PanaMaths Mai 2014
Soit m un réel.
Déterminer, en fonction de m, le rang de la matrice :
1 1 0 1
1 1 1
1 1 0
1 1 2
M m
m m
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
− − −
= −
−
Analyse
On effectue des opérations classiques sur les lignes et les colonnes de façon à se ramener à la détermination du rang d’une matrice échelonnée.
Résolution
2 2 1
3 3 1
4 4 1
2 4
4 2
1 1 0 1 1 1 0 1
1 1 1 0 1 1 1
1 1 0 0 1 1 1
1 1 2 0 0 1
1 1 0 1 1 1 0 1
0 0 1 0 0 1
0 1 1 1 0 1 1 1
0 1 1 1 0 1 1 1
L L mL
m m m
rg M rg rg
L L L
m m
L L L
m m
L L
m m
rg rg
m m m
L L
m m m
− −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ − − ⎟ ⎜ + − − − ⎟ ← −
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= ⎜ − ⎟= ⎜ − + − ⎟ ← −
⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ← −
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
− −
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ↔ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= =
⎜ − + − ⎟ ⎜ + − − − ⎟
⎜ + − − − ⎟ ↔ ⎜ − + − ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
( ) ( ) ( )
3 4
4 3
2
4 4 2
2 2 4
2 2
4 4 3
1 0 0 1 1 0 0 1
0 1 1 0 1 1
0 0 1 1 0 0 1 1
0 1 1 0 0 1 1
1 0 0 1
0 1 1
0 0 1 1
0 0 0 1 1 1 1
L L L L
m m
rg rg
m m
L L mL
m m m
C C C
m
rg m
m m m L L m L
↔
↔
⎛ ⎞ ⎛ ⎞
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
⎜ ⎟ ⎜ ⎟
= =
⎜ − − − ⎟ ⎜ − − − ⎟
⎜ − − ⎟ ⎜ + − + ⎟ ← +
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
← +
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
= ⎜ − − − ⎟
⎜ ⎟
⎜ − + + + − − ⎟ ← + +
⎝ ⎠
PanaMaths Mai 2014
(
3 2)
1 0 0 1
0 1 1
0 0 1 1
0 0 0 2
m
rg m
m m
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
= ⎜ − − − ⎟
⎜ ⎟
⎜ − + + ⎟
⎝ ⎠
Posons alors Φ
( )
m =m3+m2+2.Φ est une fonction polynôme de degré 3. Elle s’annule donc au moins une fois sur \ et on en tire immédiatement la discussion suivante :
• Si m3+m2+ ≠2 0, le rang de M est celui d’une matrice triangulaire supérieure dont les quatre coefficients diagonaux sont non nuls. D’où : rg M =4.
• Si m3+m2+ =2 0, on a alors :
1 0 0 1
0 1 1
0 0 1 1
0 0 0 0
rg M rg m
m
⎛ ⎞
⎜ ⎟
⎜ ⎟
= ⎜ − − − ⎟
⎜ ⎟
⎝ ⎠
où m vérifie donc : m3+m2+ =2 0.
Le rang de M est égal au rang d’une matrice échelonnée comportant 3 pivots. On a donc 3rg M = .
Résultat final
( )
3 2
3 2
3 2
1 0 0 1
1 1 0 1
0 1 1
1 1 1 4 si 2 0
0 0 1 1
1 1 0 3 si 2 0
0 0 0 2
1 1 2
m m m m
rg rg
m m m m
m m m
⎛ ⎞
⎛ − ⎞ ⎜ ⎟
⎜ − − ⎟ ⎜ ⎟ ⎧⎪ + + ≠
⎜ ⎟ = ⎜ − − − ⎟= ⎨
⎜ − ⎟ ⎜ ⎟ ⎪⎩ + + =
⎜ − ⎟ ⎜ − + + ⎟
⎝ ⎠ ⎝ ⎠
