Université BORDEAUX 1 L2/2013 Algèbre 2
Liste d’exercices no 6
(Réduction de Jordan, décomposition de Dunford)
Exercice 1
Déterminer les réduites de Jordan des matrices suivantes :
A=
4 0 −1
−1 1 3
0 −1 4
, B =
4 1 −2
−1 2 2
0 0 3
, C =
4 1 −3
−1 2 1
0 0 2
.
Exercice 2 Soit la matrice
A=
−2 −1 1 2
1 −4 1 2
0 0 −5 4
0 0 −1 −1
.
1.Calculer le polynôme caractéristique deA.
2.La matrice Aest-elle diagonalisable ? 3.Déterminer une réduite de Jordan de A.
4.Quel est le polynôme minimal de A?
5.Expliquer pourquoiA est inversible et calculerA−1.
Exercice 3 Soit la matrice
A=
−3 1 −3 5
1 −3 5 −3
1 1 −3 1
1 1 1 −3
.
1.Déterminer les valeurs propres de A.
2.Déterminer les sous-espaces propres de A. La matriceA est-elle diagonalisable ?
3.Déterminer une réduite de Jordan deAet une base de Jordan deA(base deR4 dans laquelle l’endomorphisme de matriceA dans la base canonique admet cette réduite comme matrice).
4.Quel est le polynôme minimal de A?
Exercice 4
SoitA∈M5(R) semblable à
B=
3 1 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 3 1 0 0 0 0 3
.
1.Quels sont les valeurs propres deA? 2.La matrice Aest-elle diagonalisable ?
3.Quelles sont les dimensions de Ker(A−3I5),Ker(A−3I5)2,Ker(A−3I5)3? 4.Quel est le polynôme minimal de A?
Exercice 5
1.SoitAune matrice à coefficients réels de polynôme caractéristiqueχA(X) = (X−2)2(x−4)3 et de polynôme minimal µA(X) = (X −2)(X −3)2. Quelles sont les formes possibles d’une réduite de Jordan deA?
2. Même question avec une matrice B vérifiant χB(X) = (X−1)3(X+ 1)5 et µB(X) = (X− 1)2(X+ 1)3.
Exercice 6 Soit la matrice
A=
3 −1 1 0
3 0 0 1
1 0 0 1
0 1 −2 2
.
1.Calculer le polynôme caractéristique deA.
2.Déterminer une réduite de Jordan de Aet une base de Jordan associée.
3.Quel est le polynôme minimal de A?
4.Déterminer la décomposition de Dunford de A.
5.CalculerAn pourn∈N.
6. Expliquer pourquoi A est inversible et calculer A−1, soit à l’aide de la décomposition de Dunford deA, soit à l’aide du polynôme minimal deA.
