MPSI-Éléments de cours Rang d'une matrice 28 février 2020
Rang d'une matrice
Rédaction incomplète. Version alpha Plan
I. Introduction . . . . 1
1. Outils vectoriels . . . . 1
2. Rang des colonnes . . . . 1
3. Rang des matrices de familles de vecteurs ou d'applications linéaires . . . . 2
4. Rang des lignes . . . . 2
II. Calculs pratiques . . . . 2
Index
algorithme du pivot total, 2
Invariance du rang par multiplication par une matrice inversible, 1
Rang de la transposée d'une matrice, 2
Plusieurs dénitions sont possibles pour le rang d'une matrice. On s'attachera ici à montrer qu'elles conduisent toutes au même nombre.
I. Introduction
Soit M une matrice à p lignes, q colonnes et coecients dans un corps K . On peut dénir plusieurs rangs attachés à M . L'objet de cette section est de montrer qu'ils sont tous égaux entre eux.
1. Outils vectoriels
Dénition du rang d'une famille de vecteurs. Conservation par isomorphisme du rang d'une famille de vecteurs.
Caractérisation du caractère libre ou générateur de la famille.
2. Rang des colonnes
Dénition. Le rang d'une matrice à p lignes et q colonnes est égal au rang de ses colonnes dans l'espace M p,1 (K) Exemple pour les colonnes canoniques on en déduit le rang d'une matrice trapèze.
Proposition. Soit A ∈ M p,q (K) et P ∈ GL p (K) :
rg(P A) = rg(A)
Preuve. Par dénition du rang d'une matrice, et propriétés élémentaires du produit matriciel :
rg(P A) = rg (C 1 (P A), · · · , C q (P A)) = rg (P C 1 (A), · · · , P C q (A))
Introduisons l'endomorphisme µ P de multiplication à gauche par P dans l'espace des matrices colonnes : µ P :
( M p,1 (K) → M p,1 (K) X → P X En fait µ P est un isomorphisme de bijection réciproque µ P
−1. On a alors
rg(P A) = rg (µ P (C 1 (A)) , · · · , µ P (C q (A))) = rg (C 1 (A), · · · , C q (A)) = rg(A) car l'isomorphisme µ P conserve le rang d'une famille de vecteurs.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Pas d'utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/
1
Rémy Nicolai C6012MPSI-Éléments de cours Rang d'une matrice 28 février 2020
Proposition. Soit A ∈ M p,q (K) et Q ∈ GL q (K) :
rg(AQ) = rg(A)
Preuve. La démonstration est assez diérente de la précédente, car la multiplication à droite par Q n'opère pas simplement sur les colonnes de A .
rg(AQ) = rg (C 1 (AQ), · · · , C q (AQ)) = rg (AC 1 (Q), · · · , AC q (Q)) On rappelle que
A
λ 1
...
λ q
= λ 1 C 1 (A) + · · · + λ q C q (A) ∈ Vect (C 1 (A), · · · , C q (A))
Ceci se produit lorsque l'on remplace la colonne des λ i de la formule précédente par des C j (Q) . On en déduit que :
∀j ∈ {1, · · · , q} : AC j (Q) ∈ Vect (C 1 (A), · · · , C p (A)) Ceci entraine
rg (AC 1 (Q), · · · , AC q (Q)) ≤ dim (Vect (C 1 (A), · · · , C p (A))) = rg (C 1 (A), · · · , C p (A)) On a donc prouvé
rg(AQ) ≤ rg(A)
On applique cette même inégalité à AQ dans le rôle de A et Q −1 dans celui de Q , la matrice Q étant supposée inversible.
rg(A) = rg((AQ)Q −1 ) ≤ rg(AQ) On a donc bien prouvé par double inégalité que
rg(AQ) = rg(A)
À partir des deux résultat précédent, la proposition suivante est immédiate : Proposition (Invariance du rang par multiplication par une matrice inversible).
∀A ∈ M p,q (K), ∀P ∈ GL p (K), ∀Q ∈ GL q (K) : rg(P AQ) = rg(A)
3. Rang des matrices de familles de vecteurs ou d'applications linéaires 4. Rang des lignes
II. Calculs pratiques
Pour calculer pratiquement le rang d'une matrice, le principe est d'utiliser des transformations élémentaires pour transformer la matrice en une autre pour laquelle le rang est évident. On doit s'inspirer de l'algorithme du pivot total sans manquer d'éventuelles simplications spéciques. On se ramène en général à une matrice de la forme
6= 0
0 ...
... ... 6= 0 . . . 0 0 · · · 0 ... ... ...
0 0 0 · · · 0
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Pas d'utilisations commerciale-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/2.0/fr/
