Rang d’une matrice, syst`emes lin´eaires

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Rang d’une matrice, syst` emes lin´ eaires

1 Rang d’une matrice

1.1 Rang des applications linéaires représentées par une même matrice

Définition. On appellerang d’une matriceA le rang d’une application linéaire queA représente.

Propriété. Le rang d’une matrice est indépendant du choix de l’application linéaire représentée. (Il est donc bien défini.)

Remarque. On a bien-sˆurrgA¤minpn, pq, o`uAPMnppKq.

Corollaire. En considérant l’application linéaire canoniquement associées à la matrice A, le rang de la matrice A est aussi le rang de la famille de ses vecteurs colonnes.

1.2 Rang des matrices ´equivalentes

Propriété. Deux matrices équivalentes ont le même rang.

Corollaire. On ne change pas le rang d’une matrice en la multipliant `a droite ou `a gauche par une matrice inversible :

Soit APMnppKq,QPGLnpKq etP PGLppKq. AlorsrgpQAq rgArgpAPq.

Th´eor`eme.

Toute matrice A P MnppKq est ´equivalente `a une matrice J_npr pα_ijq^1¤i¤n

1¤j¤p, o`u r rgA et

"

αij1 siijet 1¤i¤r αij0 sinon

Jnpr

pcolonnes

nlignes

rlignes

rcolonnes

1 0 0

0 1

<<

<

0

0 0 1

prcolonnes

0 0

nrlignes 0 0

0 0

Corollaire. Deux matrices sont ´equivalentes si et seulement sielles ont le mˆeme rang.

1.3 Rang de la transposée d’une matrice Théorème.

Le rang d’une matrice A est aussi le rang de sa transpos´ee^tA.

Corollaire. Le rang d’une matrice, qui est le rang de la famille de ses vecteurs colonnes, est aussi le rang de la famille de ses vecteurs lignes.

2 Op´ erations conservant le rang

2.1 Opérations élémentaires sur les lignes des matrices

Définition. On appelle opération élémentaire sur les lignes d’une matrice l’une des trois opérations suivantes :

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(a) ´Echange de deux lignes

(b) Multiplication d’une ligne par α0

(c) Ajout `a une ligne deα fois une autre, α qcq

Propriété. Une opération élémentaire sur les lignes d’une matrice ne change pas le rang de celle-ci.

En effet,elle correspond à la multiplication à gauche de celle-ci par une matrice inversible, donc transforme la matrice en une matrice équivalente.

Echange´ L_j ØL_k avec j k.

P_j,k

1

;;

;0 0

0 1

0 1^_ ^_ ^_ ^_

1=== 1

1 0^_ ^_ ^_ ^_

1 0

0 0 1

;;;;;

j^`^emeligne

k^`^emeligne

Alors P_j,kAest la matriceA où l’on a échangé les lignesL_j etL_k. D’autre part P_j,k² IndoncPj,k est inversible.

L_j ÐαL_j, α0.

Dj,α

1

;;

;0 0

0 1

α^_ ^_ ^_ ^_

1

;;

; 0

0 0 1

j^`^emeligne

Alors Dj,αA estla matrice recherch´ee.

D’autre part (α0)Dj,αD_j,α1 In doncDj,α est inversible.

Lj ÐLj αLk, α qcq et j k.

T_j,k,α I_n αE_j,k

k^`^emecolonne

1

>>

>>0 0

0

α

_ _ _ _

0

0 0 1

j^`^emeligne

Alors T_j,k,αA est la matrice recherch´ee.

D’autre part, T_j,k,αT_j,k,_α pI_n αE_j,kq pI_nαE_j,kq I_n doncT_j,k,α est inversible.

Exemple. Pour se concaincre, avecA

1 3 4 5 2 4 5 6 3 5 6 7 4 6 7 8

, effectuer le produit de Apar P1,3,D1,2 etT3,1,4. Remarque.

(3)

2.2 Opérations élémentaires sur les colonnes des matrices

D´efinition. Ce sont les mˆemes que sur les lignes, mais sur les colonnes.

Proposition. Une opération élémentaire sur les colonnes d’une matrice ne change pas le rang de celle-ci.

En effet, elle correspond à la multiplication à droite de celle-ci par une matrice inversible, donc transforme la matrice en une matrice équivalente.

Remarque. Pour se convaincre, reprendre l’exemple précédent, en effectuant les multiplications à droite.

Remarque.

2.3 M´ethode du pivot de Gauss pour d´etermination du rang

Introduction. On ne change pas le rang d’une matrice en effectuant des opérations élémentaires sur ses lignes et ses colonnes. On transforme donc la matrice par opérations élémentaires jusqu’à obtenir une matrice simple, dont le rang se détermine facilement.

M´ethode du pivot de Gauss. Soit A pa_ijqij une matrice non nulle (sinon, elle est de rang 0).

Si le coefficient a11 est nul, on effectue des permutations de lignes et de colonnes pour le rendre non nul.

On obtient une matrice A¹ pa¹_ijqij avec p₁a¹₁₁0, appel´e premier pivot.

Méthode du pivot de Gauss. On annule tous les coefficients de la première colonne sous le pivot, en effectuant L_j ÐL_jâ_p¹^j1₁ L₁. On obtient

B

p₁ ♠ ♠

0 b_1,1 b_1,p₁

0 b_n_1,1 b_n_1,p₁

Si la matrice bloc

b1,1 b1,p1

b_n1,1 b_n1,p1

n’est pas nulle, on réapplique le procédé sur cette matrice.

Méthode du pivot de Gauss. Cette suite d’opérations est répétée jusqu’à avoir une matrice bloc nulle, c’est-

`

a-dire lorsque la matrice a la forme :

Tr

p1

AA AA AA AA♠

AA AA AA

A ♠

0

pr ♠ ♠

0 0 0

0 0 0 0

o`u p1 0, . . . , pr0

Le rang de la matrice est alorsr.

Exemple. D´eterminer le rang de la matrice

2 3 3 4 2

3 6 2 5 9

7 18 2 7 7

2 4 2 3 1

Remarque.

Remarque. Utilisation deMaple

> with(Student[LinearAlgebra]):

> M := < <1,2,0,3> | <0,2,1,2> | <2,4,0,1> | <1,4,1,3> >; # d´efinition par colonnes

> GaussianElimination (M);

(4)

> Rank(M);

# 3

> GaussianEliminationTutor (M);

> N := < <1,1,x,y> | <x,y,1,1> | <1,1,y,x> | <y,x,1,1> >;

> Rank(N);

# 4

> x;

# x

2.4 Calcul de l’inverse d’une matrice carr´ee inversible

Première méthode. Si on a la chance d’avoir une relation du type A³ 3A2In0, alorson écritAp¹₂A²

3

2I_nq I_n doncA est inversible et on a directement l’expression de l’inverse.

Deuxième méthode (de Gauss). On effectue surA une suite d’opérations élémentaires sur les lignes (ou les colonnes, mais ne pas mélanger !) pour obtenirI_n. On effectue en même temps les mêmes opérations élémentaires sur I_n et on obtient A¹. Les calculs seront présentés dans un tableau.

Exemple. D´eterminer l’inverse de

0 1 1 1 0 1 1 1 0

Remarque.

> M := < <1,2,0,3> | <0,2,1,2> | <3,2,0,2> | <1,4,1,3> >; # d´efinition par colonnes

> M^(-1);

#

¹4 ¹8 ³4 1 2 1

4 ⁷8 7

4 1

2 1

2 ¹₄ ¹₂ 0 ¹4 7

8 ³4 ¹2

> InverseTutor (M);

Remarque. On aura aussi une autre m´ethode avec le d´eterminant.

3 Equations lin´ ´ eaires

3.1 Rappel : structure de l’ensemble des solutions

Rappel. SoitE etF deux K-espaces vectoriels. On appelleéquation linéaire une équation de la forme :

upxq b

o`u uPLpE, Fq etbPF.xPE est l’inconnueetb lesecond membre.

On appelleéquation sans second membre associéel’équation : upxq 0_F

Remarque.L’ensemble des solutions de l’équation de départ estSu¹ptbuqet celui de l’équation sans second membre est S0 Keru.

Th´eor`eme.

L’ensemble des solutions de l’´equation lin´eaireupxq b est ãÑ soitS∅

ãÑ soitSx₀ Keru o`u x₀ est solution particuli`ere.

(5)

3.2 Systèmes d’équations linéaires

Définition. On appellesystème d’équations linéairesla donnée de :

$' ''

&

'' '%

a11x1 a12x2 . . . a1pxp b1 pL1q

a₂₁x₁ a₂₂x₂ . . . a_2px_p b₂ pL₂q

... ...

a_n1x₁ a_n2x₂ . . . a_npx_p b_n pL_nq

Lesdonnéessont lesaij P K, appeléscoefficients du système, regroupés enA paijq¹¤i¤n

1¤j¤p PMn,ppKqappel´ee matrice du syst`eme, et pb1, . . . , bnq P Kⁿ.

Les inconnues du syst`eme sont lespx1, . . . , xpq P K^p. Le rang de As’appelle lerang du syst`eme.

Résoudre ce système, c’est trouver tous les p-uplets px1, . . . , xpq P K^p solutions des n équations simultané- ment.

Interpr´etation vectorielle.

Propri´et´e. Soitr rgpuq.

• Sir n,alorsu est surjectif, donc le syst`eme a des solutions, quel que soit le second membre.

• Sir n,u n’est pas surjectif. Le second membre doit satisfaire certaines conditions (appelées relations de compatibilité) pour que le système admette des solutions.

• Sir p,alorsu est injectif. Si une solution existe, elle est unique.

• Si r p, alors u n’est pas injectif. On pourra toujours ajouter à une solution un élément non nul du noyau. Donc, s’il y a des solutions, les solutions ne seront jamais uniques. On fixe arbitrairement la valeur de certaines inconnues, et on exprime les autres en fonction de celles-là.

Propri´et´e.

• Si n p r,u est bijectif. On dit que le syst`eme est de Cramer. Il existe une unique solution, quel que soit le second membre : c’estu¹pbq.

Remarque.

Interpr´etation matricielle.

Remarque.

3.3 R´esolution par la m´ethode du pivot de Gauss

Méthode. Soit un système d’équations linéaires représenté matriciellement parAXB. On effectue simultanément surA etB les opérations élémentaires sur les lignes des matrices de la méthode du pivot vu dans la détermination du rang. Cela revient à faire des multiplications à gauche par des matrices d’opérations élémentaires.

On peut être amené à effectuer des permutations sur les colonnes, ce qui revient à effectuer les mêmes permutations sur les lignes deX, c’est-à-dire changer l’ordre des inconnues.

On obtient :

Qk. . . Q1AP1. . . Pl

looooooooooomooooooooooon

Tr

Pl. . . P1X looooomooooon

X1

Qlooooomooooonk. . . Q1B

B1

oùB¹est le nouveau second membre, etX¹ estX dans lequel on a éventuellement effectué des permutations de lignes.

Méthode. Le système est ainsi équivalent à : (on a multiplié par des matrices inversibles)

$' '' '' '' '' ''

&

'' '' '' '' '' '%

p1x¹₁ a¹₁₂x¹₂ a¹_1px¹_p b¹₁

p2x¹2 a¹2px¹p b¹2

. .. ...

prx¹_r a¹_rpx¹_p b¹_r

0 b¹r 1

..

. ...

0 b¹n

Les nr dernières équations ne font plus intervenir les inconnues. Ce sont les relations de compatibilité . Ce sont les conditions portant sur le second membre pour que le système admette des solutions.

Les pr dernières (nouvelles) inconnues peuvent être fixées arbitrairement. On dit qu’elles deviennent des paramètres des solutions.

Le système desrpremières équations auxr premières inconnues est de Cramer, triangulaire, donc se résout à vue.

(6)

Exemple. Soit `a r´esoudre pSq

$&

%

x3y 2z 3 2x 3yz 0

5x 4yz 7

Exemple. Soit `a r´esoudre pSq

$&

%

3x 2y 5

x 2z 3

x 2y 8z 7 Exemple. Soit à résoudre, avec aparamètre réel,pSq

$&

%

ax y z 1 x ay z 1 x y az 1 Exemple. Soit `a r´esoudre pSq

$' '&

''

%

x y z t 0

y t 0

x z 2t 0

x 2y z 0

> M := < <1,2,0> | <2,3,2> | <0,2,1> | <3,5,5> >; # d´efinition par colonnes

> v := <5,4,2>;

> LinearSolve( M, v );

#

11 3⁷₃t₁

28 3 11

3t1

t₁ ¹⁰3⁵3t1

> LinearSolveTutor( M, v );

(7)

Rang 33.1Décrirelesopérationsélémentairespermettantdepasserde MàJn,p,retdéterminerlerangdeMavec: M 14322 26644 3121269 02303

syst_9.tex 33.2SoitAetBdansMnpKqtellesque: # AB0 ABinversible (a)Donnerunexempledetellesmatricespourn2. (b)MontrerquergArgBn. syst_10.tex 33.3D´eterminerlerangdesmatricessuivantes: A

234 315 101 024

B

1220 1022 1222 1365 ^sy

st_11.tex 33.4D´eterminerlerangdesmatricessuivantes: A 11111 21312 12415 3911219

B

1cosθcos2θ cosθcos2θcos3θ cos2θcos3θcos4θ

syst_12.tex 33.5SoitaPRetnPN .D´eterminerlerangdelamatrice Apaijq1¤i,j¤n,o`u: aij# 1siij asiij

syst_13.tex 33.6Discutersuivantlesvaleursdesr´eelsxetylerangdela matrice: 1x1y 1y1x x1y1 y1x1

ReprésenterlesrésultatsdansunplanrapportéàunrepèrepOx,Oyq. syst_15.tex 33.7SoitAPM4pKqtellequeA20etA30.Déterminerle rangdeA.syst_16.tex Systèmes 33.8RésoudreetdiscuterdansR3 pmPRq:

$ & %

mxyz1 xmyzm xymzm2 syst_1.tex 33.9Soitppa,b,cqPC3 q.OnappellepSqlesyst`eme:

$ & %

xyza xjyj2 zb xj2 yjzc MontrerquecesystèmeestdeCramer.Parunecombinaisonlinéaire deséquations,déterminerl’uniquesolutionpx,y,zq.syst_2.tex 33.10Soitpm,a,b,cqPR4 .OnnotepSqlesystème:

$ &mxpm1qymza p2m1qxpm1qymzb % 2x4y2mzc Déterminerle(s)valeur(s)dempourla(les)quelle(s)pSqn’estpasde Cramer.Dansce(s)cas,résoudrepSq.syst_3.tex 33.11RésoudredansRlessystèmessuivants:

(8)

(a)

$ & %

3x14x2x32x43 6x18x22x35x47 9x112x23x310x413apaP Rq (b)$ ' ' & ' ' %

2xy3z3 3xy5z0 4xyz3 x3y13z6 syst_4.tex 33.12Onconsid`eredansR5 lesyst`emesuivant:

$ & %

x12x2x33x4x50 x2x32x42x50 2x1x25x34x50 Quepenseraprioridelastructuredel’ensembledessolutions?En donnerladimension,puisunebase.syst_7.tex 33.13SoitaPC.R´esoudrelesyst`eme:

$ & % xaya2 za axa2 yaz1 axya3 z1

syst_14.tex Divers 33.14TrouverunpolynômePdedegréminimalprenantrespecti- vementlesvaleurs5,6,2et1en1,2,3et4.syst_5.tex 33.15InverserlamatriceA 513 242 113 syst_6.tex 33.16DonneruneC.N.S.surmPRpourquelestroisplansvec- torielsdeR3 d’équations: x2yzmx3xy2zmy3x2yzmz contiennentunemêmedroitevectorielle.syst_8.tex