Syst` emes lin´ eaires, fonctions affines, fonctions lin´ eaires
I. Syst` emes lin´ eaires
D´ efinition :
Un syst`eme lin´eaire `a deux inconnues peut s’´ecrire sous cette forme :
"
ax byc
a1x b1yc1 o`u a, a’, b, b’, c et c’ sont des r´eels donn´es.
R´esoudre un tel syst`eme, c’est trouver les couplespx;yqv´erifiant ce syst`eme.
Exemple :
"
2x y0 4x 3y1 S
"
1 2; 1
*
Il peut y avoir une infinit´e de solutions, une unique solution, ou aucune solution.
Siab1a1b0, alors le syst`eme admet uneunique solution.
Exemple :
"
2x y0 4x 3y1
23410.
Il n’y a qu’une solution.
Siab1a1b0, alors il y a deux cas `a envisager :
Les deux ´equationssont proportionnelleset il y a uneinfinit´e de solution.
Exemple :
"
2x 3y5p1q 4x 6y10p2q
26430 et (2) = 2(1).
Il y a une infinit´e de solutions
Les deux ´equationsne sont pas proportionnelleset il n’y aaucune solution.
Exemple :
"
2x 3y5p1q 4x 6y5p2q
26430 et pas de proportionnalit´e.
Il n’y a pas de solution.
II. Fonctions affines
D´ efinition :
On appellefonction affine les fonctions du type :xÞÑmx pavecm, pPR.
Exemple :
Un abonnement de cin´ema revient `a 10AC la carte, puis 5AC `a chaque s´eance.
Pour xs´eances, cela revient `a 5x 10 euros.
Ainsi on peut d´efinir la fonction qui donne le prix en fonction du nombre de s´eances : xÞÑ5x 10.
Remarques :
Sip0, la fonction est dite lin´eaire :xÞÑmxavecm r´eel.
Sim0, la fonction est dite constante :xÞÑpavecpr´eel.
Fiche issue dehttp://www.ilemaths.net 1
Propri´ et´ e :
Soitf une fonction affine d´efinie parxÞÑmx pavecm, pPR.
f estcroissantesurRsim¡0.
f estd´ecroissantesurRsim 0.
La d´emonstration se fait `a l’aide de la d´efinition de croissance et d´ecroissance d’une fonction.
Tableau de valeurs de la fonction xÞÑ5x 10 :
x 0 1 2 3 4 5 6
5x 10 10 15 20 25 30 35 40
Ce n’est pas un tableau de proportionnalit´e. La fonction n’est pas lin´eaire. Ainsi, on ne peut trouver le r´eel mpar simple division.
III. Taux de variation
Exemple : Trouver la fonction affine telle que nous ayons : x -4 -2 3 5 fpxq -9 -5 5 9
Nous savons qu’une telle fonction s’´ecrit sous cette forme :fpxqmx pavecmet pr´eels.
Ainsi en particulier nous avons :
"
fp2q 2m p5 fp3q 3m p5
En soustrayant membre `a membre nous obtenons :p3p2qqm8p7q, soit :m5p5q 3p2q 2 Pour le nombrep, il suffira de remplacer la valeur demdans une des ´equations :
p5321
Ainsi la fonction affine est : xÞÑ2x1.
Plus g´en´eralement, pour trouver le r´eelm, il suffit de prendre deux r´eelsx1etx2distincts tels qu’on connaˆıt les images. Nous avons ainsi : mfpx1qfpx2q
x1x2 .
D´ efinition :
fpx1qfpx2q
x1x2 est appel´etaux de variationde la fonction f.
IV. Variation d’une fonction affine
Repr´esentation graphique de la fonction affine :xÞÑ2x1 surR.
Fiche issue dehttp://www.ilemaths.net 2
D´ efinitions :
Une fonction affine est repr´esent´ee par une droite.
Le nombrem est appel´ecoefficient directeurde la droite repr´esentant la fonction f :xÞÑmx p avecm, pPR.
(le vecteur de coordonn´ees m1
est appel´e vecteur directeur de la droite).
Le nombre pest appel´eordonn´ee `a l’origine de la droite repr´esentant la fonction f :xÞÑmx p avecm, pPR.
y mx pest appel´e´equation r´eduite de la droite repr´esentant la fonctionf :xÞÑmx pavec m, pPR.
Remarque :
La droite parall`ele `a l’axe des ordonn´ees ne repr´esente pas une fonction affine.
Propri´ et´ e :
Soient deux droites (d) d’´equationymx pet (d’) d’´equationym1x p1. (d) // (d’)ðñmm1
La d´emonstration se fait `a l’aide de vecteurs :
Soit~uetu~1 les vecteurs directeurs de la droite (d) et de la droite (d’).
(d) // (d’)ðñ~uet u~1 sont colin´eaires.
(d) // (d’)ðñx~uyu~1
1xu~1y~u0.
(d) // (d’)ðñ1m11m0.
(d) // (d’)ðñmm1.
Recherche du signe de mx pavec m0 mx p0ðñxp
m.
x 8 mp 8
mx p signe de -m 0 signe de m Exemple :
Soit la fonctionf d´efinie par :xÞÑ2x1 surR.
x 8 12 8
2x1 0
Fiche issue dehttp://www.ilemaths.net 3
