Université Aix-Marseille Cours PeiP
Campus Saint-Jérôme Semestre 4
Algèbre, Fonction de Plusieurs Variables et Géométrie Euclidienne
Florian Lavigne
Version 2017-2018
Table des matières
1 Quelques rappels d’algèbre linéaire 5
1.1 Matrices et endomorphismes . . . 5
1.1.1 Bases et matrices . . . 5
1.1.2 Exemples de familles . . . 6
1.1.3 Endomorphismes et matrices . . . 10
1.1.4 Sommes directes, projections et symétries . . . 15
1.1.5 Opérations sur les endomorphismes : lien avec les matrices . . . 21
1.1.6 Changements de bases et matrices semblables . . . 21
1.2 Déterminants . . . 23
1.2.1 Calcul de déterminants . . . 23
1.2.2 Quelques propriétés des déterminants . . . 24
1.2.3 Opérations élémentaires . . . 26
1.3 Résolution de systèmes linéaires . . . 27
1.3.1 Définitions . . . 27
1.3.2 Méthode du pivot de Gauss . . . 28
2 Diagonalisation 31 2.1 Eléments propres . . . 31
2.2 Polynôme caractéristique . . . 40
2.3 Diagonalisation . . . 45
2.4 Applications . . . 53
2.4.1 Exemple géométrique . . . 53
2.4.2 Puissance matricielle . . . 53
2.4.3 Application aux EDLs . . . 54
3 Cours de géométrie euclidienne 57 3.1 Espaces euclidiens . . . 57
3.1.1 Produit scalaire : définition et exemples . . . 57
3.1.2 Normes euclidiennes, inégalités de Cauchy-Schwarz et de Minkowski 61 3.1.3 Angle entre deux vecteurs . . . 63
3.2 Bases orthonormales . . . 64
3.3 Sous-espaces orthogonaux . . . 70
3.3.1 Définition et propriétés . . . 70
3.3.2 Calcul pratique de l’orthogonal d’un sous-espace vectoriel . . . . 71
3.4 Utilisation des bases orthonormales . . . 72
3.4.1 Matrice dans une base orthonormale . . . 73
3.4.2 Projections et symétries orthogonales . . . 75
3.5 Isométries et matrices orthogonales : généralités . . . 79
3.6 Etude d’isométries de R2 et de R3 . . . 85
3.6.1 Orientation dans Rn . . . 85
3.6.2 Cas de la dimension 2 . . . 87
3.6.3 Cas de la dimension 3 . . . 90
3.7 Classification des isométries de R2 et de R3 . . . 93
3.7.1 Cas de la dimension 2 . . . 93
3.7.2 Cas de la dimension 3 . . . 94
Chapitre 1
Quelques rappels d’algèbre linéaire
On notera K=R ouC, l’ensemble Mn(K)des matrices carrées de taille n à coeffi- cients dansK etMn,m(K) celui des matrices rectangulaires àn lignes et à m colonnes à coefficients dansK. Dans tout ce qui suit,E est un K-espace vectoriel dedimension finie.
1.1 Matrices et endomorphismes
1.1.1 Bases et matrices
Définition 1 :
On considère une famille (e1, · · · , ep) de vecteurs de E. On dit alors que cette famille est :
libre si pour tous éléments λ1, . . . , λp deK tels que
p
X
i=1
λi ei = 0E on a λ1 = · · · = λp = 0.
génératrice si pour tout vecteur x de E, il existe des éléments λ1, . . . , λp deK tels que
x=
p
X
i=1
λiei.
Définition 2 :
On dit qu’une famille (e1, · · · , ep) deE est une base (de E) si elle est libre et génératrice.
De façon équivalente, une famille(e1, · · · , ep)deE est une base si tout vecteurx deE admet une unique décomposition de la forme
x=
p
X
i=1
λiei,
où lesλi sont des éléments deK, appelés coordonnées de xdans la base (e1, · · ·, ep).
Proposition 1 :
Toutes les bases de E ont même cardinal, dim(E), appelédimension de E. En particulier, si(e1, · · · , ep) est une base de E, alors p= dimE.
Proposition 2 :
Soit p= dimE et(e1, · · · , ep)une famille de vecteurs deE. Les asser- tions suivantes sont équivalentes :
(e1, · · · , ep) est une base ; (e1, · · · , ep) est libre ; (e1, · · · , ep) est génératrice.
Définition 3 :
ConsidéronsB = (e1, · · · , en) une base deE. Soit v1, · · · , vp des vec- teurs de E. Chaque vecteurs vj a un unique jeu de coordonnées dans la base B. On note mi,j la coordonnée du vecteur vj suivant ei. La ma- trice M = (mi,j) 1≤i≤n
1≤j≤p
est appelée matrice de la famille de vecteur (v1, · · · , vp) dans la baseB. On la noteM =MatB(v1, · · · , vp).
Si la famille (v1, · · · , vp) est réduite à un unique vecteur v, on parle alors de matrice du vecteurv dans la base B.
1.1.2 Exemples de familles
1.1.2.1 Premier exemple fondamental : Kn
On rappelle la notationKn pour l’ensemble desn-uplets(x1, · · · , xn)où chaque xi appartient à K. Pour deux n-uplets x= (x1, · · · , xn)et y= (y1, · · · , yn) et pour un scalaireλ ∈K, on définit la somme x+y par
x+y= (x1+y1, · · · , xn+yn) et le produit scalaireλx par
λx= (λx1, · · · , λxn).
Ces deux opérations font deKn unK-espace vectoriel, dont le vecteur nul est le n-uplet 0Kn = (0, · · · , 0), qu’on peut abréger en 0.
Proposition 3 :
La famille de vecteurs(ε1, · · · , εn)définis ci-dessous forme une base de Kn, appelée base canonique de Kn :
i-ème coordonnée
↓
εi = (0, · · · , 0, 1, 0, · · · , 0).
Par conséquent, la i-ème coordonnée dex= (x1, · · · , xn) dans la base canonique est le scalaire xi et
dimKn =n
1.1. MATRICES ET ENDOMORPHISMES 7 Démonstration. Montrons que cette famille est génératrice. Soit x= (x1, · · · , xn) un
vecteur de Kn. Alors on a, par les règles de calculs dans Kn : x= (x1, 0, · · · , 0) +· · ·+ (0, · · · , 0, xn)
=x1(1, 0, · · · , 0) +· · ·+xn(0, · · · , 0, 1)
=
n
X
i=1
xiεi
Ainsi la famille (ε1, · · · , εn) est génératrice.
Montrons que cette famille est libre. Considéronsnscalairesλ1, . . . , λn vivant dans K tels que :
0Kn =
n
X
i=1
λiεi.
Par les règles de calculs dansKn et par définition du zéro deKn, on peut réécrire cette dernière égalité comme étant
(0, · · · , 0) = (λ1, · · · , λn).
Cependant, deux vecteurs de Kn sont égaux si et seulement si leurs composantes sont égales : on dit qu’il y a unicité des composantes. Cela implique que tous lesλi sont nuls, et donc la famille (ε1, · · · , εn) est libre.
On a donc montré que la famille (ε1, · · · , εn)est libre et génératrice : il s’agit donc bien d’une base.
Remarque. On pourra confondre coordonnées et composantes d’un élément x de Kn,
tant qu’on travaille dans la base canonique.
1.1.2.2 Deuxième exemple fondamental : Mn,m(K)
On rappelle les règles de calculs dansMn,m(K). Soit deux matricesA, BdeMn,m(K) et un scalaireλ∈K. On définit la somme de deux matrices A+B par
∀1≤i≤n, ∀1≤j ≤m, (A+B)i,j =Ai,j+Bi,j et le produit par un scalaire λA par
∀1≤i≤n, ∀1≤j ≤m, (λA)i,j =λ Ai,j.
Muni de ces deux opérations, Mn,m(K) est un K-espace vectoriel dont le zéro est :
0 = 0Mn,m(K) =
0 · · · 0 ... ... 0 · · · 0
Proposition 4 :
Pour1≤i≤n et 1≤j ≤m, on pose la matrice coordonnée : j-ème colonne
↓
Ei,j =
0 . . . 0 0 0 . . . 0 ... ... ... ... ... 0 . . . 0 0 0 . . . 0 0 . . . 0 1 0 . . . 0 0 . . . 0 0 0 . . . 0 ... ... ... ... ... 0 . . . 0 0 0 . . . 0
←i-ème ligne
Alors la famille (Ei,j)1≤i≤n 1≤j≤m
forme une base de Mn,m(K), appelée base canonique de Mn,m(K). Par conséquent, la (i, j)-ème coordonnée d’une matrice M = (mi,j)1≤i≤n
1≤j≤m
dans cette base est sa composante mi,j et
dimMn,m(K) = n×m
Démonstration. La démonstration est similaire à celle pour la base canonique de Knet est laissée en exercice.
On peut définir une autre opération sur les ensembles de matrices : le produit.
Cependant, on ne peut pas faire n’importe quoi comme produit. Pour cela on doit considérer une matrice A ∈ Mn,m(K) et B ∈ Mm,p(K) (il faut que le nombre de colonnes de A soit égal au nombre de lignes de B). Ainsi on définit la matrice produit A×B (ou simplementA B) dansMn,p(K) par :
∀1≤i≤n, ∀1≤j ≤p, (A×B)i,j =
m
X
k=1
Ai,kBk,j.
Figure1.1: Exemple de produit matriciel.
1.1. MATRICES ET ENDOMORPHISMES 9 Exemple. Considérons A=
1 0 1 0
et B =
1 2 3 4 5 6
. On obtient alors : A B=
1 2 3 1 2 3
.
Définition 4 :
Dans Mn(K), on peut définir avec ce produit les notions de matrices identité :
In =
1 0 · · · 0 0 . .. . .. ... ... . .. . .. 0 0 · · · 0 1
de matrices inversibles : P ∈ Mn(K) est dite inversible s’il existe une matriceQ∈ Mn(K)(appelée inverse de P et notée P−1) telle que
P Q=Q P =In.
L’ensemble des matrices inversibles de Mn(K)est notée GLn(K).
ATTENTION ! Le produit matriciel dans Mn(K) n’est (en général) pas commutatif : Il existe des matrices telles que A B 6=B A.
Exemple. On peut vérifier que : 1 0
0 0
1 2 3 4
6=
1 2 3 4
1 0 0 0
.
Remarque. Remarquons que Mn,1(K) est l’ensemble des matrices colonnes à n lignes, que l’on identifie avec Kn. On notera donc les éléments de Kn comme des lignes ou des colonnes quand on désigne un élément quelconque, et on pourra multiplier une matrice
à un élément de Kn lorsqu’il est vu en colonne.
1.1.2.3 Les polynômes : Kn[X]
Définition 5 :
On appelle polynôme en l’indéterminée (ou en la variable) X de degré inférieur ou égal à n à coefficients dansK un objet de la forme
P(X) =a0+a1X+· · ·+anXn,
où les ai sont des éléments de K, appelé coefficients d’ordre i du po- lynôme P(X). Deux polynômes sont égaux si et seulement s’ils ont les mêmes coefficients à tout ordre.
L’ensemble des polynômes en l’indéterminéeX à coefficients dansKest noté Kn[X].
Nous pouvons là-encore construire certaines opérations. Prenons deux polynômes P(X) = a0+a1X+· · ·+anXn etQ(X) =b0+b1X+· · ·+bnXn et un scalaireλ∈K. Alors on définit le polynôme somme(P +Q)(X) par :
(P +Q)(X) = (a0+b0) + (a1+b1)X+· · ·+ (an+bn)Xn ; et le produit (λP)(X) deP(X) par le scalaire λ par :
(λP)(X) = (λa0) + (λa1)X+· · ·+ (λan)Xn.
Muni de ces deux opérations, Kn[X] est un K-espace vectoriel, dont le vectur nul cor- respond au polynôme nul (dont tous les coefficients sont nuls).
Proposition 5 :
La famille (1, X, · · · , Xn) est une base de Kn[X], qu’on appelle base canonique de Kn[X] et alors :
dimKn[X] =n+ 1
Démonstration. La preuve est laissée en exercice.
Remarque. Par abus de notation, s’il n’y pas d’ambiguïté sur l’indéterminée, on pourra
noter P au lieu de P(X).
Définition 6 :
Pour un polynôme P(X), on peut introduire la fonction polynomiale associée, notée encore P, qui à un élément x deK associe l’expression
P(x) = a0+a1 x+· · ·an xn. La fonction polynomiale est une fonction deK dans K.
1.1.3 Endomorphismes et matrices
Définition 7 :
Soit E etF deux K-espaces vectoriels et soitf une fonction deE dans F. On dit que f est une application linéaire si et seulement si :
∀λ∈K, ∀x, y∈E, f(x+λy) =f(x) +λf(y).
Si E = F, on dira que f est un endomorphisme de E. L’ensemble des endomorphismes de E est, quant à lui, noté L(E).
Exemple. Voici quelques exemples et définition d’applications linéaires :
On définit l’endomorphisme identité idE(x) = x. Parfois, on peut simplifier le nom de cette application par id.
1.1. MATRICES ET ENDOMORPHISMES 11 Plus généralement, une homothétie de rapport λ est l’application linéaire définie
sur E par
x7→λ x.
En particulier, l’identité est l’homothétie de rapport 1.
On note D l’application de Kn[X] dans Kn[X] définie par : D : P(X) =
n
X
i=1
ai Xi 7→a1+ 2a2X+· · ·+nanXn−1.
Il s’agit d’une application linéaire qu’on appelle dérivation des polynômes. Comme Kn−1[X]⊂Kn[X], D peut être vue comme un endomorphisme de Kn[X].
Remarquons que siK=R, la fonction polynomiale associée au polynômeD(P)(X) est exactement la dérivée P0, au sens usuel de la fonction polynomiale associée à P(X).
Remarque.Soitfune application linéaire deEdansF. Fixons une baseB= (e1, · · · , en) deE. Alors f est entièrement déterminée par l’image des vecteurs e1, . . . , en.
En effet, pour tout vecteur x de E, il existe une unique décomposition de la forme x=λ1e1+· · ·+λnen (par définition d’une base). En particulier, on a :
f(x) = λ1f(e1) +· · ·+λnf(en).
Réciproquement, il est clair que si on connaîtf(x)pour tout élémentxdeE, on connait a fortiori les f(ei). Pour connaître f, il suffit donc de connaître l’image des vecteurs d’une base quelconque B de E.
Ainsi si on choisit une base B0 = (f1, · · · , fp) de F, on connaît exactement les vecteurs f(e1), · · · , f(en), à condition qu’on connaîsse les coordonnées de chacun de
ces vecteurs dans la baseB0.
Définition 8 :
Soit E et F deux K-espaces vectoriels de dimensions finies et f une application linéaire de E dans F. Fixons B = (e1, · · · , en) base de E etB0 = (f1, · · · , fp)base de F. On décompose lesf(ej) sous la forme :
f(ej) =
n
X
i=1
mi,jfi.
La matrice (mi,j)1≤i≤p 1≤j≤n
est appelée matrice de l’application linéaire f dans les basesB et B0. On la note alors MatB,B0(f).
SiEest unK-espace vectoriel de dimension finie etf un endomorphisme deE, on appelle matrice de l’endomorphismef dans la baseBla matrice MatB,B(f).
ATTENTION ! Quand on parle de matrice d’application linéaire, on a forcément besoin de deux bases (départ et arrivée) : les espaces de départ et d’arrivée n’ont a priori rien à voir entre eux.
ATTENTION ! Quand on parle de matrice d’endomorphisme dans une base, c’est qu’on a choisi la même base pour le départ et pour l’arrivée. Pour écrire la matrice d’un endomorphisme dans une base, on calcule les images
des vecteurs de la base et on les décompose danscette même base.
Remarque. On a par définition de ces deux matrices
MatB,B0(u) = MatB0(u(e1), · · · , u(en))
Noter néanmoins que la première est une matrice d’application linéaire et la seconde
une matrice de famille de vecteurs.
Proposition 6 :
On considèrentEetF deuxK-espaces vectoriels de dimension finie. Soit B= (e1, · · · , en)et B0 = (f1, · · · , fp)bases respectives de E et de F. Soit u une application linéaire deE dans F.
On peut alors reconstitueruà partir de M = (mi,j)1≤i≤p 1≤j≤q
=MatB,B0(u).
Démonstration. On prendxun vecteur de E. Soit λ1, . . . , λn ses coordonnées dansB.
Alors on a :
u(x) = u
n
X
j=1
λjej
!
=
n
X
j=1
λju(ej) =
n
X
j=1
λj
p
X
i=1
mi,jfi
!
=
p
X
i=1 n
X
j=1
mi,jλj
! fi
Grâce à la preuve, on retrouve le résultat suivant : Corollaire 1 :
Soit E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie. Soit B et B0 des bases respectives de E et F. Soit u une application linéaire de E dans F. On a pour tout x deE :
MatB0(u(x)) =MatB,B0(u)·MatB(x).
Remarque. Le corollaire précédent suggère d’associer à une matrice M à p lignes et n colonnes, l’application X 7→M X de Kn dans Kp par produit matriciel. C’est ce qu’on appelle l’application linéaire canonique associée àM. Lorsqu’on part d’une matrice, on l’identifie toujours à cette application linéaire, ce qui permet de transposer une notion, s’appliquant à une application linéaire, à une matrice. On peut ainsi parler de noyau,
d’image, etc. d’une matrice.
1.1. MATRICES ET ENDOMORPHISMES 13
Exemple. Soit f ∈ L(R3)définie par
x y z
7→
2x+y z x+z
. Cherchons sa matriceM dans la base canonique B = (ε1, ε2, ε3) de R3.
Etape 1. On calcule les images des vecteurs ε1, ε2 et ε3 de la base B :
f
1 0 0
=
2 0 1
; f
0 1 0
=
1 0 0
; f
0 0 1
=
0 1 1
. Etape 2. On calcule les coordonnées de ces vecteurs images dans la base B :
2 0 1
= 2×ε1+ 0×ε2+ 1×ε3 ;
1 0 0
= 1×ε1 + 0×ε2+ 0×ε3 ;
0 1 1
= 0×ε1+ 1×ε2+ 1×ε3. On obtient finalement :
MatB(f) =
2 1 0 0 0 1 1 0 1
Exemple. Soit g ∈ L(R2) définie par x
y
7→
x+y x+ 2y
. On définit la base B de R2 composée des vecteurs e1 =
1 1
et e2 = 1
0
. On vérifie tout d’abord que B est une base de R2. Comme elle contient deux éléments et que R2 est un espace vectoriel de dimension 2, il suffit de vérifier que cette famille est libre. Soit λ, µ∈R tels que :
λe1+µe2 = 0R2.
On a alors que λ+µ = 0 et λ = 0, ce qui implique que λ = µ= 0, et donc que B et libre puis forme une base de R2.
On veut maintenant écrire la matrice deg dans la baseB. On commence par calculer l’image des vecteurs de la base :
g(e1) = 2
3
; g(e2) = 1
1
.
On exprime ensuite ces vecteurs dans la baseB (soit en voyant directement dans un cas simple comme celui-ci, soit dans le cas général en résolvant un système linéaire). On obtient
g(e1) = 3×e1−e2 ; g(e2) =e1. Finalement, on a prouvé que :
MatB(g) =
3 1
−1 0
On rappelle le résultat suivant : Lemme 1 :
Soit E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie. Soit u une application linéaire deE dans F. Alors u(0E) = 0F.
Démonstration. Par définition du vecteur nul dans un K-espace vectoriel, on a pour tout x deE, x+ 0E =x, et en particulier, 0E + 0E = 0E. Ainsi la linéarité de u nous donne :
u(0E) = u(0E + 0E) = u(0E) +u(0E) = 2×u(0E), ce qui nous permet de conclure.
Proposition 7 :
Soit E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie. Soit u une application linéaire deE dans F. Alors :
Le sous-ensemble de E défini par ker(u) = {x ∈E, u(x) = 0F} est un sous-espace vectoriel de E, appelé noyau deu.
Le sous-ensemble de F défini par Im(u) ={u(x), x∈E} est un sous-espace vectoriel de F, appelé image de u.
Démonstration. D’après le lemme 1, 0E appartient à ker(u). Soit deux éléments xet y de ker(u) et soit λ un scalaire. Alors par linéarité de u on a :
u(x+λy) =u(x) +λu(y) = 0F +λ0F = 0F.
Doncx+λy∈ker(u): on a bien vérifié que ker(u)est un sous-espace vectoriel de E.
Daprès le lemme 1, 0F =u(0E)appartient bien à Im(u). SoitX etY deux vecteurs de Im(u) et un scalaire λ de K. Par définition de Im(u), il existe deux élémentsx et y deE tels que :
X =u(x) et Y =u(y).
Ainsi la linéarité deu nous permet d’écrire que :
X+λY =u(x) +λu(y) =u(x+λy).
DoncX+λY ∈Im(u) : Im(u) est bien un sous-espace vectoriel deF. On rappelle la proposition suivante sur ces deux espaces :
Proposition 8 :
Soit E et F deux K-espaces vectoriels de dimension finie. Soit u une application linéaire deE dans F. Alors :
u est injective si et seulement si ker(u) ={0E}; u est surjective si et seulement si Im(u) = F ; si u est bijective, alors dimE = dimF ;
si dimE = dimF, alors u est injective si et seulement si elle est surjective si et seulement si elle est bijective.
1.1. MATRICES ET ENDOMORPHISMES 15
1.1.4 Sommes directes, projections et symétries
Définition 9 :
La somme de deux sous-espaces vectorielsF etGest un sous-espace vec- toriel. Il est défini comme étant composé de toutes les combinaisons li- néaires d’éléments de F et de G, ou bien comme l’ensemble de tous les éléments de E qui peuvent s’écrire xF +xG avec xF dans F et xG dans G.
On dit que deux sous-espaces vectoriels F et G de E sont en somme directe si et seulement si F ∩G={0E}.
On dit qu’un sous-espace vectorielH deE est la somme directe de F et Gsi on a H =F +G etF ∩G={0}. On note alors H =F ⊕G.
Lorsqu’on aE =F ⊕G, on dit queF etG sont supplémentaires ou que F est un supplémentaire de G.
Proposition 9 :
Soit E =F ⊕G. Alors on a les propositions suivantes :
1. Pour toutx deE, il existe un unique couple(xF, xG)∈F ×Gtel quex=xF +xG;
2. Si(f1, · · · , fp)est une base deF et(g1, · · · , gq)est une base deG, alorsp+qest égal à la dimension deE et(f1, · · · , fp, g1, · · · , gq) est une base deE. Une telle base est dite adaptée à la décomposi- tion enE =F ⊕G.
Démonstration. 1. L’existence d’un tel couple vient de la définition de F +G. Mon- trons qu’un tel couple est unique grâce au fait que F et G soient en somme directe.
Soitxun élément deEet supposons qu’il existe deux couples(xF, xG)et(x0F, x0G) deF ×G tels que :
x=xF +xG =x0F +x0G.
Alors on a également quexF−x0F =x0G−xG. Notonsycet élément deE. Puisque F est un sous-espace vectoriel de E et que xF et x0F sont dansF, la combinaison linéairexF −x0F est aussi dans F. Donc y ∈F. De la même manière, on montre quey∈G. Ainsiyappartient à l’intersection deF avecG. CommeF etGsont en somme directe, on aF ∩G={0E} et donc nécessairement y= 0E. La définition dey nous informe alors que xF =x0F et xG=x0G.
2. Soit x dans E. On peut décomposer x en x = xF +xG avec xF ∈ F et xG ∈G.
Puisque(f1, · · · , fp)est une base de F,xF =λ1f1+· · ·+λpfp, où lesλi sont les coordonnées de xF dans la base (f1, · · · , fp). De même xG =µ1g1+· · ·+µqgq, où les µj sont les coordonées dexG dans la base (g1, · · ·, gq). Alors on a :
x=λ1f1+· · ·+λpfp+µ1g1+· · ·+µqgq,
ce qui implique que(f1, · · ·, fp, g1, · · · , gq)est génératrice dans E.
Supposons qu’il existe des scalaires (λ1, · · · , λp, µ1, · · · , µq) tels que : 0E =λ1f1 +· · ·+λpfp+µ1g1+· · ·+µqgq.
CommeF etGsont des sous-espaces vectoriels de E, on a 0E qui appartient àF et qui appartient à G. De plus, on a évidemment 0E = 0E + 0E. Donc (0E, 0E) est l’unique (par le point précédent) décomposition de 0E en 0E =xF +xG avec xF ∈F etxG ∈G. Par hypothèse surλ1, · · · , λp, µ1, · · · , µq, on a aussi :
0E =λ1f1 +· · ·+λpfp
| {z }
xF
+µ1g1+· · ·+µqgq
| {z }
xG
.
L’unicité de cette décomposition nous donne donc le système : ( 0E =λ1f1+· · ·+λpfp
0E =µ1g1+· · ·+µqgq
Comme(f1, · · · , fp) est une base de F et donc une famille libre, les coefficients λi sont donc nuls. De la même façon les µi sont nuls. On vient alors de montrer que la famille (f1, · · · , fp, g1, · · ·, gq) est libre.
Finalement la famille(f1, · · · , fp, g1, · · · , gq)est une base.
Proposition 10 :
Si E = F ⊕G, alors on a dimE = dimF + dimG. Réciproquement, si F ∩G={0E} et si dimE = dimF + dimG, alors E =F ⊕G.
Démonstration. L’égalité sur les dimensions dans le casE =F⊕Gest une conséquence de la proposition précédente. En effet, si(f1, · · · , fp)est une base deF et(g1, · · ·, gq) deG, alors (f1, · · · , fp, g1, · · · , gq)est une base de E. Cette famille a p+qéléments.
Donc la dimension deE est p+q= dimF + dimG.
Réciproquement, si F ∩G={0E} et dimE = dimF + dimG, alors comme F etG sont en somme directe, on a dim(F ⊕G) = dimF + dimG = dimE. Par égalité des dimensions et comme F ⊕G est un sous-espace vectoriel de E, on en déduit qu’on a égalité entre ces espaces : E =F ⊕G.
Passons aux définitions d’applications spécifiques. Pour cela, commençons par rap- peler les opérations suivantes :
Définition 10 :
Soit f, g∈ L(E). On définit la composition de f et de g par : (f◦g)(x) =f(g(x)).
Soit f un endomorphisme de E. On définit par récurrence les itérés de f par f0 =Id etfn=f◦fn−1 pour n≥1.
Soit P(X) = a0+a1X+· · ·+anXn. On définit l’endomorphisme P(f) par :
P(f) =a0Id+a1f +· · ·+anfn.
1.1. MATRICES ET ENDOMORPHISMES 17 Définition 11 :
LorsqueE =F⊕G, on appelle projection sur F parallèlement à Gl’ap- plication de E dans lui-même qui à x associe xF (x = xF +xG, avec xF ∈F etxG ∈G).
Si on note p la projection sur F parallèlement à G, et q la pro- jection sur G parallèlement à F , on dit que p et q sont des projections complémentaires et on a p+q =idE.
Exemple. Dans E = R2, on pose F = Vect 1
0
et G = Vect 1
1
. Mon- trons que F et G sont supplémentaires et donner les expressions de la projection sur F parallèlement à G et de la projection surG parallèlement à F.
Si x
y
∈F ∩G, alors il existe par définition deux scalaires λ et µ tel que :
x y
=λ 1
0
et
x y
=µ 1
1
.
On en déduit queλ=µ=x etµ=y= 0, ce qui entraîne x= 0. Ainsi F ∩Gest réduit au singleton
0 0
et donc F et G sont en somme directe.
Soit maintenant x
y
un vecteur quelconque de R2. Montrons qu’on peut écrire x=xF+xG avecxF ∈F etxG ∈G. Pour cela on cherche deux scalairesλet µtels que xF =
λ 0
et xG= µ
µ
. On cherche donc à montrer qu’il existe λ etµ qui vérifient le système :
( λ+µ=x µ=y
Ce système est inversible et on trouveλ =x−y et µ=y. Ainsi on a queE =F⊕Get la projection sur F parallèlement à G est l’application
x y
7→
x−y 0
tandis que la projection sur G parallèlement à F est l’application
x y
7→
y y
.
Ici on a utilisé la définition pour montrer que F et G sont supplémentaires, mais une fois qu’on avait montré qu’ils étaient en somme directe on aurait pu conclure plus rapidement grâce à la dimension. En effet, on sait quedim(F⊕G) = 2. DoncR2 =F⊕G (mais cette preuve ne nous donne pas explicitement la décomposition xF +xG et donc
on obtient pas les projections).
Proposition 11 :
1. Les projections sont des applications linéaires de E dans E. Si p est la projection surF parallèlement àG, on a :
Im(p) = F et ker(p) = G.
2. Une projection p vérifie p2 = p (au sens des endomorphismes).
Réciproquement, siuest un endomorphisme deEvérifiantu2 =u, alors il existe F et G deux sous-espaces supplémentaires tels que u soit la projection surF parallèlement àG. En fait on a :
F =ker(u−id) et G=ker(u).
Démonstration. 1. Soit p la projection sur F parallèlement à G.
Montrons quepest linéaire. Soit xet ydeux éléments de E et soitλ∈K. On décomposex=xF+xGety=yF+yG, avecxF, yF ∈F etxG, yG ∈G. Alors on peut écrire x+λy = (xF +λyF) + (xG+λyG). Comme F et G sont deux sous-espaces vectoriels, on a xF +λyF ∈ F et xG+λyG ∈ G. Par définition, la projection de x+λy sur F parallèlement à Gest donc xF +λyF soit :
p(x+λy) = p(x) +λp(y).
Montrons que ker(p) = G. Pour tout élément x ∈ G, on a la décomposition x=xF+xG avecxF = 0E etxG =x. Par définition dep, on a alors p(x) = 0E donc x ∈ ker(p) : G est inclus dans le noyau de p. Réciproquement si x est dans le noyau de p, on a p(x) = 0E. Cela signifie par définition de p que x à la décomposition x= 0E +xG, avec xG ∈G. Ainsix =xG et x ∈G. Donc le noyau de pest inclus dans G. Par double inclusion, on a :
G=ker(p).
Montrons que Im(p) = F. Pour tout élément x∈ E, p(x) = xF et donc p(x) appartient à F. Ainsi Im(p) est inclus dans F. Réciproquement, soit y ∈ F. Alors sa décomposition est y=y+ 0E, et on en déduit que p(y) =y. Ainsi y est l’image d’un élément deE (en l’occurence de lui-même) parp: il est donc bien dans l’image de p. Par double inclusionF =Im(p).
2. Soit pla projection sur F parallèlement à G. Soitx un élément quelconque de E et écrivonsx=xF+xG. Alors par définitionp(x) = xF. Soit y=p(x). On ayqui appartient àF donc sa décomposition esty =y+ 0E. Ainsip(y) =y. En résumé, p2(x) =p(p(x)) =p(y) =y =p(x). Puisque pour tout x ∈E, on a p2(x) =p(x), on a l’égalité entre les endomorphismes p2 =p.
Réciproquement, soit u un endomorphisme tel que u2 =u. Posons F =Im(u)et G=ker(u). Montrons que F ∩G={0E}. Puisque F et G sont des sous-espaces vectoriels, on a toujours0E dans F et dans G, donc dansF ∩G. Soit maintenant un élémentx∈F∩G. Le vecteurxest donc dansF =Im(u), ce qui veut dire qu’il existex0 ∈Etel quex=u(x0). Le vecteurxest également dansG=ker(u), ce qui nous donne queu(x) = 0E. Grâce à ces deux égalités, on en déduit queu2(x0) = 0E. Cependant par hypothèse,u2 =u, doncu2(x0) = u(x0) =x. Finalement on trouve que :
0E =u2(x0) = x.
1.1. MATRICES ET ENDOMORPHISMES 19 On a ainsi prouvé que F ∩G est inclus dans {0E}. Par double inclusion, on a
F ∩G={0E}.
Montrons maintenant queE =F+G. Soitx∈Eet essayons d’écrirex=xF+xG, avec xF ∈ F et xG ∈ G. Puisque F = Im(u) et G = ker(u), on cherche à écrire x = u(x0) +xG, avec u(xG) = 0E. Si une telle décomposition existe, alors en prenant l’image dex par u on a :
u(x) =u(u(x0) +xG)
=u(u(x0)) +u(xG)
=u2(x0) + 0E
=u(x0)
On en conclut qu’on doit alors avoiru(x) =u(x0) = x−xG, donc nécessairement : xG =x−u(x).
Si on connaîtxGet qu’une décomposition existe, alorsxF doit valoirx−xG =u(x).
De la précédente analyse on fait la synthèse suivante. Soit x ∈ E. On définit xG=x−u(x)et :
xF =x−(x−u(x)) = u(x).
On a clairementx=xF+xG. De plus on a également clairement quexF appartient à l’image deuc’est-à-dire àF. Reste à prouver quexG∈G. Pour cela, on calcule :
u(xG) =u(x−u(x)) =u(x)−u(u(x)) =u(x)−u2(x) =u(x)−u(x) = 0E. DoncxG est bien dans ker(u) = G.
On vient donc de montrer queE =F ⊕G. De plus, on a par le calcul précédent queu(x)est la composante xF dans la décomposition de x enx=xF +xG, donc u est bien la projection surF parallèlement àG.
Vérifions que F = ker(u−id). Soit y ∈ F. Comme F est l’image de u, alors il existe x∈E tel que y=u(x). Ainsi :
(u−id)(y) = u(y)−y =u(u(x))−u(x) = u2(x)−u(x) =u(x)−u(x) = 0.
On a donc montré que F ⊂ ker(u−id). Récriproquement soit y ∈ ker(u−id).
On remarque alors que y =u(y) et donc y ∈ F. Par double inclusion on a bien F =ker(u−id).
Définition 12 :
Supposons qu’on ait une décomposition de l’espace en somme directe E =F ⊕G. L’application qui a x=xF +xG associe l’élément xF −xG est appelée symétrie par rapport à F parallèment à G.
Exemple. En reprenant E = R2, on pose F = Vect 1
0
et G = Vect 1
1
. La symétrie par rapport à F parallèlement à G est alors l’application :
x y
7→
x−y 0
− y
y
=
x−2y
−y
Proposition 12 :
1. Les symétries sont des endomorphismes de E. Si s est la symétrie par rapport àF parallèlement à G et sip est la projection sur F parallèlement àG etq celle sur G parallèlement àF, on a :
s =p−q= 2p−idE =idE −2q.
2. Une symétrie s vérifie s2 = idE. C’est donc un endomorphisme inversible qui vérifie s−1 = s. Réciproquement, si u est un endo- morphisme de E qui vérifie u2 = idE, alors il existe F et G tels queu soit la symétrie par rapport à F parallèlement àG. En fait on a :
F =ker(u−id) etG=ker(u+id).
Démonstration. 1. Par définition des projections, on a au sens des applications (ou des fonctions) s = p−q. Comme les combinaisons linéaires d’endomorphismes sont encore des endomorphismes, et que l’on sait que les projections sont des endomorphismes,s est alors un endomorphisme. On sait de plus quep+q=idE, donc on a égalements= 2p−idE ets=idE−2q.
2. Soit x un élément de E et notons x = xF +xG, avec xF ∈ F et xG ∈ G. Par définition de la symétrie, s(x) = xF −xG. Notons y = s(x). Par unicité de la décomposition par rapport à une somme directe, on a yF = xF et yG = −xG, puisque xF ∈ F, −xG ∈ G (car G est un sous-espace vectoriel), et que par définition y=xF + (−xG). Ainsi, la définition d’une symétrie nous donne :
s(y) =yF −yG=xF −(−xG) =xF +xG =x.
Donc on a bien s(s(x)) =x pour tout x∈ E, ce qui montre que s2 =id au sens des endomorphismes.
Réciproquement, soit u un endomorphisme ayant la propriété u2 = id. Posons F =ker(u−id) et G = ker(u+id), qui sont deux sous-espaces vectoriels de E.
Montrons que F et G sont en somme directe. Soit x ∈ F ∩G. Puisque x ∈ F, on a (u−idE)(x) = 0E, ce qui est équivalent à u(x) = x. Puisque x ∈ G, on a (u +id)(x) = 0E id est u(x) = −x. On en déduit de ces deux égalités que x =−x =u(x) ou encore que 2x = 0E. En multipliant par 1/2 cette égalité, on en déduit quex= 0E, d’où F ∩G={0E}.
Montrons maintenant que E = F +G. Soit x ∈ E. S’il existe une décomposi- tion x = xF +xG, avec xF ∈ F et xG ∈ G, alors en prenant l’image de cette décomposition par u, on a :
u(x) = u(xF) +u(xG).
Comme xF est dans F, on obtient que u(xF) = xF et comme xG est dans G, u(xG) = −xG. On aboutit alors au système d’équations vectorielles :
( x=xF +xG u(x) = xF −xG
En sommant les deux équations, on obtient 2xF = x + u(x) et en faisant la différence on obtient 2xG =x−u(x).
1.1. MATRICES ET ENDOMORPHISMES 21 Faisons la synthèse de l’analyse précédente. Pour un x quelconque dans E, on
définit xF = x+u(x)2 et xG = x−u(x)2 . Il est clair que x = xF +xG. De plus, on calcule :
u(xF) = u(x) +u(u(x))
2 = u(x) +u2(x)
2 = u(x) +id(x)
2 = u(x) +x
2 =xF. De même, on a :
u(xG) = u(x)−u(u(x))
2 = u(x)−u2(x)
2 = u(x)−id(x)
2 = u(x)−x
2 =−xG. On en conclut que xF ∈ F et que xG ∈ G. Donc E = F +G et d’après ce qui précède on a même E =F ⊕G.
Finalement les calculs précédents nous montrent queu(x) = xF−xG et queu est bien la symétrie relativement à F parallèlement à G.
1.1.5 Opérations sur les endomorphismes : lien avec les matrices
Remarque. Pour deux endomorphismes f et g de E, l’application f ◦g est aussi un
endomorphisme (Vérifier que vous savez le faire !).
Proposition 13 :
Soit f, g∈ L(E) et B une base deE. Alors :
MatB(f ◦g) = (MatBf)×(MatBg).
Corollaire 2 :
Sif ∈ L(E) est inversible, alors :
MatB(f−1) = (MatBf)−1.
1.1.6 Changements de bases et matrices semblables
Définition 13 :
Soit B et B0 deux bases de E. On appelle matrice de passage de B à B0 la matrice dont les vecteurs colonnes contiennent les coordonnées des vecteurs de B0 dans la base B : en particulier, siB = (e1, · · · , en) et si B0 = (f1, · · · , fn), alors :
MatB,B0 =MatB(f1, · · · , fn) (=MatB,B0Id)
Remarque. Pour deux bases B et B0, on a :
MatB0,B = (MatB,B0)−1.
Proposition 14 :
Si P = MatB,B0 est la matrice de passage de B à B0, on peut exprimer pour tout x ∈ E le vecteur X des coordonnées de x dans la base B en fonction du vecteurX0 des coordonnées de x dans B0 :
X =P X0
Proposition 15 :
Soit P =MatB,B0 matrice de passage de B à B0 et f ∈ L(E). On a : MatB0f =P−1×MatBf ×P
Exemple. Reconsidérons l’application linéaire g : x
y
7→
x+y x+ 2y
. On a alors, par le même genre de raisonnement que dans la Section 1.1.3, que la matrice dans la base canonique (qu’on notera ici C) est :
MatC g =
1 1 1 2
.
On a vu précédemment que B = (e1, e2) avec e1 = 1
1
et e2 = 1
0
est une base de R2. On va retrouver la matrice de g dans la base B en passant par les matrices de passage (en pratique ce n’est pas en général la méthode la plus rapide, il vaut mieux raisonner directement comme dans Section 1.1.3). On pose :
P =Mat C,B =
1 1 1 0
,
on a alors P−1 =
0 1 1 −1
. Pour conclure, on a :
MatBg =P−1(MatC g)P =
3 1
−1 0
.
Définition 14 :
Deux matricesA, B ∈ Mn(K) sont dites semblables si :
∃P ∈GLn(K), B =P−1AP.
1.2. DÉTERMINANTS 23 Proposition 16 :
Deux matrices sont semblables si et seulement si elles représentent le même endomorphisme d’un espace vectoriel E (quelconque) dans deux bases différentes.
Démonstration. Pour simplifier, on considère le cas E =Kn.
Tout d’abord, si A=MatBf et B =MatB0f, alors B =P−1AP avec P =MatB,B0. Réciproquement, supposons qu’il existe une matrice P = (C1 | · · · | Cn) inversible avecB =P−1AP. On considère alorsBla base canonique deKnetB0 = (C1, · · · , Cn).
Ainsi on a P =MatB,B0.On définit alors f ∈ L(Kn) par f(X) =AX. On a finalement que MatBf =A puis :
MatB0f =P−1AP =B.
1.2 Déterminants
1.2.1 Calcul de déterminants
Calcul de déterminants 2×2i.e. d’une matrice M ∈M2(K) : detM =
a b c d
=a d−b c.
Développement par rapport à une ligne ou une colonne.
Soit M = (ai,j)1≤i,j≤n ∈ Mn(K). Le développement par rapport à la j-ème colonne dedetM nous donne :
detM =
a11 · · · a1,j · · · a1,n ... ... ... an,1 · · · an,j · · · an,n
=
n
X
i=1
(−1)i+jai,j∆i,j
où le mineur∆i,j est défini par
∆i,j =
a11 · · · a1,j−1 a1,j+1 · · · a1,n ... ... ... ... ai−1,1 · · · ai−1,j−1 ai−1,j+1 · · · ai−1,n
ai+1,1 · · · ai+1,j−1 ai+1,j+1 · · · ai+1,n ... ... ... ... an,1 · · · an,j−1 an,j+1 · · · an,n
Remarque. Le mineur∆i,j est le déterminant calculé après avoir ôté à M sai-ème ligne
et sa j-ème colonne.
De la même manière, on peut calculer le déterminant en développant par rapport à lai-ème ligne :
detM =
n
X
j=1
(−1)i+jai,j∆i,j
Idée : Quand c’est possible, on développe selon une ligne ou une colonne qui contient un maximum de zéro pour simplifier les calculs.
Exemple. En développant par rapport à la première ligne, on obtient que :
1 0 −2
−1 2 3 1 4 −5
= 1×
2 3 4 −5
−0×
−1 3 1 −5
+ (−2)×
−1 2 1 4
= (−10−12)−2×(−4−2) =−10
Exemple. En développant d’abord par rapport à la troisième colonne, on a :
2 1 0 4
−1 3 2 1 1 5 0 −2 0 1 −1 3
=−2
2 1 4 1 5 −2 0 1 3
−(−1)
2 1 4
−1 3 1 1 5 −2
On développe le premier déterminant par rapport à la première colonne :
2 1 4 1 5 −2 0 1 3
= 2
5 −2 1 3
−
1 4 1 3
= 2×17−(−1) = 35.
Pour le dernier, on développe par rapport à la première colonne :
2 1 4
−1 3 1 1 5 −2
= 2
3 1 5 −2
−(−1)
1 4 5 −2
+
1 4 3 1
=−55.
Ainsi on trouve que :
2 1 0 4
−1 3 2 1 1 5 0 −2 0 1 −1 3
=−125.
1.2.2 Quelques propriétés des déterminants
Proposition 17 :
Soit A etB deux matrices de Mn(K). Alors on a : det(AB) = (detA)×(detB)
De plus, la matrice A est inversible si et seulement si detA6= 0.
1.2. DÉTERMINANTS 25 On va voir maintenant comment le déterminant peut être un outil très pratique pour
montrer qu’une famille est une base. C’est la méthode à privilégier dans les exercices numériques.
Proposition 18 :
Soit E un K-espace vetoriel de dimension n, une base quelconqueB de E et une famille de vecteurs de E (e1, · · · , ep). Alors (e1, · · · , ep) est une base deE si et seulement si p=n et det (MatB(e1, · · · , ep))6= 0.
Exemple. Soit e1 =
1 0 1
, e2 =
1
−1 0
et e3 =
1 1 1
des vecteurs de R3. Est-ce que (e1, e2, e3) est une base deR3?
Dans un premier temps, le cardinal de cette famille est égale à la dimension de R3. Il reste donc à calculer le déterminant de (e1, e2, e3) dans la base canonique C pour conclure :
det (MatC (e1, e2, e3)) =
1 1 1 0 −1 1 1 0 1
=
1 1 1 0 −1 1 1 0 1
=
−1 1 0 1
+
1 1
−1 1
=−1 + 2 = 1 6= 0.
Donc (e1, e2, e3) est une base de R3.
Définition 15 :
Une matrice M = (mi,j)1≤i,j≤n est dite diagonale si tous ses coefficients non diagonaux sont nuls, c’est-à-dire :
M =
m11 0 · · · 0 0 m22 . .. ... ... . .. . .. 0 0 · · · 0 mn,n
.
Proposition 19 :
Le déterminant d’une matrice M diagonale est égal au produit de ses coefficients diagonaux :
m11 0 · · · 0 0 m22 . .. ... ... . .. . .. 0 0 · · · 0 mn,n
=m11×m22× · · · ×mn,n=
n
Y
i=1
mi,i.
Démonstration. Ce genre de preuve se fait par récurrence sur la dimension n : Initialisation -n = 1 : On a M = (m11)et on a donc bien detM =m11. Hérédité - n → n+ 1 : Supposons que pour toute matrice carrée de taille n,
son déterminant soit le produit de ses coefficients diagonaux.
Considérons une matrice M ∈Mn+1(K). On l’écrit comme ci-dessous :
M =
m11 0 · · · 0 0 m22 . .. ... ... . .. . .. 0 0 · · · 0 mn+1,n+1
.
En développant par rapport à la dernière colonne, on obtient :
detM =mn+1,n+1
m11 0 · · · 0 0 m22 . .. ... ... . .. . .. 0 0 · · · 0 mn,n
.
Le nouveau déterminant est celui d’une matrice diagonale de taille n×n. Ainsi par hypothèse de récurrence, on trouve que :
detM =mn+1,n+1×
n
Y
i=1
mi,i =
n+1
Y
i=1
mi,i.
Conclusion: Par récurrence, on a montré la formule annoncée dans la propriété.
1.2.3 Opérations élémentaires
Certaines opérations matricielles permettent de simplifier les calculs de détermi- nants :
Définition 16 :
Soit M une matrice de Mn(K). On notera Li la i-ème ligne et Ci la i-ème colonne deM. On définit les opérations élémentaires suivantes :
Echanges de lignes (resp.de colonnes) deM :Li ↔Lj (resp.
Ci ↔Cj) ;
Multiplication d’une ligne (resp. d’une colonne) par un scalaire non nul de M : pour λ ∈ K, λ 6= 0, Li ← λLi (resp.
Ci ←λCi ) ;
Addition d’une ligne (resp. d’une colonne) à une autre de M : Li ←Li+λLj (resp. Ci ←Ci+λCj).
Remarque. Ces opérations matricielles correspondent à des produits de la matrice M par une matrice dite élémentaire E :
On définit la matrice de permutation suivante : Pi,j =Ei,j+Ej,i+
n
X
k6=i,jk=1
Ek,k.
1.3. RÉSOLUTION DE SYSTÈMES LINÉAIRES 27 Pour faire l’opérationLi ↔Lj (resp.Ci ↔Cj), on fait le produitPi,j×M (resp.
M ×Pi,j) ;
Soit λ ∈ K avec λ 6= 0. On définit Di(λ) = In+ (λ−1)Eii dite de dilatation.
Alors le produitDi(λ)×M (resp.M×Di(λ)), correspond à l’opérationLi ←λLi
(resp. Ci ←λCi) ;
La matrice de transvection Ti,j(λ) =In+λEi,j permet de faire l’opération élé- mentaire Li ← Li +λLj (resp. Ci ← Ci +λCj) grâce au produit Ti,j(λ)×M (resp. M ×Ti,j(λ)).
Proposition 20 :
Soit M une matrice dont on note Li la i-ème ligne et Ci la i-ème co- lonne. Soit M0 obtenue par une opération élémentaire sur les lignes où les colonnes de M. Alors suivant l’opération en question on a :
Li ←Li+λLj ⇒det(M0) = det(M); Ci ←Ci+λCj ⇒det(M0) = det(M); Li ↔Lj ⇒det(M0) =−det(M); Ci ↔Cj ⇒det(M0) = −det(M); Li ←λLi ⇒det(M0) =λdet(M); Ci ←λCi ⇒det(M0) =λdet(M).
1.3 Résolution de systèmes linéaires
1.3.1 Définitions
Définition 17 :
Un système linéaire den équations àpinconnuesx1, . . . , xp dansKest de la forme :
(S)
a11x1 + · · · + a1,pxp = y1
... ... ...
an,1x1 + · · · + an,pxp = yn où les (ai,j)1≤i≤n
1≤j≤p
et les (yi)1≤i≤n sont des coefficients de K.
Remarque. Le système (S) est équivalent à l’équation matricielleM X =Y, d’inconnue X ∈Kp avec la matriceM =
a11 · · · a1p ... ... an,1 · · · an,p
et Y =
y1
... yn
.
Remarque. On rappelle qu’il y a trois cas possibles : soit le système n’a aucune solution, soit le système a une unique solution, soit le système a une infinité de solutions. Plus précisément, considéronsE l’ensemble des solutions du système. Il n’y a alors que trois cas :
E est vide : E =∅;
E est réduit à un élément : E ={(x1, · · · , xp)};
