Le 11/01/2016 - b durée : 2 heures
Final - mt25
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Exercice 1 : Vrai ou Faux ( 5points )
Indiquer pour chacune des cinq armations suivantes si elle est Vraie ou Fausse. Justier chaque réponse.
1. SoitA∈M3(C) une matrice carrée d'ordre 3 à coecients complexes telle que A3 =I3. Alors le déterminant deA est nécessairement égal à 1.
2. La matrice
4 0 0 5 1 0
−8 3 0
est diagonalisable dansM3(R).
3. Dans l'espace vectoriel R3 muni du produit scalaire usuel, le projeté orthogonal du vecteur
−
→u = (1,2,3)sur le planF d'équationx+y+z= 0, est le vecteur−→w = (−1,0,1). 4. On noteB0 la base canonique de l'espace euclidien orienté R3. Dans la baseB0,
la matrice A= 1 3
2 1 2
2 −2 −1
−1 −2 2
représente une symétrie orthogonale par rapport à un plan.
5. Soit f :R−→R la fonction2π−périodique dénie par : f(x) =
1 si x∈[0, π]
−1 si x∈]−π ,0[
Alorsf est partout égale à la somme de sa série de Fourier.
Exercice 2 : série exponentielle ( 4points )
On pose pour tout entier natureln, un= (n+ 1)2 n! 2n 1. Établir la convergence de la série X
un.
2. Déterminer les trois constantes réellesa, b etc telles que pour tout entier natureln, (n+ 1)2 =a n(n−1) +b n+c
3. Calculer la somme
+∞
X
n=0
(n+ 1)2 n! 2n
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Exercice 3 : courbe paramétrée ( 5points )
On admet que lim
t→0tlnt= 0 et que lim
t→0t(lnt)2= 0. Dans le plan rapporté à un repère orthonormé
O;−→ i ,−→
j
, on considère la courbeC de représentation paramétrique
x(t) = t2 lnt
y(t) = t(lnt)2 avec t∈]0,+∞[.
On noteM(t) le point de la courbeC associé au paramètre t.
1. Calculer les dérivées des fonctions xety sur l'intervalle ]0,+∞[.
2. Dresser le tableau des variations conjointes det7−→ x(t), y(t) . 3. On a représenté ci-dessous la courbeC.
Préciser les coordonnées des points A et B de C, en lesquels les tangentes sont parallèles respectivement à l'axe (O;−→
i )et à l'axe(O;−→ j ).
4. Montrer que la courbe C admet une branche innie dont on précisera la nature (asymptote ou branche parabolique).
Exercice 4 : symétrie orthogonale ( 7points )
On munitR3 de sa structure euclidienne canonique. Soit B0= (e1, e2, e3)la base canonique de R3. On désigne parF le sous-espace vectoriel de R3 engendré par les vecteursu= (1,1,1)etv= (1,2,3).
1. Construire une base orthonormale (ε1, ε2) de F.
Compléter cette base en une base orthonormale directeB0 de R3. 2. Soitp la projection orthogonale surF.
(a) Déterminer la matriceA de pdans la base canonique B0. (b) Calculer la distance du vecteure1 au sous-espace F. 3. Soitsla symétrie orthogonale par rapport àF.
(a) Exprimersen fonction dep et de l'application identité de R3. (b) En déduire la matriceB des dans la base canoniqueB0.
(c) Donner une matrice diagonaleD et une matrice orthogonaleP telles que B=P DtP
4. Soitk un nombre réel. On considère la matrice M =
k+ 2 2 −1
2 k−1 2
−1 2 k+ 2
. (a) ExprimerM comme combinaison linéaire des matricesB etI3.
(b) Diagonaliser sans calcul la matriceM.
(c) En déduire le déterminant deM. Pour quels réelsk la matrice M est-elle inversible ?
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