• Aucun résultat trouvé

2 Lien avec les op´ erations ´ el´ ementaires.

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Partager "2 Lien avec les op´ erations ´ el´ ementaires."

Copied!
9
0
0

Texte intégral

(1)

Alg`ebre et analyse ´el´ementaires II Alg`ebre lin´eaire

Calcul matriciel

Nous avons introduit les matrices pour simplifier les notations d’´ecriture des syst`emes lin´eaires. Mais cet outil est plus riche que cette simple utilisation.

1 Matrices. Propri´ et´ es. Exemples.

Nous allons, dans le paragraphe suivant, donner les principales propri´et´es des matrices.

D´efinition 1.1. Rappel. Soient n etm deux entiers naturels non nuls. On appelle matrice (`a nlignes etm colonnes) la donn´ee d’un tableau den×mscalaires

a11 . . . a1m

... ... an1 . . . anm

 .

On note M(n, m;R)l’ensemble de ces matrices. Lorsque n=m , on parle de matrice carr´ee d’ordren et on en noteM(n;R)l’ensemble.

Remarque 1.2. SoitA une matrice ayantn lignes etm colonnes. SoitX une matrice ayantmlignes et une unique colonne (matrice colonne). On a d´efini le produit deM par X en posantY =AX o`u Y est une matrice colonne ayantn lignes d´efinie par

1≤h≤n; yh=

m

X

j=1

ah,jxj .

Proposition 1.3. SoitXune matrice colonne ayantmlignes. SoientAetBdeux ´el´ements deM(n, m;R) . Alors on a

∀X ∈ M(n,1;R) ; AX=BX ⇒A=B .

D´emonstration. Il suffit de prendre pourX le vecteur colonne dont tous les coefficients sont nuls sauf celui situ´e `a la lignejqui vaut 1 . Alors on voit que l’´egalit´eAX=BXpour ce vecteur, entraˆıne l’´egalit´e des colonnes d’indicej deA et de B . Comme cela est vrai quelque soit j o`u 1≤j ≤n , on voit que A=B .

D´efinition 1.4. On appelle matrice nulle la matrice dont tous les coefficients sont nuls. On appelle matrice identit´e la matrice carr´ee dont les coefficients diagonaux sont ´egaux `a 1, les autres coefficients

´

etant nuls. Pour tout couple d’indices(i, j)(i= 1, . . . , netj= 1, . . . , m), on pourra introduire la matrice Eij dont tous les coefficients sont nuls sauf le coefficient de lai-`eme ligne et de laj-`eme colonne qui est

´

egal `a1.

D´efinition 1.5. On dira que la matrice carr´ee est diagonale si tous les coefficients sont nuls `a l’exception

´

eventuelle des coefficients ayant le mˆeme indice de ligne et de colonne (coefficients diagonaux).

D= (d1, . . . , dn) =

d1 0 0 . . . 0 0

0 d2 0 . . . 0 0

0 0 d3 . . . 0 0

... ... . .. ...

0 0 . . . dn−1 0

0 0 . . . 0 dn

(2)

On dira que la matrice carr´ee est scalaire si tous les coefficients sont nuls `a l’exception ´eventuelle des coefficients diagonaux, tous ´egaux au scalaireλ).

D= (λ, . . . , λ) =

λ 0 0 . . . 0 0 0 λ 0 . . . 0 0 0 0 λ . . . 0 0 ... ... . .. ...

0 0 . . . λ 0

0 0 . . . 0 λ

On dira que la matrice carr´ee est triangulaire sup´erieure (resp. inf´erieure) si tous les coefficients situ´es en dessous (resp. en dessus) de la diagonale sont nuls.

T+=

t11 t12 t13 . . . t1,n−1 t1n

0 t22 t23 . . . t2,n−1 t2,n

0 0 t33 . . . t3,n−1 t3,n

... ... . .. ...

0 0 . . . tn−1,n−1 tn−1,n

0 0 . . . 0 tn,n

Remarque 1.6. Soient n et m deux entiers naturels. L’ensemble M(n, m;R) des matrices ayant n lignes etm colonnes est un espace vectoriel de dimensionnms’identifiant naturellement `aRnm .

Les op´erations d’addition des matrices (composante par composante) et de multiplication par un scalaire (toujours composante par composante) en font naturellement un espace vectoriel. On pourra noter que le syst`eme des matrices (canoniques) Eij forme un syst`eme libre et g´en´erateur appel´e base canonique deMmn(R) . Bref, siM = (ai,j)i,j , on a

M =

n

X

i=1 m

X

j=1

ai,jEi,j .

D´efinition 1.7. Soientn,metptrois entiers naturels non nuls. SoitA une matrice ayantnlignes et m colonnes et B une matrice ayant mcolonnes et plignes. On d´efinit le produit C=AB des matrices A et B comme la matrice C ayant n lignes et pcolonnes dont les colonnes sont les produits des lignes deM par les colonnes deN . En d’autres termes, les coefficients de la matrice C=ABsont donn´es par

(i, k)7→

m

X

j=1

aijbjk

o`ui est l’indice de la ligne et k l’indice de la colonne de la matrice produit et l’on vient de d´efinir une multiplication de l’espaceM(n, m;R)× M(m, p;R)dansM(n, p;R)donn´ee par

A×B= (aij)i,j×(bjk)j,k= (cik)i,k=C o`u

cik=

m

X

j=1

aijbjk=ai1b1k+. . .+aimbmk .

Remarque 1.8. On notera que cette multiplication est associative et distributive par rapport `a l’addition des matrices et mˆeme lin´eaire en B et lin´eaire en A (on parle de bilin´earit´e). On notera aussi que la multiplication par une matrice (carr´ee) scalaire co¨ıncide avec la multiplication par ce mˆeme scalaire. On dit que l’espaceM(n;R)est ainsi muni d’une structure d’alg`ebre (non commutative d`es quen≥2).

(3)

Remarque. Si on regarde B comme m colonnes Ck juxtapos´ees (soit B = (C1. . . Cm)), on v´erifie que AB est tout simplement la matrice dont lesm colonnes sont les ACi (au sens de la multiplication d’une matrice par une matrice colonne). Bref notre multiplication g´en´eralise bien la notion introduite pr´ec´edemment.

Proposition 1.9. On a

0B = 0, A0 = 0 , IdmB=BIdp=B et IdnA=AIdm=A .

Remarque 1.10(ATTENTION 1). Le produit de deux matrices n’est en g´en´eral pas commutatif (n≥2).

Ainsi

E1,2E2,2= 0 1

0 0

0 0 0 1

= 0 1

0 0

=E12

mais

E2,2E1,2= 0 0

0 1

0 1 0 0

= 0 0

0 0

= 0 .

Remarque 1.11 (ATTENTION 2). Le produit de deux matrices chacune non nulle peut quand mˆeme ˆ

etre nul. C’est ce que l’on vient de voir avec l’exemple ci-dessus 0 0

0 1

0 1 0 0

= 0 0

0 0

.

Bref l’´equation AB= 0 ne signifie pas n´ecessairement queA ouB soient nulles !

D´efinition 1.12. On dira qu’une matrice non nulleAest un diviseur de0dansM(n;R)s’il existe une matrice non nulleB telle que AB= 0 .

2 Lien avec les op´ erations ´ el´ ementaires.

Echange de deux lignes. On ne change pas les solutions d’un syst`eme en ´echangeant deux lignes d’un syst`eme. On ne change donc pas le rang de M en ´echangeant deux de ses lignes. Remarquons que la nouvelle matrice est obtenue par multiplication `a gauche par la matrice

Sij =

1 . . . 0 . . . 0 . . . 0 ... 0 . . . 1 ... ... ... ... ... ... 1 . . . 0 ...

... ...

0 . . . 0 . . . 0 . . . 1

o`u les seuls coefficients non nuls et ´egaux `a 1 sont situ´es aux intersections des lignes d’indicei (resp.j) et colonnes d’indicej (resp.i).

Exemple. Soit

A=

0 −2 3 4

1 0 −3 1

−1 2 0 1

 .

Alors ´echanger les deux premi`eres lignes revient `a faire la multiplication suivante :

0 1 0 1 0 0 0 0 1

0 −2 3 4

1 0 −3 1

−1 2 0 1

=

1 0 −3 1

0 −2 3 4

−1 2 0 1

(4)

Combinaison lin´eaire de ligne. On ne change pas le rang d’un syst`eme en ajoutant `a une de ses lignes une combinaison lin´eaire des AUTRES lignes. Bref on peut remplacer (L1, L2, . . .) par (L1, L2+µL1, . . .). On ne change donc pas non plus le rang de la matrice associ´ee. Remarquons de mˆeme que cette nouvelle matrice est obtenue en multipliant `a gauche par la matrice suivante :

Tij(µ) =

1 . . . 0 . . . 0 . . . 0 ... 1 . . . 0 ... ... ... ... ... ... µ . . . 1 ...

... ...

0 . . . 0 . . . 0 . . . 1

o`u le coefficientµest plac´e dans la colonnej et la lignei; les seuls autres coefficients non nuls ´etant des 1 sur la diagonale.

Exemple. Soit

A=

1 0 −3 1

0 −2 3 4

−1 2 0 1

 .

Alors ajouter la premi`ere ligne `a la troisi`eme ligne revient `a faire la multiplication suivante :

1 0 0 0 1 0 1 0 1

1 0 −3 1

0 −2 3 4

−1 2 0 1

=

1 0 −3 1

0 −2 3 4

0 2 −3 2

 . On peut donc poursuivre par

1 0 0 0 0 1 0 1 0

1 0 −3 1

0 −2 3 4

0 2 −3 2

=

1 0 −3 1

0 2 −3 2

0 −2 3 4

 On peut enfin poursuivre par

1 0 0 0 1 0 0 1 1

1 0 −3 1

0 2 −3 2

0 −2 3 4

=

1 0 −3 1 0 2 −3 2

0 0 0 6

Multiplication par un scalaire. On ne change pas non plus le rang d’un syst`eme en multipliant une de ses ´equations par un scalaire non nul. On ne change donc pas non plus le rang de la matrice associ´ee.

Il suffit l`a encore de multiplier `a gauche par la matrice ad´equate :

Di(λ) =

1 . . . 0 . . . 0 ... ... ...

... µ ...

... ... ... 0 . . . 0 . . . 1

o`u le scalaire non nul λest plac´e sur la ligne et la colonne d’indice i(donc sur la diagonale) ; les autres coefficients non nuls ´etant des 1 sur la diagonale.

(5)

Exemple. Soit

A=

1 0 −3 1 0 2 −3 2

0 0 0 6

 .

Alors faire en sorte que les coefficients de d´ebut de ligne soient ´egaux `a1, revient `a faire la multiplication suivante :

1 0 0

0 12 0 0 0 16

1 0 −3 1 0 2 −3 2

0 0 0 6

=

1 0 −3 1

0 1 −32 1

0 0 0 1

 et l’on peut poursuivre par

1 0 −1 0 1 −1

0 0 1

1 0 −3 1

0 1 −32 1

0 0 0 1

=

1 0 −3 0

0 1 −32 0

0 0 0 1

 .

On conclut donc que la matrice 3×4 de cet exemple est de rang 3 puisque nous l’avons remplac´ee par une matrice ´echelonn´ee (de mˆeme rang) ayant trois lignes non nulles.

3 Matrices inversibles.

D´efinition 3.1. On dit que la matriceAcarr´ee d’ordrenest inversible s’il existe une matriceB carr´ee d’ordre ntelle que

AB=BA= Idn.

Remarque. On notera qu’une matriceA qui est un diviseur de 0 , ne peut ˆetre inversible. En effet, si A est un diviseur de0, il existe B non nulle telle que AB= 0 . Raisonnons par l’absurde et supposons queA soit inversible . Il existerait doncB0 telle que

AB0=B0A= Idn .

Calculons alors B0AB . Par associativit´e, B0AB = B0(AB) = A00 = 0 . Mais ´egalement B0AB = (B0A)B = IdnB = B . Nous aboutissons donc `a une contradiction B = 0 . Donc A ne peut ˆetre inversible.

Exemple. Toutes les matrices ´el´ementaires donn´ees plus haut sont inversibles. On a

SijSij = Idn (i6=j), Di(λ)Di(1/λ) =Di(1/λ)Di(λ) = Idnet Tij(µ)Tij(−µ) =Tij(−µ)Tij(µ) = Idn Exemple. Par contre les matrices canoniquesEij sont en g´en´eral des diviseurs de0. En effet on v´erifie sans peine que

EijEhk =

Eik si j=h

0 sinon

Proposition 3.2. SoitE un espace vectoriel de dimensionn. SoitB= (e1, . . . , en)une base deE. Soit B0 = (f1, . . . , fn)une autre base deE . Soit enfinP la matrice de passage deB `aB0 (dont les colonnes sont form´ees des coordonn´ees des vecteurs de la baseB0 s’exprimant en fonction de la baseB . AlorsP est une matrice inversible et son inverse est la matrice de passageQde la base B0 `a la baseB.

(6)

V´erification. On sait que, siv = (e1, . . . , en)X et v= (f1, . . . , fn)Y alorsX =P Y (les ”anciennes”

coordonn´ees s’expriment en fonction des ”nouvelles”). Si l’on ´echange les rˆoles deBetB0, on a de mˆeme Y =QX o`uQest la matrice de passage deB0 `a la base B. Alors

X =P Y =P QX etY =QX =QP Y .

Ces indentit´es sont vraies quelque soit le vecteurvou encore quelque soit les vecteurs colonnesX ouY . Aussi

P Q=QP = Idn . C’est ce que nous cherchions `a d´emontrer.

Proposition 3.3. SoitM un ´el´ement deMmn(R). Soitrun entier alors il existe des matrices inver- sibles P carr´ee d’ordrenetQ carr´ee d’ordremtelles que

— P etQsont des produits de matrices ´el´ementaires (inversibles) ;

— P M Q=

1 . . . 0 0 . . . 0 ... ... ... ... 0 . . . 1 0 . . . 0 0 . . . 0 0 . . . 0 ... ... ... ... 0 . . . 0 0 . . . 0

;

o`u le premier bloc admet r lignes etr colonnes. On appelle rang de la matrice M l’entier ainsi mis en

´

evidence.

V´erification. A l’occasion de l’´etude des syst`emes lin´eaires, on a vu que l’on pouvait, par des op´erations

´

el´ementaires, ´echelonner la matriceM . Quitte `a multiplier M `a gauche par des matrices ´el´ementaires, on sait que l’on peut la ramener `a une matrice de la forme

0 . . . 0 1 . . . ∗ . . . ∗ ∗ 0 . . . 0 0 . . . 1 . . . ∗ ∗ ... ... ... ... ... 0 . . . 0 0 . . . 0 . . . 1 . . . 0 . . . 0 0 . . . 0 . . . 0 . . . ... ... ... ... ... 0 . . . 0 0 . . . 0 . . . 0 . . .

o`u les 1 apparaissent sur les r premi`eres lignes et dans les colonnesj1 < j2 < . . . < jr . On va alors op´erer sur les colonnes de cette matrice (en multipliant cette fois `a droite par une matrice ´el´ementaire).

Tout d’abord quitte `a ´echanger les colonnes 1 etj1, resp.retjr (par des matrices de permutation), on voit que l’on peut supposer que les coefficients 1 apparaissent dans lesrpremi`eres colonnes. Soit

P MΣ =

1 . . . ∗ ∗ . . . ∗ ... ... ... ... 0 . . . 1 ∗ . . . ∗ 0 . . . 0 0 . . . 0 ... ... ... ... 0 . . . 0 0 . . . 0

(7)

o`u Σ est un produit de matrices de permutation. Il est alors simple de multiplier (`a gauche par exemple) par une matrice ´el´ementaire pour annuler les coefficients de la premi`ere ligne (au del`a de la colonne 1) resp. de lai-`eme ligne (au del`a de lai-`eme colonne). Et l’on trouve la forme cherch´ee.

Comment d´eterminer l’inverse d’une matrice ?

Soit donc une matrice carr´eeA. Nous allons donner deux m´ethodes pour d´eterminer siAest inversible et donner son inverse. Il s’agit soit de r´esoudre le syst`eme associ´e `a cette matriceAX=Y (quel que soit le vecteur colonneY) soit d’´echelonner la matriceA0= (A|Id) . Nous utiliserons les matrices

A=

0 −2 3

1 0 −3

−1 2 0

 et

B =

0 −2 4

1 0 1

−1 2 1

 .

Premier exemple : r´esolvons le syst`eme AX = Y o`u A est la premi`ere matrice, X est le vecteur colonne de coordonn´ees (x, y, z) et Y de coordonn´ees (a, b, c) .

−2y+ 3z = a x−3z = b

−x+ 2y = c Il est ´equivalent `a

x−3z = b

−x+ 2y = c

−2y+ 3z = a puis `a

x−3z = b

2y−3z = b+c

−2y+ 3z = a puis `a

x−3z = b

2y−3z = b+c 0 = a+b+c

On voit donc que le syst`eme obtenu fait intervenir une ´equation de compatibilit´e. Le syst`eme n’admet donc de solutions que lorsque le vecteur colonneY v´erifie cette ´equation. Le syst`eme n’est donc pas de rang 3 . La matrice associ´ee ne peut ˆetre de rang 3 donc n’est pas inversible.

Si l’on ´echelonne la matrice

0 −2 3 1 0 0

1 0 −3 0 1 0

−1 2 0 0 0 1

 on obtient successivement

1 0 −3 0 1 0

0 −2 3 1 0 0

−1 2 0 0 0 1

 puis

1 0 −3 0 1 0

0 −2 3 1 0 0

0 2 −3 0 1 1

(8)

1 0 −3 0 1 0

0 −2 3 1 0 0

0 0 0 1 1 1

 . On pourra remarquer que la matrice

C=

0 −2 2

1 0 −3

−1 2 0

 est, quant `a elle, inversible (en suivant la mˆeme m´ethode).

Deuxi`eme exemple : r´esolvons le syst`emeBX =Y o`u B est la deuxi`eme matrice,X est le vecteur colonne de coordonn´ees (x, y, z) et Y de coordonn´ees (a, b, c) .

−2y+ 4z = a

x+z = b

−x+ 2y+z = c Il est ´equivalent `a

x+z = b

−2y+ 4z = a

−x+ 2y+z = c puis `a

x+z = b

−2y+ 4z = a 2y+ 2z = b+c puis `a

x+z = b

−2y+ 4z = a 6z = a+b+c et enfin

x = −a+5b−c6 y = −a+2b+2c6 z = a+b+c6 La matrice inverse de B est donc

16 5616

16 13 13

1 6

1 6

1 6

 . Si l’on ´echelonne la matrice

0 −2 4 1 0 0

1 0 1 0 1 0

−1 2 1 0 0 1

 on obtient

1 0 1 0 1 0

0 −2 4 1 0 0

−1 2 1 0 0 1

1 0 1 0 1 0

0 −2 4 1 0 0

0 2 2 0 1 1

(9)

1 0 1 0 1 0

0 1 1 0 12 12

0 0 6 1 1 1

1 0 0 −16 56 0 0 1 0 −16 13 13 0 0 1 16 16 16

 .

Proposition 3.4. SoitBune matrice inversible. Si l’on ´echelonne la matrice(B|Id)(`a l’aide d’op´erations

´

el´ementaires) et que l’on obtient la matrice(Id|A), alors Aest la matrice inverse de B . D´emonstration. On a donc l’identit´e

(P1P2. . . PlM|P1P2. . . PlId) = (Id|N) soit

P1P2. . . PlM = Id etP1P2. . . Pl=N . Cela permet de conclure.

Remarque 3.5. On a v´erifi´e queA(carr´ee d’ordren) ´etait inversible si et seulement si son rangr´etait maximal c’est `a dire ´egal `an.

D´efinition 3.6. On note GL(n;R)l’ensemble des matrices carr´ees d’ordre ninversibles. Il s’agit d’un groupe (non commutatif d`es quen≥2) pour la multiplication des matrices.

Références

Documents relatifs

Ces règles sont en fait autant d’instances différentes d’une seule et même règle qui associe à deux doublons de booléens un troisième doublon dont les coordonnées sont

Démontrer les trois conjectures émises à la question

Bloc de Jordan, Réduction de Jordan, cas algébriquement clos, éléments car- actérisant les orbites diagonalisables, contre-exemples non-semblables, nombre d’orbites

cette matrice étant triangulaire inférieure, ses valeurs propres sont les coecients de sa diagonale : 4, 1 et

La présentation, la lisibilité et la qualité de la rédaction entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.. L'utilisation de toute calculatrice, de tout

Dans les deux questions, la solution est essentiellement donnée via des calculs matriciels mettant en œuvre les propriétés relatives aux matrices inverses

Ici, au regard de la définition de la matrice M, on peut s’intéresser à la résolution d’un système en tirant parti de la structure en bloc de

On demande ici de montrer que certaines familles sont des bases et de préciser les matrices de passage à partir d'une base xée.. Les vecteurs de ces familles (les a i ) sont