalent (S 0 ) dont la matrice augment´ ee (A 0 |B 0 ) est une matrice ´ echelonn´ ee par lignes. Sa r´ esolution se fait alors bien plus facilement comme nous allons le voir dans ce paragraphe.
D´ efinition.
Soit (S) un syst` eme dont la matrice augment´ ee (A 0 |B 0 ) est sous forme ´ echelonn´ ee par lignes.
(A|B) =
a 0 1,j
1· · · b 0 1
0 a 0 2,j
2
· · · 0
a 0 r,j
r· · ·
0 b 0 r+1
0 0
On appelle inconnue principale toute inconnue associ´ ee ` a un pivot de A. Toute autre inconnue est appel´ ee inconnue secondaire ou inconnue param` etre.
r s’appelle le rang du syst` eme (S ). C’est le nombre de pivots de la r´ eduite ´ echelonn´ ee par lignes de la matrice du syst` eme homog` ene associ´ e ` a (S).
Exemple. La matrice augment´ ee associ´ ee au syst` eme
x + y + z = 7
−3z = −2 est
1 1 1 7
0 0 −3 −2
Cette derni` ere est ´ echelonn´ ee par lignes. On peut donc dire que le rang du syst` eme est 2, que x et z sont des inconnues principales et y est une inconnue secondaire.
Si S est de rang r, on a r ≤ n et r ≤ p.
Le nombre de param` etres (ou inconnues secondaires) est ´ egal ` a p − r, o` u p est le nombre d’inconnues et r est le rang du syst` eme.
Propri´ et´ e 7
Soit S un syst` eme lin´ eaire de n ´ equations ` a p inconnues et de rang r. Notons (A 0 |B 0 ) la r´ eduite
´
echelonn´ ee par ligne associ´ ee ` a la matrice augment´ ee de S.
Trois cas sont possibles :
Si la colonne B contient des pivots : le syst` eme est incompatible, et il ne poss` ede aucune solution.
Sinon :
– si r = p (rang = nombre d’inconnues) :
(A 0 |B 0 ) =
a 0 1,1 = 1 0 b 0 1
0 a 0 2,2 = 1 · · · 0
a 0 p,p = 1 b 0 p
0 0
0 0 0 0
le syst` eme poss` ede alors une unique solution.
– si r < p :
(A 0 |B 0 ) =
a 0 1,j
1
= 1 · · · 0 0 b 0 1
0 a 0 2,j
2= 1 · · ·
0 0
a 0 r,j
r
