1. Matrice d'un endomorphisme dans une base orthonormée . . . . 1

Isométries vectorielles

Rédaction incomplète. Version 0.2

Plan

I. Isométries vectorielles d'un espace euclidien . . . . 1

1. Matrice d'un endomorphisme dans une base orthonormée . . . . 1

2. Conservation du produit scalaire . . . . 2

3. Matrices orthogonales . . . . 3

4. Orientation - Déterminant . . . . 4

II. Isométries vectorielle en dimension 2 . . . . 4

III. Isométries vectorielles en dimension 3 (hors programme) . . . . 5

1. Produit vectoriel . . . . 5

1. Matrice antisymétrique . . . . 6

2. Description géométrique . . . . 6

2. Rotations et rotations-miroirs . . . . 6

3. Classication. . . . 7

1. Droite stable . . . . 7

2. Élements géométriques d'une matrice orthogonale : pratique . . . . 7

3. Décompositions en réexions ou retournements . . . . 7

Index

équation − → a ∧ − → x = − → b , 6 angle orienté de deux droites, 4 angle orienté de deux vecteurs, 4 automorphisme orthogonal, 2

formule du double produit vectoriel, 6 groupe orthogonal, 2

groupe spécial orthogonal, 2 isométrie vectorielle, 2

matrice antisymétrique, 6 matrice orthogonale, 3 produit mixte, 4, 5 réexion, 2

rotation, 4, 6 rotation-miroir, 6 symétrie orthogonale, 2

Les sections II et III reproduisent la dénition du produit vectoriel introduit dans le document sur la Géométrie élémentaire de l'espace.

I. Isométries vectorielles d'un espace euclidien

1. Matrice d'un endomorphisme dans une base orthonormée

Proposition. Soit U = (u 1 , · · · , u p ) une base orthonormée d'un espace euclidien E dont le produit scalaire est noté (./.) , soit f un endomorphisme de E . Pour i et j entre 1 et p , le terme i, j de la matrice de f dans U est

(u i /f(u j )).

Preuve. Soit A = Mat U f , par dénition :

f (u _j ) =

p

X

k=1

a _k,j u _k .

En formant le produit scalaire contre u i , comme la base est orthonormée, tous les (u k /u j ) sont nuls sauf pour k = i où le terme vaut 1 . On en déduit la formule annoncée.

La proposition suivante permet de caractériser les endomorphismes dont la matrice dans une base orthonormée

est symétrique.

Proposition (hors programme). Soit E un espace euclidien dont le produit scalaire est noté (./.) et f un endo- morphisme de E . Les deux propriétés suivantes sont équivalentes :

(1) ∀(x, y) ∈ E ² : (f (x)/y) = (x/f (y)).

(2) Pour toute base orthonormée U : Mat

U f est symétrique .

Exemple. Les projections orthogonales vérient cette propriété. Les anités orthogonales qui sont des combi- naisons linéaires de projections orthogonales la vérient aussi. Les symétries orthogonales qui sont des anités particulières la vérient aussi.

En eet, soit p une projection orthogonale sur A . Introduisons la projection orthogonale q sur A ^⊥ . On a alors : (p(x)/y) = (p(x)/p(y)) + (p(x), q(y))

| {z }

=0

= (p(x)/p(y)) + (q(x), p(y))

| {z }

=0

= (x, p(y)

Exercice traité en classe Eao10 : adjoint d'un endomorphisme, image et noyau, équations linéaires sans solution.

2. Conservation du produit scalaire

Dans un espace euclidien E avec un produit scalaire (./.) , on dira qu'un endomorphisme f conserve le produit scalaire si et seulement si :

∀(x, y) ∈ E ² : (f (x)/f(y)) = (y/y).

On dira que f conserve la norme si et seulement si :

∀x ∈ E : kf (x)k = kxk.

Comme kxk = p

(x/x) , tout endomorphisme qui conserve le produit scalaire conserve la norme. Réciproquement, comme (x/y) = ¹ ₄ kx + yk ² − kx − yk ²

, tout endomorphisme qui conserve la norme conserve le produit scalaire.

Remarque. On peut montrer (exercice Eee01 de la feuille sur les espaces euclidiens) que si f est une application quelconque dans un espace euclidien E (elle n'est pas supposée linéaire) la conservation du produit scalaire entraine la linéarité.

Dénition. Dans un espace euclidien E , un endomorphisme est une isométrie vectorielle (on dit aussi endomor- phisme orthogonal) si et seulement si il conserve le produit scalaire (ou la norme). L'ensemble des endomorphismes orthogonaux est noté O(E) .

Proposition. L'ensemble des endomorphismes orthogonaux (O(E), ◦) est un sous-groupe du groupe (GL(E), ◦) des automorphismes de E .

Preuve. En eet tout f orthogonal est bijectif car son noyau est réduit à {0 E } à cause de la conservation de la norme. Il est évident que si f et g sont orthogonaux alors f ◦ g et f ⁻¹ conservent le produit scalaire et sont donc orthogonaux.

Remarque. Les mots isométrie vectorielle et automorphisme orthogonal sont strictement synonymes.

Dénition. L'ensemble des isométries vectorielles dont le déterminant est strictement positif est noté SO(E) ou O ⁺ (E) .

Remarque. L'ensemble des isométries vectorielles dont le déterminant est strictement négatif est noté O ⁻ (E) . On vérie que O ⁺ (E) est un sous-groupe de O(E) mais pas O ⁻ (E) .

Exemple. Les symétries orthogonales sont des endomorphismes orthogonaux (en particulier les réexions : sy- métries par rapport à un hyperplan).

Preuve. Supposons que f soit la symétrie orthogonale par rapport à un sous-espace A . Alors f = p _A − p _A

et :

∀(x, y) ∈ E ² , (f (x)/f(y)) = (p A (x) − p _A

(x)/p A (y) − p _A

(y))

= (p _A (x)/p _A (y)) + (p _A

(x)/p _A

(y)) − ((p _A (x)/p _A

(y)) + (p _A

(x)/p _A (y)))

| {z }

=0

= (p A (x)/p A (y)) + (p _A

(x)/p _A

(y)) + ((p A (x)/p _A

(y)) + (p _A

(x)/p A (y)))

| {z }

=0

= (p A (x) + p _A

(x)/p A (y) + p _A

(y)) = (x/y).

Ceci traduit qu'une symétrie orthogonale conserve le produit scalaire.

Proposition. Un endomorphisme f de E euclidien est orthogonal si et seulement si l'image par f d'une base orthonormée est une base orthonormée.

Preuve. Un sens est évident, l'autre résulte de la bilinéarité du produit scalaire.

3. Matrices orthogonales

Dénition. Une matrice A à p lignes et p colonnes est dite orthogonale lorsque

t AA = I p .

Notation. L'ensemble des matrices orthogonales à p lignes et p colonnes est noté O p ( R ) .

Remarque. Comme det ^t P = det P , le déterminant d'une matrice orthogonale est ±1 . On note SO p ( R ) ou O ⁺ _p ( R ) l'ensemble des matrices orthogonales de déterminant +1 et O ⁻ _p ( R ) l'ensemble des matrices orthogonales de déter- minant −1 .

Remarque.

t AA = I _p ⇔ A ^t A = I _p ⇔ ^t A = A ⁻¹ .

En eet, lorsque le produit de deux matrices carrées est égal à 1. Le produit des déterminants de ces matrices est aussi égal à 1. Elles sont donc inversibles. En multipliant par l'inverse de l'une, on montre qu'elles sont inverses l'une de l'autre. Ainsi une matrice est orthogonale si et seulement si elle est inversible avec son inverse égale à sa transposée.

Proposition 1. (O _p ( R ), ×) est un sous-groupe de (GL _n ( R ), ×) et (SO _p ( R ), ×) est un sous-groupe de (O _p ( R ), ×) . On a déjà déni le produit scalaire canonique sur les matrices colonnes :

∀(X, Y ) ∈ C n,1 ( R ) ² (X, Y ) → ^t X Y = (X/Y )

Il permet de caractériser l'orthogonalité d'une matrice par une propriété de ses colonnes.

Proposition 2. Une matrice est orthogonale si et seulement si la famille formée par ses colonnes est orthonormée pour le produit scalaire canonique.

Preuve. à compléter

Proposition 3. Soit E euclidien de dimension p , soit U une base orthonormée de E et f ∈ L(E) . Alors f est une isométrie vectorielle si et seulement si Mat _U f est orthogonale.

Preuve. à compléter

Remarque. Le déterminant d'une isométrie vectorielle est donc +1 ou −1 .

Proposition 4. Soit A une base orthonormée, B une base et P = P _AB la matrice de passage. Alors B est une base orthonormée si et seulement si P est orthogonale.

Remarque. Dans une formule de changement de base pour un endomorphisme, si les deux bases sont orthonormées, on peut écrire ^t P au lieu de P ⁻¹ .

Preuve. à compléter

Proposition (hors programme). Soit E euclidien et f ∈ L(E) . L'application f est une symétrie orthogonale si et seulement si sa matrice dans une base orthonormée directe est symétrique et orthogonale.

Preuve. Supposons que f soit la symétrie orthogonale par rapport à un sous-espace A . Soit A la matrice de f dans une certaine base orthonormée. On sait déjà que A est orthogonale car f est une isométrie. On en déduit A ⁻¹ = ^t A . Comme f est une symétrie f ^c ircf = Id E donc A ² = I donc A ⁻¹ = A . On en déduit ^t A = A c'est à dire que A est symétrique.

Réciproquement, si la matrice A d'un endomorphisme f dans une base orthonormée est symétrique et orthogonale, alors

t A = A (symétrique)

t A = A ⁻¹ (orthogonale) )

⇒ A = A ⁻¹ ⇒ A ² = I ⇒ f ² = Id

E .

On en déduit que f est la symétrie par rapport à A = ker(f − Id _E ) dans la direction B = ker(f + Id _E ) avec A et B supplémentaires. Il reste à montrer que A et B sont orthogonaux.

∀(a, b) ∈ A × B, f (a) = a f (b) = b )

⇒ (a/b) = (f (a)/ − f (b)) = −(f (a)/f (b)) = −(a/b)

car f est orthogonale. On en déduit (a, b) = 0 dons A ⊂ B ^⊥ . On conclut avec l'égalité des dimensions.

4. Orientation - Déterminant

Lorsque l'espace est orienté, comme le déterminant d'une matrice orthogonale directe est égal à 1 , le déterminant d'une famille de vecteurs est le même dans n'importe quelle base orthonormée directe. Ce déterminant d'une famille de vecteurs dans une base orthonormée directe est appelé produit mixte. La justication de cette terminologie vient de la dénition en dimension 3 du produit vectoriel.

II. Isométries vectorielle en dimension 2

Proposition (Forme des matrices de O ⁺ ₂ ( R ) et O ⁻ ₂ ( R ) .).

O ₂ ⁺ ( R ) =

a −b b a

avec a ² + b ² = 1

, O ₂ ⁻ ( R ) =

a b b −a

avec a ² + b ² = 1

.

Preuve. Considérons une matrice M = a c

b d

à coecients réels.

M ∈ O 2 ( R ) ⇔



 

 

a ² + b ² = 1 c ² + d ² = 1 ac + bd = 0

Supposons M orthogonale et notons ε son déterminant. On peut exprimer c et d en fonction de a , b et ε en formant un sytème d'équations aux inconnues c et d .

( ac + bd = 0

−bc + ad = ε ⇒



 

 

 



 

 

 

 c =

0 b ε b a ² + b ² = −εb

d =

a 0

−b ε a ² + b ² = εa

On en déduit qu'une matrice orthogonale est obligatoirement de l'une des deux formes indiquées. Réciproquement, on vérie immédiatement que les matrices proposées sont bien orthogonales et directes ou indirectes.

Remarque. O ⁻ ₂ ( R ) est constitué de matrices symétriques. Les éléments de O ⁻ (E) sont des réexions.

Le groupe O ⁺ ₂ ( R ) est isomorphe à U. En particulier il est commutatif. Ses éléments sont appelés des rotations.

Lorsque E est orienté, la matrice d'un élément de O ⁺ (E) est la même dans n'importe quelle base orthonormée directe.

Dénition d'une rotation d'angle orienté θ dans un plan orienté. Comment change l'angle si on change l'orien- tation du plan ?

Proposition. Si r est une rotation d'angle orienté θ dans un plan orienté et x un vecteur non nul alors (x/r(x)) = kxk ² cos θ det(x, r(x)) = kxk ² sin θ

Preuve. Il existe une base orthonormée directe dont le premier vecteur est x . Dans cette base ... à rédiger...

Dénition. angle orienté de deux vecteurs à rédiger Dénition. angle orienté de deux droites à rédiger

Dans un plan euclidien orienté, soit θ l'angle orienté entre les droites D 1 et D 1 . Montrer que s _D

◦ s _D

est la

rotation d'angle 2θ . On remarque que le fait qu'un angle orienté entre deux droites soit une classe modulo π est

bien compatible avec le fait qu'un angle orienté de rotation est une classe modulo 2π .

III. Isométries vectorielles en dimension 3 (hors programme)

1. Produit vectoriel

On se place dans un R espace vectoriel orienté de dimension 3 .

Proposition 5. Soit − → u et − → v deux vecteurs xés. Il existe un unique vecteur noté − → u ∧ − → v appelé produit vectoriel des deux vecteurs tel que :

∀− → w ∈ E : det( − → u , − → v , − → w ) = ( − → u ∧ − → v / − → w )

Preuve. Pour − → u et − → v xés, l'application de E dan R qui à w associe det( − → u , − → v , − → w ) est une forme linéaire. Il existe donc un unique vecteur (noté u ∧ v ) tel que

∀− → w ∈ E, det(− →, − → v , − → w ) = ( − → u ∧ − → v / − → w ).

Cette formule justie le terme produit mixte utilisée pour le déterminant de 3 vecteurs. Elle dépend de manière cruciale de l'orientation de l'espace.

Dans la suite, on se passe des èches au dessus des vecteurs.

Proposition 6. Le déterminant est bilinéaire et antisymétrique de E × E dans E . Le produit vectoriel de deux vecteurs est orthogonal à ces deux vecteurs donc au plan qu'ils engendrent.

Preuve. Bilinéarité et antisymétrie résultent du caractère multilinéaire antisymétrique du déterminant. Pour tous vecteurs a et b

(a ∧ b/a) = det(a, b, a) = 0 = det(a, b, b) = (a ∧ b/b).

Proposition 7. Pour tous a et b dans E , a ∧ b = 0 _E si et seulement si (a, b) liée. De plus, si (a, b) est libre, (a, b, a ∧ b) est une base directe.

Preuve. Si (a, b) est liée alors (a, b, a ∧ b) aussi. Donc

0 = det(a, b, a ∧ b) = ka ∧ bk ² ⇒ a ∧ b = 0 E .

Si (a, b) est libre alors d'après le théorème de la base incomplète, il existe c tel que (a, b, c) base. On en déduit 0 6= det(a, b, c) = (a ∧ b/c) ⇒ a ∧ b 6= 0 _E .

De plus dans ce cas (a, b, a ∧ c) est aussi libre car a ∧ b est un vecteur non nul de l'orthogonal et la base (a, b, a ∧ b) est directe car

det(a, b, a ∧ b) = ka ∧ bk ² > 0.

Proposition 8 (Tournicoter).

∀(a, b, c) ∈ E ³ , (a ∧ b/c) = (b ∧ c/a).

Preuve. Immédiat par permutation circulaire au niveau du déterminant.

Expression du produit vectoriel en coordonnées dans une base orthonormée directe.

Considérons les matrices colonnes des coordonnées de a , b et x respectivement et le déterminant

a :



 α α ⁰ α”



 , b :



 β β ⁰ β”



 , w :



 x y z



 det(a, b, w) =

α β x

α ⁰ β ⁰ y α ⁰⁰ β ⁰⁰ z

Le développement de ce déterminant suivant la troisième colonne s'interprète comme l'expression dans la base orthonormée du produit scalaire de w et de a ∧ b . On en déduit que les coordonnées de a ∧ b .

a ∧ b :

















α ⁰ β ⁰ α ⁰⁰ β ⁰⁰

−

α β

α ⁰⁰ β ⁰⁰

α β α ⁰ β ⁰

















=





α ⁰ β ⁰⁰ − α ⁰⁰ β ⁰

−αβ ⁰⁰ + α ⁰⁰ β αβ ⁰ − α ⁰ β



 .

Proposition 9 (fabrication de bases orthonormées directes). Soit a, b unitaires et orthogonaux. La famille (a, b, c) est une base orthonormée directe si et seulement si c = a ∧ b .

Preuve. à compléter

Proposition 10. Soient − → u et − → v deux vecteurs et α l'angle orienté ( − → u , − → v ) dans le plan Vect( − → u , − → v ) orienté autour de − → u ∧ − → v . Alors

k− → u ∧ − → v k = k− → u kk− → v k sin α

Preuve. Il existe un vecteur v 1 tel que B = ( _kuk ¹ u, v 1 , _ku∧vk ¹ u ∧ v) soit une base orthonormée directe. Dans cette base, les coordonnées sont

u :



 kuk

0 0



 , v :





kvk cos α kvk sin α

0



 , u ∧ v :



 0 0 ku ∧ vk



 .

Avec l'expression des coordonnée du produit vectoriel donnée plus haut on obtient bien la formule annoncée dans la troisième coordonnée.

Remarque. On constate donc que si on oriente le plan autour de − → u ∧ − → v , l'angle orienté a toujours un représentant dans [0, π] . On peut se représenter aussi ce résultat de la manière suivante. Le produit vectoriel de − → u ∧ − → v est l'unique vecteur − →

P orthogonal à − → u et − → v tel que ( − → u , − → v , − →

P ) soit une base directe et que la longueur de − → P soit l'aire (positive) du parallélogramme construit sur les deux vecteurs.

Proposition 11 (formule du double produit vectoriel).

∀( − → u , − → v , − → w ) ∈ E ³ : ( − → u ∧ − → v ) ∧ − → w = ( − → u / − → w ) − → v − ( − → v / − → w ) − → u Preuve. à compléter

Étude de l'équation − → a ∧ − → x = − →

b d'inconnue − → x . 1. Matrice antisymétrique

Dénition de la fonction ϕ _w . Si une matrice est antisymétrique, c'est la matrice d'une application ϕ _w dans une base orthonormée directe. Les coordonnées de x se lisent sur la matrice sans résoudre de système.

2. Description géométrique

La restriction de ϕ w au plan orthogonal à x est une rotation d'angle ^π ₂ composée avec la multiplication par kxk (lorsque ce plan est orienté autour de x ).

2. Rotations et rotations-miroirs

Dans ce paragraphe, on dénit deux types de tranformations particulières.

Proposition 12. Soit D une droite vectorielle dans un espace euclidien E de dimension 3 , soit A le plan orthogonal à D . La projection orthogonale sur D est notée p , celle sur A est notée q . Soit r une rotation de A les applications

( E → E

x → p(x) + r(q(x))

( E → E

x → −p(x) + r(q(x))

sont des automorphismes orthogonaux de E appelés respectivement rotation et rotation-miroir (vectorielle) d'axe D .

Attention à l'angle ! Il n'est déni que si on oriente le plan perpendiculaire à l'axe autour d'un vecteur particulier de l'axe.

Une rotation-miroir n'admet aucun vecteur invariant non nul.

Déterminant, matrice , formule particulière pour un vecteur dans le plan perpendiculaire à l'axe.

3. Classication

1. Droite stable

Proposition 13. Pour tout automorphisme orthogonal f d'un espace euclidien de dimension trois, il existe des droites vectorielles stables. Lorsque f n'est pas une symétrie, il existe une unique droite vectorielle stable et f est une rotation ou une rotation-miroir.

Preuve. 1. Existence : première démonstration. L'application λ → det(f − λ Id) est une fonction polynomiale de degré 3 à coecients réels, elle admet donc au moins une racine réelle d'après le théorème de la valeur intermédiaire. ...

2. Existence : deuxième démonstration. Si f est une symétrie, elle admet des droites stables.

Si f n'est pas une symétrie on considère l'endomorphisme 1

2 f − f ⁻¹

sa matrice dans une base orthonormée est antisymétrique car la matrice de f ⁻¹ est la transposée de la matrice de f . Pour une orientation xée de E , il existe donc un unique vecteur w tel que

ϕ w = 1

2 f − f ⁻¹ .

Examinons son noyau :

∀x ∈ E, x ∈ ker ϕ w ⇔ f (x) = f ⁻¹ (x) ⇔ f ² (x) = x car f est un isomorphisme. D'autre part, on sait que ker ϕ w = Vect(x) donc

f ² (x) = x ⇒ f ³ (x) = f (x) ⇒ f ² (f (x)) = f (x) ⇒ f (x) ∈ ker ϕ w ⇒ ∃λ ∈ R tq f (x) = λx.

3. Si f (x) = λx avec x non nul, alors λ vaut 1 ou −1 par conservation du produit scalaire.

4. Unicité. Si f(x) = x ou f (x) = −x alors x ∈ Vect(u) pour le u déni en 2.

5. Classication. On considère Vect(u) ^⊥ , stable discussion déterminant et restriction.

2. Élements géométriques d'une matrice orthogonale : pratique

Remarques. 1. Le cos de l'angle s'obtient en considérant la trace de la matrice qui est la même pour toutes les bases.

2. Lorsque l'axe est orienté par le vecteur u lu dans la partie antisymétrique de la matrice, l'angle a un sinus positif. On peut donc l'exprimer avec un arccos puisque son cos est calculable.

3. Si l'axe est obtenu en résovant une équation, et si v est un vecteur directeur de cet axe. On peut obtenir le signe du sinus de l'angle θ autour de ce vecteur en utilisant

det(x, f(x), v) = kq(x)k ² sin θ où q est la projection orthogonale sur Vect(v) ^⊥ .

4. Les rotations-miroirs n'ont pas de vecteur invariant autre que 0 E .

5. Lorsque la matrice est symétrique la nature de la symétrie se lit sur la trace.

pour une réexion : 1 pour un retournement : −1

3. Décompositions en réexions ou retournements

En dimension 2 . Angle de la rotation r = s _D

◦ s _D lorsque l'on connait l'angle orienté des droites (D, D ⁰ ) . Proposition. Toute rotation d'axe Vect(u) est la composée de deux réexions par rapport à des plans contenant Vect(u) . Une de ces réexions est arbitraire.

Démonstration. Considérons un plan H contenant Vect(u) . Il existe v formant avec u une base orthogonale de H . Formons s H ◦ f . C'est un élément de O ⁻ (E) pour lequel u est invariant. Il ne peut être une rotation-miroir car il contient des points xes non nuls.C'est donc une réexion par rapport à un plan H ⁰ qui contient u . On en déduit :

f = s H ◦ s ⁰ _H

Proposition. Toute rotation d'axe Vect(u) est la composée de deux retournements par rapport à des droites orthogonales à Vect(u) . Un de ces retournement est arbitraire.

Démonstration. Cela résulte de ce que S _H est une réexion si et seulement si −s H est un retournement.

Proposition. Si une matrice est symétrique et orthogonale, c'est la matrice d'une symétrie orthogonale dans une

base orthonormée. Lorsque la trace est égale à +1 c'est une réexion, lorsque la trace est égale à −1 c'est un

retournement.