Déterminer et utiliser la matrice d’un endomorphisme

Déterminer et utiliser la matrice d’un endomorphisme

¦ E est unK-espace vectoriel de dimension finien,B=(e₁, . . . ,e_n) une base deE et f ∈L(E). Il faut distinguer les notations suivantes :

• Six=x1e1+ · · · +xnen∈E, Mat_B(x)= µx₁

... x_n

¶

est la matricen×1 des coordonnées dexdansB;

• Sif ∈L(E), Mat_B(f) est la matricen×ndef dansB, matricen×n.

Comment déterminerMat_B(f)? On considère B=(e1, . . . ,en) une base deE. La matrice de f dansBest :

Mat_B(f)=

e1 e2 · · · en

f(e₁) f(e₂) · · · f(en)



















 a₁₁ a₁₂ · · · a1p e₁ a21 a22 · · · a2p e2

... ... ... ... an1 an2 · · · anp en

où laj-ème colonne µ^a1j

... an j

¶

représente les coordonnées def(ej) dansB.

BRemarque. Les coefficients de cette matrice sont des scalaires (des éléments deK^).

Quelles sont les propriétés de l’applicationMat_B? On retiendra les points suivants :

• L’application Mat_Best un isomorphisme deL(E) surMn(K) et ;

• Deux endomorphismesf,g∈L(E) sont égaux si, et seulement si, Mat_B(f)=Mat_B(g) ;

• Un endomorphisme f ∈L(E) est nul si, et seulement si, Mat_B(f)=0_Mn(K);

• Six∈E, alors Mat_B(f(x))=Mat_B(f)×Mat_B(x) ;

• Changement de base : pourBetB⁰deux bases deE, on a : Mat_B⁰(f)=P⁻¹Mat_B(f)P

avecP=P_B,B⁰ =Mat_B⁰,B(idE)=Mat_B(B⁰) (matrice de passage deB àB⁰, c’est la matrice dont les colonnes sont les coordonnées des vecteurs deB⁰dans la baseB).

¦ Inversement, il faut savoir utiliser les coefficients de Mat_B(f) pour en déduire des informations sur les vecteursf(e1), . . . ,f(en). On donne ci-dessous quelques exemples.

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Exemple. La matrice def est diagonale : Mat_B(f)=

µ_{λ1 (0)}

. ..

(0) λn

¶ .

Þ^{On af(e}i)=λieipour touti∈ ‚1,nƒ.

Exemple. La matrice def est strictement triangulaire supérieure : Mat_B(f)=





0 ? (?)

. .. ...

. .. ?

(0) 0



.

Þ^{On af(e}1)=0 et, pouri∈ ‚2,nƒ,f(ei)∈Vect(e1, . . . ,ei−1).

Exemple. La matrice def est triangulaire supérieure : Mat_B(f)=





? ? (?)

. .. ...

. .. ?

(0) ?



.

ÞOn af(ei)∈Vect(e1, . . . ,ei) pour touti∈ ‚1,nƒ.

Exemple. La matrice def est : Mat_B(f)=

³_{0 1 0}

0 0 1 0 0 0

´ .

ÞOn ae₁∈Ker(f),f(e₂)=e₁etf(e₃)=e₂. Exemple. La matrice def est : Mat_B(f)=³_{0 0 0}

0 0 1 0 0 0

´ .

Þ^{On ae}1,e2∈Ker(f) etf(e3)=e2.

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