Lyc´ee Benjamin Franklin PTSI−2013-2014
D. Blotti`ere Math´ematiques
Programme de colle de la semaine n˚18
Questions de cours
Question n˚ 1
Soitθ∈]−π, π] fix´e. R´esolution du syst`eme lin´eaire
x + y = cos(θ)
cos(θ)x + sin(θ)y = sin2(θ)
d’inconnue (x, y) ∈ R2 et interpr´etation g´eom´etrique de l’ensemble solution.
Question n˚ 2
Structure de l’ensemble solution d’un syst`eme lin´eaire (´enonc´e et preuve) ; r´esolution des syst`emes lin´eaires
x+y−z= 0
x−y+z= 0 et
x+y−z= 1 x−y+z= 1 tout deux d’inconnue (x, y, z) ∈ R3 et interpr´etation g´eom´etrique des ensembles solution.
Question n˚ 3
D´efinition d’une combinaison lin´eaire d’un nombre fini de matrices de mˆeme format ; d´efinition du produit ma- triciel ; r´esolution de l’´equation
i −1
1 i
X=
i −1
1 i
d’inconnueX ∈ M2(C).
Chap. 6 − Syst` emes lin´ eaires
• D´efinitions d’une ´equation lin´eaire et de son en- semble solution.
• Interpr´etation g´eom´etrique de l’ensemble solu- tion d’une ´equation lin´eaire `a 2 (resp. `a 3) in- connues r´eelles.
• D´efinition d’un syst`eme lin´eaire et de son en- semble solution.
• Interpr´etation g´eom´etrique de l’ensemble solu- tion d’un syst`eme lin´eaire de 3 ´equations `a 2 inconnues (resp. de 2 ´equations `a 3 inconnues) r´eelles.
• D´efinition d’un syst`eme lin´eaire homog`ene.
• Un syst`eme lin´eaire homog`ene poss`ede toujours une solution : (0, . . . ,0).
• D´efinition du syst`eme lin´eaire homog`ene associ´e
`a un syst`eme lin´eaire.
• D´efinition d’une matrice.
• D´efinitions de la matrice et de la matrice aug- ment´ee associ´ees `a un syst`eme lin´eaire.
• D´efinition des op´erations ´el´ementaires sur les lignes d’un syst`eme lin´eaire.
• D´efinition d’un syst`eme lin´eaire ´equivalent `a un autre (notation∼).
• La relation∼entre syst`emes lin´eaires de mˆeme format est une relation d’´equivalence.
• Deux syst`emes lin´eaires ´equivalents poss`edent le mˆeme ensemble solution.
• D´efinition des op´erations ´el´ementaires sur les lignes d’une matrice.
• D´efinition d’une matrice (resp. matrice aug- ment´ee) ´equivalente par lignes `a une autre (no- tation∼
L).
• La relation ∼
L entre matrices (resp. matrices augment´ees) d’un format donn´e est une relation d’´equivalence.
• Justification de la pr´esentation matricielle des r´esolutions de syst`emes lin´eaires.
• D´efinitions d’une matrice ´echelonn´ee par lignes et d’un pivot d’une telle.
• D´efinition d’une matrice ´echelonn´ee par lignes r´eduite.
• Th´eor`eme de Gauß-Jordan : toute matrice est
´equivalente `a une unique matrice ´echelonn´ee par lignes r´eduite.
• D´efinitions des notions d’inconnues principales et de param`etres pour un syst`eme lin´eaire dont la matrice associ´ee est ´echelonn´ee et r´eduite.
• D´efinitions d’une ´equation de compatibilit´e et d’une ´equation d’incompatibilit´e.
• Pr´esentation d’une m´ethode pour d´eterminer l’ensemble solution d’un syst`eme lin´eaire dont la matrice associ´ee est ´echelonn´ee et r´eduite.
• Structure de l’ensemble solution d’un syst`eme lin´eaire.
• D´efinition et propri´et´es du rang d’un syst`eme lin´eaire.
• Pr´esentation d’une m´ethode pour d´eterminer l’ensemble solution d’un syst`eme lin´eaire.
Chap. 7 − Matrices
• D´efinition d’une matrice.
• D´efinitions d’un vecteur ligne et d’un vecteur colonne.
• D´efinition de l’ensembleMn,p(K).
• D´efinition et propri´et´es de l’addition de deux matrices de mˆeme format.
• D´efinition de la multiplication d’une matrice par un scalaire.
• Structure de K-espace vectoriel surMn,p(K).
• D´efinitions d’une combinaison lin´eaire d’un nombre fini de matrices de mˆeme format et de la partie Vect(M1, . . . , Mr) de Mn,p(K), o`u (M1, . . . , Mr)∈ Mn,p(K)r.
• D´efinition du produit matriciel.
• Le produit d’une matrice Apar un vecteur co- lonne est combinaison lin´eaire des vecteurs co- lonnes deA.
• Calcul d’un vecteur colonne (resp. vecteur ligne) d’un produit matriciel.
• Ecriture matricielle d’un syst`eme lin´eaire.´
• Propri´et´es du produit matriciel.
• D´efaut d’int´egrit´e, d´efaut de commutativit´e du produit matriciel.
