La qualité de la rédaction et de la présentation entrera pour une part importante dans la notation de la copie.

Nom : . . . .

Devoir surveillé n°2

L’énoncé est à rendre avec sa copie. Penser à écrire son nom sur cet énoncé.

La qualité de la rédaction et de la présentation entrera pour une part importante dans la notation de la copie.

Le barème n’est qu’indicatif (le devoir est noté sur 30 points).

E

1 (8 points).

Soit ABC un triangle ; soit I le milieu de [ AC] ; soient K et L tels que

−−→ AK =

−→ AB et −→ BL = 2 C B −→ .

On souhaite démontrer de deux façons différentes que les points I , K et L sont alignés.

Partie A : Méthode sans repère 1. Faire une figure.

2. Exprimer −→ K L en fonction de −→ AB et C B −→ . 3. Exprimer −→ I K en fonction de −→ AB et C B −→ . 4. Conclure.

Partie B : Méthode avec repère On choisit le repère ³

A ; −→ AB , −→ AC ´ .

1. Donner les coordonnées de A, B , C et I . Aucune justification n’est demandée.

2. Montrer que les coordonnées de K et L sont : K ¡

5

; 0 ¢

et L (3 ; − 2).

3. Montrer que les points I , K et L sont alignés.

E

2 (9 points).

Dans un repère orthonormé, on considère les points A (1 ; 3), B (5 ; 1) et C (4 ; 5).

Les 3 questions sont indépendantes.

1. On considère la droite D d’équation − x + 2y − 9 = 0.

(a) Représenter D dans le repère ci-contre.

(b) Déterminer une équation de la droite (AB ).

(c) Montrer que les droites (AB ) et D ne sont pas parallèles.

(d) Déterminer les coordonnées du point d’intersection de ces deux droites.

2. (a) Déterminer les coordonnées du point E, milieu de [ AB ].

(b) Déterminer une équation cartésienne de la médiane issue de C dans le triangle ABC .

(c) Déterminer les coordonnées de G, centre de gravité du trian- gle ABC .

3. (a) Déterminer les coordonnées du point D tel que ABC D soit un parallélogramme.

(b) D appartient-il à la médiatrice de [ AC ] ? Peut-on affirmer que ABC D est un losange ?

1 2 3 4 5 6 7

− 1

1 2 3 4 5

− 1

− 2

x

y

E

3 (7,5 points).

Dans un repère orthonormé, on considère les points suivants :

• A ( − 3 ; 2) • B (1 ; 0) • C ( − 3 ; − 2) • D (3 ; 4) • E (3 ; − 1) On complètera la figure ci-contre au fur et à mesure de l’exercice.

On pourra vérifier les résultats graphiquement mais aucun résultat obtenu graphiquement ne sera validé.

1 2 3 4

− 1

− 2

− 3

− 4

− 5

− 6

1 2 3 4 5 6 7

− 1

− 2

− 3

− 4

x y

1. Déterminer une équation cartésienne de la droite D de vecteur di- recteur − → u ( − 1 ; 4) passant par C .

2. Déterminer une équation cartésienne de la droite D

parallèle à (C D) passant par E.

3. (a) Déterminer une équation du cercle C de centre E et passant par le point D.

On donnera l’équation sous forme développée et réduite.

(b) Montrer que le cercle C coupe l’axe des ordonnées en deux points dont on déterminera les coordonnées.

4. Soit Γ l’ensemble des points M (x ; y) tels que x

+ y

+ 2x − 2y − 3 = 0

(a) Montrer que Γ est un cercle dont on déterminera le centre et le rayon.

(b) Le point A appartient-il à Γ ? Justifier.

5. Question bonus (hors barème) : à ne traiter que si le devoir a été entièrement fait et relu.

Montrer que les cercles C et Γ se coupent en deux points.

Déterminer les coordonnées des points d’intersection.

E

4 (5,5 points).

Sur la figure ci-contre :

• ABC D est un rectangle de périmètre 20

• BGC est un triangle rectangle et isocèle en G On pose BC = x.

1. Justifier que x ∈ [0 ; 10].

2. On note f (x) l’aire totale composée par le rectangle ABC D et le triangle BGC .

(a) Montrer que f (x) = −

x

+ 10x.

(b) En déduire la valeur exacte de x pour que l’aire totale soit maximale. Quelle

est alors cette aire ?

b bb

b

A

B C

D G

3. (a) Déterminer le signe de P (x) = −

x

+ 10x sur [0 ; 10].

(b) En déduire les valeurs de x pour lesquelles l’aire du rectangle

est inférieure à celle du triangle.