rapporté à sa base canonique, on considère l'endomorphisme f de matrice A =  2 3 1 – – 0 4 2 12 4 5 

PC : Semaine 6  Réduction ( début) et déterminants

Dans ℝ

rapporté à sa base canonique, on considère l'endomorphisme f de matrice A =  ^{2 3 1 – – 0 4 2 12 4 5} 

1. Déterminer les réels  pour lesquels f –  I n'est pas inversible.

2. Déterminer les noyaux des endomorphismes ^{f –  I} pour les  obtenus.

3. En déduire une base de _ℝ

dans laquelle la matrice de f est diagonale.

M =  ^{– 1 2 1 1 0 1 0 1 2 0 1 1 – 0 0 1 1}  ^{∈ M}

^ℝ

1. On considère que ^{M =mat}

u où ^{B =e}



. En remarquant que ^{u e}

=e

 e

et que u e

=– e

e

, montrer que M est semblable à une matrice de la forme N =  ^A 0 ^B C  ^{avec A}

appartenant à M

ℝ . 2. Calculer det M  .

On considère la matrice A =





1. Soit 

un réel. Démontrer que la matrice A –  I est inversible si et seulement si ∉{- ; }. 1 2

2. On désigne par c la base canonique de ℝ

, f l'endomorphisme de ℝ

dont la matrice dans la base c est A .

a. Déterminer Ker  f  Id  et ker  f – 2 Id  en donnant des bases b

et b

de ces sous-espaces.

b. Montrer qu'en réunissant ^b

et ^b

, on obtient une base b de ℝ

. c. Déterminer la matrice D représentant f dans la base b .

d. Calculer la matrice de passage P de la base c à la base b , ainsi que son inverse P

. e. En déduire A

pour n ∈ ℕ.

Soit a , b , c ∈ℝ

tel que a

 b

 c

=1 . On note ^A =  ^{a b c b c a c a b}  ^{∈ M}

^{ℝ .}

1. Calculer det  A . En posant s= ∣ ab c ∣ , prouver que ∣ det  A  ∣ = 1

2 s 3− s

 2. Montrer que ∣ det  A ∣ 1

1.

2.

3.

4.