Pro : Pour l’action par translation à gauche, on peut ramener une matrice à une matrice échelonnée en lignes

Leçon 150 - Exemples d’actions de groupes sur les espaces de matrices.

Cadre : E est un K-ev de dimension finie n≥1. On aK =RouClorsque l’on parle de topologie.

1. Action par translation - Pivot de Gauss. —

– Def : Gln(K) agit par translation à gauche surMn,m(K) avec : A.M :=AM.

– Pro : L’orbite de M par l’action de translation à gauche est caractérisée parKer(M).

– Def : Matrice échelonnée en lignes, en colonnes.

– Def : Pivot de Gauss à gauche.

– Rem : Utilisation du Pivot de Gauss pour résoudre des systèmes linéaires.

– Pro : Pour l’action par translation à gauche, on peut ramener une matrice à une matrice échelonnée en lignes.

– Def : Gl_m(K) agit par translation à droite surM_n,m(K) avec : A.M :=M A⁻¹ – Pro : L’orbite de M par l’action de translation à droite est caractérisée parIm(M).

– Rem : On obtient de même une méthode de Pivot de Gauss à droite.

– Pro : Pour l’action par translation à droite, on peut ramener une matrice à une matrice échelonnée en colonnes.

– App : Les transvections engendrentSln(K). Les transvections et dilatations engen- drentGln(K).

2. Action de Steinitz - Matrices équivalentes. — 1. Orbites et rang. —

– Def : Gl_n(K)×Gl_m(K) agit par équivalence sur M_n,m(K) avec : (A, B).M :=

AM B⁻¹.

– Def+Pro : Deux matrices M,M’ dans la même orbite pour cette action sont dites équivalentes.

M et M’ sont équivalentes ssi elles représentent la même application linéaire dans deux paires de bases différentes.

– Pro : Toute matrice M ∈ Mn,m(K) est équivalente à une matrice Jr, pour un 0≤r≤min(m, n). Les orbites de l’action de Seinitz sont caractérisées par le rang, et un système de représentants est{Jr,0≤r≤min(m, n)}.

– App : rg(A) =rg(A^t).

– App : Soit k un sous-corps de K. Deux matrices de Mn,m(k) équivalentes dans Mn,m(K) le sont dansMn,m(K).

– Pro : Nombre de matrices de rang r dansM_n,m(Fq) pourq=p^l. 2. Topologie des orbites (surRouC). —

– Pro : L’adhérence de l’ensemble des matrices de rang r deM_n,m(K) est l’ensemble des matrices de rang≤r.

– Rem : Gl_n(K) est dense dansM_n(K).

– Pro : Gln(K) est l’unique orbite ouverte deMn(K) pour l’action par équivalence.

– Cor : Le rang n’est pas une application continue surMn,m(K).

– Pro : Pour tout 0≤r≤min(n, m), l’ensemble des matrices de rang r de mn,m(K) est connexe.

3. Action par conjugaison - Matrices semblables. — 1. Généralités. —

– Def : On fait agirGln(K) par conjugaison surMn(K) avec : P.M=P M P⁻¹. Deux matrices M,M’ sont semblables s’il existe P tqM⁰ =P.M.

– Pro : La conjugaison d’une matrice revient à faire un changement de base pour un emdomorphisme deKⁿ.

– Def : M est diagonalisable si elle est semblable à une matrice diagonale.

M est trigonalisable si elle est semblable à une matrice triangulaire supérieure.

– Pro : Deux matrices semblables ont même rang, même det, même polynôme carac- téristique, même polynôme minimal.

– Thm : Une matrice est diagonalisable sur K ssi son polynôme minimal est scindé à racines simples sur K.

Une matrice est trigonalisable sur K ssi son polynôme minimal est scindé sur K ssi son poly caractéristique est scindé sur K.

– Rem : Ainsi, sur un corps algébriquement clos, toute matrice est semblable à une matrice triangulaire supérieure.

2. Classification des orbites. —

– Pro : Les classes de similitude de matrices diagonalisables sont caractérisées par le polynôme caractéristique et le polynôme minimal d’un représentant.

– Contre-ex : Diag(1,2,2) etDiag(1,1,2) sont diagonales, ont même polynôme min- imal mais ne sont pas semblables.

– Def : Le bloc de Jordan de tailler≥1 associé àλ∈K, et notéJr(λ), est la matrice deMr(K) avecλsur la diagonale, et des 1 juste au-dessus de la diagonale.

– Théorème de réduction de Jordan des endomorphismes trigonalisables : Soit f ∈ End(E) trigonalisables. Soientλi les valeurs propres de f. Alors il existe une base B de E dans laquelleM at(f, B) est une matrice diagonale de blocs de JordanJr_i,j(λi).

– Pro : Les classes de similitude de matrices trigonalisables sont caractérisées par les blocs de Jordan.

– Contre-ex : Diag(J2(0),0,0) et Diag(J2(0), J2(0)) sont triangulaires supérieures, ont même polynôme minimal, même polynôme caractéristique, mais ne sont pas semblables.

– Rem : Une matrice est nilpotente ssi elle est trigonalisable et si toutes ses valeurs propres sont nulles.

– App : Le nombre de classes d’équivalence de matrices nilpotentes deM_n(K) est égal au nombre de partitions de l’entier n.

– App : Sur un corps algébriquement clos, M est semblable àλM pour unλ∈K ssi M est nilpotente.

1

– Dev : Soitn≥1 etA∈Mn(C). On a les propriétés suivantes :

i) La matrice A est nilpotente ssi 0 appartient à l’adhérence de la classe de similitude de A.

ii) La matrice A est diagonalisable ssi la classe de similitude de A est fermée.

– Pro : Si K est infini, M etM^tsont semblables.

– Def : Invariants de similitude.

– Def : Matrice compagnon.

– Thm : Réduction de Frobenius.

– Ex : Classes de similitude en dimension 2,3.

– Dev : Théorème de Brauer : SoitKun corps de caractéristique quelconque,n≥1, etσ, σ⁰∈Σn.

Alorsσetσ⁰sont conjuguées si et seulement si leurs matrices de permutationTσ, Tσ⁰

sont semblables dansGln(K).

3. Actions deOn(R)et deUn(C). —

– Def : On fait agir le sous-groupeOn(R) par conjugaison surMn(R).

– Rem : L’action par conjugaison de On(R) est équivalent à un changement de bon surRⁿ.

– Def : f ∈ End(E) est dit normal ssi f ◦f^∗ =f^∗◦f. Sur un espace euclidien, la version matricielle correspondante estM M^t=M^tM.

– Théorème de réduction des endomorphismes normaux : Soit f un endomorphisme normal. Il existe une base orthonormée B de E dans laquelle on a :

M at(f, B) =Diag(λ₁, .., λ_r, P₁, .., P_s) avecλ_i∈RetP_j=

a_j −b_j b_j a_j

,a_j, b_j∈R. – App : PourM ∈A_n(R), il existeP ∈O_n(R) tqP M P⁻¹ =Diag(0, ..,0, P₁, .., P_s)

avecP_j=

0 −bj

bj 0

,b_j∈R. SiM ∈Sn(R), on a alorss= 0.

SiM ∈On(R), alors|λi|= 1 eta²_j+b²_j = 1.

– App : SOn(R) est connexe par arcs.

– App : On peut définir la racine carrée d’une matrice symétrique définie positive.

– Rem : Sur un espace hermitien, un endomorphisme normal revient à avoir une matrice M telle queM M^t=M^tM.

On obtient alors un résultat de réduction par similitude similaire, mais avecUn(C) à la place deOn(R), etDiag(aj+ibj, aj−ibj) à la place de

aj −bj

b_j a_j

4. Action par congruence - Matrice congruentes. —

– Def : On fait agirGl_n(K) par congruence surM_n(K) par : P.M=P M P^t. Deux matrices M et M’ dans la même orbite sont dites congruentes.

– Rem : Faire agir P sur M par congruence revient à faire un changement de base pour la forme bilinéaire (X, Y)7→X^tM Y associée à M.

– Rem : Pour q une forme quadratique surE, un changement de baseB →B⁰revient à faire agir la matrice de passagePB→B⁰ par congruence àM at(b, B), où b est la forme bilinéaire symétrique associée à q.

– Def : Deux formes quadratiques sont dites équivalentes ssi leurs formes polaires sont congruentes.

On définit le rang de q parrg(q) :=rg(b).

– Thm : SiK=Cetrg(q) =r, alors q est équivalente àx7→x²₁+· · ·+x²_r.

– Théorème d’inertie de Sylvester : SiK=Ret q est de rang r, alors on a un 0≤p≤r tel que q soit équivalente àx7→x²₁+· · ·+x²_p−(x²_p+1+· · ·+x²_r).

On dit alors que q est de signature (p, r−p) et ce couple ne dépend que de q.

– App : Une forme quadratique réelle est définie ssir=q. Elle est positive ssip=r et négative ssip= 0.

– Ex : Pourn= 2 etq((x, y)) =ax²+bxy+cy² aveca >0, on a det(A)≡b²−4ac et le signe deb²−4ac détermine la signature de q.

– App : Il y a n+1 classes d’équivalences de formes quadratiques non-dégénérées sur Rⁿ.

– Rem : Dans l’étude du groupe orthogonal, on peut s’intéresser àO(sign(q)) plutôt queO(q) car ces groupes sont conjugués.

– Thm : Si K =Fl et rg(q) = r, alors q est équivalente àx 7→ x²₁+· · ·+x²_r ou à x7→ε.x²₁+x²₂+· · ·+x²_r, avecεun non-carré deFl.

– Dev : Loi de réciprocité quadratique : Soient p,m des nombres premiers impairs distincts.

Alors (_m^p) = (^m_p).(−1)^{p−12 .m−12} , où (^x_p) =







1 si x est un carré mod(p) 0 six= 0 mod(p)

−1 sinon Références

Caldero, Germoni : Action par translation à gauche, caractérisée par le noyau,dilatation, transvection,permutation,conséquences sur les lignes/colonnes, définition du pivot, ma- trice échelonnée en lignes, un exemple, décomposition en orbites (par la méthode du pivot de Gauss), action par translation à droite, orbites caractérisées par l’image, matrices éch- elonnées par colonnes, les transvections engendrentSln(K). Action par équivalence, deux mat équivalentes représentent le même morphisme, orbites caractérisées par le rang, les Jr représentent les orbites, nombre de matrices de rang r de Mn,m(Fq). Adhérence des orbites,Gln(K) dense et seule orbite ouverte, rang pas continu, les orbites sont connexes.

Action par congruence, matrices congruentes, lien avec les formes quadra, classification des formes quadra, Th de Sylvester, Loi de réciprocité quadratique.(Dev)

Gourdon : Action par conjugaison, matrices semblables, revient à un chgt de base d’endomorphisme, invariance de χ_M et µ_M, trigonalisable, diagonalisable, caractérisa- tions. Bloc de Jordan, Réduction de Jordan, cas algébriquement clos, éléments car- actérisant les orbites diagonalisables, contre-exemples non-semblables, nombre d’orbites nilpotentes, invariants de similitude, matrice compagnon, réduction de Frobenius, ex en dim 2,3. Action de On(R) par conjugaison, endomorphismes normaux, réduction, cas

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An(R),Sn(R),On(R), SOn(R) connexe, racine carrée dans S_n⁺⁺(R), exp homéo, résultats similaires avecHn(C) surC.

Objectif Agrégation : rg(A) =rg(A^T), si A equiv à A’ sur L, alors c’est vrai sur K.

FGN (Algèbre 1) : Topologie des classes de similitude.(Dev) Sans Ref : Théorème de Brauer.(Dev)

June 7, 2017

Vidal Agniel,École normale supérieure de Rennes

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