Alg`ebre et analyse ´el´ementaires II Alg`ebre lin´eaire
Calcul matriciel
Nous avons introduit les matrices pour simplifier les notations d’´ecriture des syst`emes lin´eaires. Mais cet outil est plus riche que cette simple utilisation.
1 Matrices. Propri´ et´ es. Exemples.
Nous allons, dans le paragraphe suivant, donner les principales propri´et´es des matrices.
D´efinition 1.1. Rappel. Soient n etm deux entiers naturels non nuls. On appelle matrice (`a nlignes etm colonnes) la donn´ee d’un tableau den×mscalaires
a11 . . . a1m
... ... an1 . . . anm
.
On note M(n, m;R)l’ensemble de ces matrices. Lorsque n=m , on parle de matrice carr´ee d’ordren et on en noteM(n;R)l’ensemble.
Remarque 1.2. SoitA une matrice ayantn lignes etm colonnes. SoitX une matrice ayantmlignes et une unique colonne (matrice colonne). On a d´efini le produit deM par X en posantY =AX o`u Y est une matrice colonne ayantn lignes d´efinie par
1≤h≤n; yh=
m
X
j=1
ah,jxj .
Proposition 1.3. SoitXune matrice colonne ayantmlignes. SoientAetBdeux ´el´ements deM(n, m;R) . Alors on a
∀X ∈ M(n,1;R) ; AX=BX ⇒A=B .
D´emonstration. Il suffit de prendre pourX le vecteur colonne dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situ´e `a la lignejqui vaut 1 . Alors on voit que l’´egalit´eAX=BXpour ce vecteur, entraˆıne l’´egalit´e des colonnes d’indicej deA et de B . Comme cela est vrai quelque soit j o`u 1≤j ≤n , on voit que A=B .
D´efinition 1.4. On appelle matrice nulle la matrice dont tous les coefficients sont nuls. On appelle matrice identit´e la matrice carr´ee dont les coefficients diagonaux sont ´egaux `a 1, les autres coefficients
´
etant nuls. Pour tout couple d’indices(i, j)(i= 1, . . . , netj= 1, . . . , m), on pourra introduire la matrice Eij dont tous les coefficients sont nuls sauf le coefficient de lai-`eme ligne et de laj-`eme colonne qui est
´
egal `a1.
D´efinition 1.5. On dira que la matrice carr´ee est diagonale si tous les coefficients sont nuls `a l’exception
´
eventuelle des coefficients ayant le mˆeme indice de ligne et de colonne (coefficients diagonaux).
D= (d1, . . . , dn) =
d1 0 0 . . . 0 0
0 d2 0 . . . 0 0
0 0 d3 . . . 0 0
... ... . .. ...
0 0 . . . dn−1 0
0 0 . . . 0 dn
On dira que la matrice carr´ee est scalaire si tous les coefficients sont nuls `a l’exception ´eventuelle des coefficients diagonaux, tous ´egaux au scalaireλ).
D= (λ, . . . , λ) =
λ 0 0 . . . 0 0 0 λ 0 . . . 0 0 0 0 λ . . . 0 0 ... ... . .. ...
0 0 . . . λ 0
0 0 . . . 0 λ
On dira que la matrice carr´ee est triangulaire sup´erieure (resp. inf´erieure) si tous les coefficients situ´es en dessous (resp. en dessus) de la diagonale sont nuls.
T+=
t11 t12 t13 . . . t1,n−1 t1n
0 t22 t23 . . . t2,n−1 t2,n
0 0 t33 . . . t3,n−1 t3,n
... ... . .. ...
0 0 . . . tn−1,n−1 tn−1,n
0 0 . . . 0 tn,n
Remarque 1.6. Soient n et m deux entiers naturels. L’ensemble M(n, m;R) des matrices ayant n lignes etm colonnes est un espace vectoriel de dimensionnms’identifiant naturellement `aRnm .
Les op´erations d’addition des matrices (composante par composante) et de multiplication par un scalaire (toujours composante par composante) en font naturellement un espace vectoriel. On pourra noter que le syst`eme des matrices (canoniques) Eij forme un syst`eme libre et g´en´erateur appel´e base canonique deMmn(R) . Bref, siM = (ai,j)i,j , on a
M =
n
X
i=1 m
X
j=1
ai,jEi,j .
D´efinition 1.7. Soientn,metptrois entiers naturels non nuls. SoitA une matrice ayantnlignes et m colonnes et B une matrice ayant mcolonnes et plignes. On d´efinit le produit C=AB des matrices A et B comme la matrice C ayant n lignes et pcolonnes dont les colonnes sont les produits des lignes deM par les colonnes deN . En d’autres termes, les coefficients de la matrice C=ABsont donn´es par
(i, k)7→
m
X
j=1
aijbjk
o`ui est l’indice de la ligne et k l’indice de la colonne de la matrice produit et l’on vient de d´efinir une multiplication de l’espaceM(n, m;R)× M(m, p;R)dansM(n, p;R)donn´ee par
A×B= (aij)i,j×(bjk)j,k= (cik)i,k=C o`u
cik=
m
X
j=1
aijbjk=ai1b1k+. . .+aimbmk .
Remarque 1.8. On notera que cette multiplication est associative et distributive par rapport `a l’addition des matrices et mˆeme lin´eaire en B et lin´eaire en A (on parle de bilin´earit´e). On notera aussi que la multiplication par une matrice (carr´ee) scalaire co¨ıncide avec la multiplication par ce mˆeme scalaire. On dit que l’espaceM(n;R)est ainsi muni d’une structure d’alg`ebre (non commutative d`es quen≥2).
Remarque. Si on regarde B comme m colonnes Ck juxtapos´ees (soit B = (C1. . . Cm)), on v´erifie que AB est tout simplement la matrice dont lesm colonnes sont les ACi (au sens de la multiplication d’une matrice par une matrice colonne). Bref notre multiplication g´en´eralise bien la notion introduite pr´ec´edemment.
Proposition 1.9. On a
0B = 0, A0 = 0 , IdmB=BIdp=B et IdnA=AIdm=A .
Remarque 1.10(ATTENTION 1). Le produit de deux matrices n’est en g´en´eral pas commutatif (n≥2).
Ainsi
E1,2E2,2= 0 1
0 0
0 0 0 1
= 0 1
0 0
=E12
mais
E2,2E1,2= 0 0
0 1
0 1 0 0
= 0 0
0 0
= 0 .
Remarque 1.11 (ATTENTION 2). Le produit de deux matrices chacune non nulle peut quand mˆeme ˆ
etre nul. C’est ce que l’on vient de voir avec l’exemple ci-dessus 0 0
0 1
0 1 0 0
= 0 0
0 0
.
Bref l’´equation AB= 0 ne signifie pas n´ecessairement queA ouB soient nulles !
D´efinition 1.12. On dira qu’une matrice non nulleAest un diviseur de0dansM(n;R)s’il existe une matrice non nulleB telle que AB= 0 .
2 Lien avec les op´ erations ´ el´ ementaires.
Echange de deux lignes. On ne change pas les solutions d’un syst`eme en ´echangeant deux lignes d’un syst`eme. On ne change donc pas le rang de M en ´echangeant deux de ses lignes. Remarquons que la nouvelle matrice est obtenue par multiplication `a gauche par la matrice
Sij =
1 . . . 0 . . . 0 . . . 0 ... 0 . . . 1 ... ... ... ... ... ... 1 . . . 0 ...
... ...
0 . . . 0 . . . 0 . . . 1
o`u les seuls coefficients non nuls et ´egaux `a 1 sont situ´es aux intersections des lignes d’indicei (resp.j) et colonnes d’indicej (resp.i).
Exemple. Soit
A=
0 −2 3 4
1 0 −3 1
−1 2 0 1
.
Alors ´echanger les deux premi`eres lignes revient `a faire la multiplication suivante :
0 1 0 1 0 0 0 0 1
0 −2 3 4
1 0 −3 1
−1 2 0 1
=
1 0 −3 1
0 −2 3 4
−1 2 0 1
Combinaison lin´eaire de ligne. On ne change pas le rang d’un syst`eme en ajoutant `a une de ses lignes une combinaison lin´eaire des AUTRES lignes. Bref on peut remplacer (L1, L2, . . .) par (L1, L2+µL1, . . .). On ne change donc pas non plus le rang de la matrice associ´ee. Remarquons de mˆeme que cette nouvelle matrice est obtenue en multipliant `a gauche par la matrice suivante :
Tij(µ) =
1 . . . 0 . . . 0 . . . 0 ... 1 . . . 0 ... ... ... ... ... ... µ . . . 1 ...
... ...
0 . . . 0 . . . 0 . . . 1
o`u le coefficientµest plac´e dans la colonnej et la lignei; les seuls autres coefficients non nuls ´etant des 1 sur la diagonale.
Exemple. Soit
A=
1 0 −3 1
0 −2 3 4
−1 2 0 1
.
Alors ajouter la premi`ere ligne `a la troisi`eme ligne revient `a faire la multiplication suivante :
1 0 0 0 1 0 1 0 1
1 0 −3 1
0 −2 3 4
−1 2 0 1
=
1 0 −3 1
0 −2 3 4
0 2 −3 2
. On peut donc poursuivre par
1 0 0 0 0 1 0 1 0
1 0 −3 1
0 −2 3 4
0 2 −3 2
=
1 0 −3 1
0 2 −3 2
0 −2 3 4
On peut enfin poursuivre par
1 0 0 0 1 0 0 1 1
1 0 −3 1
0 2 −3 2
0 −2 3 4
=
1 0 −3 1 0 2 −3 2
0 0 0 6
Multiplication par un scalaire. On ne change pas non plus le rang d’un syst`eme en multipliant une de ses ´equations par un scalaire non nul. On ne change donc pas non plus le rang de la matrice associ´ee.
Il suffit l`a encore de multiplier `a gauche par la matrice ad´equate :
Di(λ) =
1 . . . 0 . . . 0 ... ... ...
... µ ...
... ... ... 0 . . . 0 . . . 1
o`u le scalaire non nul λest plac´e sur la ligne et la colonne d’indice i(donc sur la diagonale) ; les autres coefficients non nuls ´etant des 1 sur la diagonale.
Exemple. Soit
A=
1 0 −3 1 0 2 −3 2
0 0 0 6
.
Alors faire en sorte que les coefficients de d´ebut de ligne soient ´egaux `a1, revient `a faire la multiplication suivante :
1 0 0
0 12 0 0 0 16
1 0 −3 1 0 2 −3 2
0 0 0 6
=
1 0 −3 1
0 1 −32 1
0 0 0 1
et l’on peut poursuivre par
1 0 −1 0 1 −1
0 0 1
1 0 −3 1
0 1 −32 1
0 0 0 1
=
1 0 −3 0
0 1 −32 0
0 0 0 1
.
On conclut donc que la matrice 3×4 de cet exemple est de rang 3 puisque nous l’avons remplac´ee par une matrice ´echelonn´ee (de mˆeme rang) ayant trois lignes non nulles.
3 Matrices inversibles.
D´efinition 3.1. On dit que la matriceAcarr´ee d’ordrenest inversible s’il existe une matriceB carr´ee d’ordre ntelle que
AB=BA= Idn.
Remarque. On notera qu’une matriceA qui est un diviseur de 0 , ne peut ˆetre inversible. En effet, si A est un diviseur de0, il existe B non nulle telle que AB= 0 . Raisonnons par l’absurde et supposons queA soit inversible . Il existerait doncB0 telle que
AB0=B0A= Idn .
Calculons alors B0AB . Par associativit´e, B0AB = B0(AB) = A00 = 0 . Mais ´egalement B0AB = (B0A)B = IdnB = B . Nous aboutissons donc `a une contradiction B = 0 . Donc A ne peut ˆetre inversible.
Exemple. Toutes les matrices ´el´ementaires donn´ees plus haut sont inversibles. On a
SijSij = Idn (i6=j), Di(λ)Di(1/λ) =Di(1/λ)Di(λ) = Idnet Tij(µ)Tij(−µ) =Tij(−µ)Tij(µ) = Idn Exemple. Par contre les matrices canoniquesEij sont en g´en´eral des diviseurs de0. En effet on v´erifie sans peine que
EijEhk =
Eik si j=h
0 sinon
Proposition 3.2. SoitE un espace vectoriel de dimensionn. SoitB= (e1, . . . , en)une base deE. Soit B0 = (f1, . . . , fn)une autre base deE . Soit enfinP la matrice de passage deB `aB0 (dont les colonnes sont form´ees des coordonn´ees des vecteurs de la baseB0 s’exprimant en fonction de la baseB . AlorsP est une matrice inversible et son inverse est la matrice de passageQde la base B0 `a la baseB.
V´erification. On sait que, siv = (e1, . . . , en)X et v= (f1, . . . , fn)Y alorsX =P Y (les ”anciennes”
coordonn´ees s’expriment en fonction des ”nouvelles”). Si l’on ´echange les rˆoles deBetB0, on a de mˆeme Y =QX o`uQest la matrice de passage deB0 `a la base B. Alors
X =P Y =P QX etY =QX =QP Y .
Ces indentit´es sont vraies quelque soit le vecteurvou encore quelque soit les vecteurs colonnesX ouY . Aussi
P Q=QP = Idn . C’est ce que nous cherchions `a d´emontrer.
Proposition 3.3. SoitM un ´el´ement deMmn(R). Soitrun entier alors il existe des matrices inver- sibles P carr´ee d’ordrenetQ carr´ee d’ordremtelles que
— P etQsont des produits de matrices ´el´ementaires (inversibles) ;
— P M Q=
1 . . . 0 0 . . . 0 ... ... ... ... 0 . . . 1 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 ... ... ... ... 0 . . . 0 0 . . . 0
;
o`u le premier bloc admet r lignes etr colonnes. On appelle rang de la matrice M l’entier ainsi mis en
´
evidence.
V´erification. A l’occasion de l’´etude des syst`emes lin´eaires, on a vu que l’on pouvait, par des op´erations
´
el´ementaires, ´echelonner la matriceM . Quitte `a multiplier M `a gauche par des matrices ´el´ementaires, on sait que l’on peut la ramener `a une matrice de la forme
0 . . . 0 1 . . . ∗ . . . ∗ ∗ 0 . . . 0 0 . . . 1 . . . ∗ ∗ ... ... ... ... ... 0 . . . 0 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 0 . . . 0 . . . 0 . . . ... ... ... ... ... 0 . . . 0 0 . . . 0 . . . 0 . . .
o`u les 1 apparaissent sur les r premi`eres lignes et dans les colonnesj1 < j2 < . . . < jr . On va alors op´erer sur les colonnes de cette matrice (en multipliant cette fois `a droite par une matrice ´el´ementaire).
Tout d’abord quitte `a ´echanger les colonnes 1 etj1, resp.retjr (par des matrices de permutation), on voit que l’on peut supposer que les coefficients 1 apparaissent dans lesrpremi`eres colonnes. Soit
P MΣ =
1 . . . ∗ ∗ . . . ∗ ... ... ... ... 0 . . . 1 ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 . . . 0 ... ... ... ... 0 . . . 0 0 . . . 0
o`u Σ est un produit de matrices de permutation. Il est alors simple de multiplier (`a gauche par exemple) par une matrice ´el´ementaire pour annuler les coefficients de la premi`ere ligne (au del`a de la colonne 1) resp. de lai-`eme ligne (au del`a de lai-`eme colonne). Et l’on trouve la forme cherch´ee.
Comment d´eterminer l’inverse d’une matrice ?
Soit donc une matrice carr´eeA. Nous allons donner deux m´ethodes pour d´eterminer siAest inversible et donner son inverse. Il s’agit soit de r´esoudre le syst`eme associ´e `a cette matriceAX=Y (quel que soit le vecteur colonneY) soit d’´echelonner la matriceA0= (A|Id) . Nous utiliserons les matrices
A=
0 −2 3
1 0 −3
−1 2 0
et
B =
0 −2 4
1 0 1
−1 2 1
.
Premier exemple : r´esolvons le syst`eme AX = Y o`u A est la premi`ere matrice, X est le vecteur colonne de coordonn´ees (x, y, z) et Y de coordonn´ees (a, b, c) .
−2y+ 3z = a x−3z = b
−x+ 2y = c Il est ´equivalent `a
x−3z = b
−x+ 2y = c
−2y+ 3z = a puis `a
x−3z = b
2y−3z = b+c
−2y+ 3z = a puis `a
x−3z = b
2y−3z = b+c 0 = a+b+c
On voit donc que le syst`eme obtenu fait intervenir une ´equation de compatibilit´e. Le syst`eme n’admet donc de solutions que lorsque le vecteur colonneY v´erifie cette ´equation. Le syst`eme n’est donc pas de rang 3 . La matrice associ´ee ne peut ˆetre de rang 3 donc n’est pas inversible.
Si l’on ´echelonne la matrice
0 −2 3 1 0 0
1 0 −3 0 1 0
−1 2 0 0 0 1
on obtient successivement
1 0 −3 0 1 0
0 −2 3 1 0 0
−1 2 0 0 0 1
puis
1 0 −3 0 1 0
0 −2 3 1 0 0
0 2 −3 0 1 1
1 0 −3 0 1 0
0 −2 3 1 0 0
0 0 0 1 1 1
. On pourra remarquer que la matrice
C=
0 −2 2
1 0 −3
−1 2 0
est, quant `a elle, inversible (en suivant la mˆeme m´ethode).
Deuxi`eme exemple : r´esolvons le syst`emeBX =Y o`u B est la deuxi`eme matrice,X est le vecteur colonne de coordonn´ees (x, y, z) et Y de coordonn´ees (a, b, c) .
−2y+ 4z = a
x+z = b
−x+ 2y+z = c Il est ´equivalent `a
x+z = b
−2y+ 4z = a
−x+ 2y+z = c puis `a
x+z = b
−2y+ 4z = a 2y+ 2z = b+c puis `a
x+z = b
−2y+ 4z = a 6z = a+b+c et enfin
x = −a+5b−c6 y = −a+2b+2c6 z = a+b+c6 La matrice inverse de B est donc
−16 56 −16
−16 13 13
1 6
1 6
1 6
. Si l’on ´echelonne la matrice
0 −2 4 1 0 0
1 0 1 0 1 0
−1 2 1 0 0 1
on obtient
1 0 1 0 1 0
0 −2 4 1 0 0
−1 2 1 0 0 1
1 0 1 0 1 0
0 −2 4 1 0 0
0 2 2 0 1 1
1 0 1 0 1 0
0 1 1 0 12 12
0 0 6 1 1 1
1 0 0 −16 56 0 0 1 0 −16 13 13 0 0 1 16 16 16
.
Proposition 3.4. SoitBune matrice inversible. Si l’on ´echelonne la matrice(B|Id)(`a l’aide d’op´erations
´
el´ementaires) et que l’on obtient la matrice(Id|A), alors Aest la matrice inverse de B . D´emonstration. On a donc l’identit´e
(P1P2. . . PlM|P1P2. . . PlId) = (Id|N) soit
P1P2. . . PlM = Id etP1P2. . . Pl=N . Cela permet de conclure.
Remarque 3.5. On a v´erifi´e queA(carr´ee d’ordren) ´etait inversible si et seulement si son rangr´etait maximal c’est `a dire ´egal `an.
D´efinition 3.6. On note GL(n;R)l’ensemble des matrices carr´ees d’ordre ninversibles. Il s’agit d’un groupe (non commutatif d`es quen≥2) pour la multiplication des matrices.