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D´ efinition A.1. Une matrice m × n est un tableau rectangulaire de nombres, ` a m lignes et n colonnes:

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Texte intégral

(1)

I Les matrices

Introduction

L’objet de cette partie du cours est de vous donner des outils math´ ematiques qui vous seront n´ ecessaires dans les ann´ ees ` a venir. Les objets que nous manipulerons principalement s’appellent des matrices, et servent ` a coder certains probl` emes, tels que par exemple certains syst` emes d’´ equations, ou certains syst` emes d’´ equations diff´ erentielles. Nous reviendrons sur ces questions plus loin dans le cours, mais pour l’instant il nous faut d´ efinir et manipuler les objets dont nous aurons besoin.

A Matrices, op´erations sur les matrices

D´ efinition A.1. Une matrice m × n est un tableau rectangulaire de nombres, ` a m lignes et n colonnes:

A =

a 11 a 12 · · · a 1n

a 21 a 22 · · · a 2n .. . .. . · · · .. . a m1 a m2 · · · a mn

o` u les a ij , pour 1 6 i 6 m et 1 6 j 6 n sont des r´ eels. On la note aussi A = (a ij )

16i6m 16j6n

Les indices i et j de a ij signifient que a ij est situ´ e sur la i-` eme ligne et la j -` eme colonne.

L’ensemble de toutes les matrices ` a m lignes et n colonnes est not´ e M m,n ( R ).

Exemple A.2.

2 4 −1 0 3 2

,

1 −2 3 −1

sont des matrices (2 × 3 et 2 × 2 respective- ment).

Cas particuliers

Les ´ el´ ements de M 1,n ( R ) sont appel´ es vecteurs ligne (ou matrices ligne ). Ils sont de la forme a 11 · · · a 1n

.

Les ´ el´ ements de M m,1 ( R ) sont appel´ es vecteurs colonne ou matrices colonne. Ils sont de la forme

 a 11

.. . a m1

 . D´ efinition A.3. On d´ efinit

• l’addition de deux matrices: si A = (a ij )

16i6m 16j6n

et B = (b ij )

16i6m 16j6n

on pose A + B = (a ij + b ij )

16i6m

16j6n

soit

A + B =

a 11 + b 11 a 12 + b 12 · · · a 1n + b 1n a 21 + b 21 a 22 + b 22 · · · a 2n + b 2n

.. . .. . · · · .. . a m1 + b m1 a m2 + b m2 · · · a mn + b mn

(2)

• la multiplication d’une matrice par un r´ eel: si A = (a ij )

16i6m 16j6n

et λ est r´ eel, on pose λA = (λa ij )

16i6m

16j6n

soit

λA =

λa 11 λa 12 · · · λa 1n λa 21 λa 22 · · · λa 2n

.. . .. . · · · .. . λa m1 λa m2 · · · λa mn

Remarque A.4. On ne peut additionner des matrices que si elles sont du mˆ eme type (mˆ eme nombre de lignes et mˆ eme nombre de colonnes).

Exemple A.5.

2 −1 −3 4 −7 5

+

6 8 −9

−10 13 11

=

2 + 6 −1 + 8 −3 − 9 4 − 10 −7 + 13 5 + 11

=

8 7 −12

−6 6 16

Nous allons maintenant d´ efinir un produit de matrices, qui existe dans certaines condi- tions, et qui est un peu plus complexe que les op´ erations ci-dessus.

D´ efinition A.6. Etant donn´ ees deux matrices A de M m,n ( R ) et B de M n,p ( R ) telles que le nombre n de colonnes de A est ´ egal au nombre de lignes de B, on d´ efinit leur produit AB, qui est une matrice de M m,p ( R ), de la fa¸con suivante: notons A = (a ij )

16i6m

16j6n

et B = (b jk )

16j6n

16k6p

, alors AB = (c ik )

16i6m 16k6p

avec c ik = P n

j=1 a ij b jk = a i1 b 1k + a i2 b 2k +

· · · + a in b nk . Exemple A.7.

4 −3 6

−2 5 −4 1 2

−1 3

a b c

d e f

avec

 

 

 

 

 

 

 

 

a = 1 · 4 + 2 · (−2) = 0 b = 1 · (−3) + 2 · 5 = 7 c = 1 · 6 + 2 · (−4) = −2 d = (−1) · 4 + 3 · (−2) = −10 e = (−1) · (−3) + 3 · 5 = 18 f = (−1) · 6 + 3 · (−4) = −18

Donc

1 2

−1 3

4 −3 6

−2 5 −4

=

0 7 −2

−10 18 −18

. On remarque que le produit

4 −3 6

−2 5 −4

1 2

−1 3

n’est pas d´ efini.

(3)

D´ efinition A.8. On d´ efinit des matrices particuli` eres: les matrices unit´ e, ou identit´ e, I n ∈ M n,n ( R ), par

I n =

1 0 · · · 0 0 1 · · · 0 .. . .. . . .. ...

0 · · · 0 1

c’est-` a-dire que les termes sur la diagonale sont des 1, et les autres sont des 0.

Exemple A.9. I 2 = 1 0

0 1

, I 3 =

1 0 0 0 1 0 0 0 1

 .

Propri´ et´ es A.10. • (AB)C = A(BC) pour toutes matrices convenables A, B, C (c’est-

`

a-dire telles que les produits existent). On peut donc oublier les parenth` eses et ´ ecrire ABC. On dit que le produit est associatif.

• AI n = A et I m A = A pour toute matrice A de M m,n ( R ).

• (A + A 0 )B = AB + A 0 B pour toutes matrices A, A 0 , B convenables. On dit que le produit est distributif (` a droite) par rapport ` a l’addition.

• A(B + B 0 ) = AB + AB 0 pour toutes matrices A, B, B 0 convenables. On dit que le produit est distributif (` a gauche) par rapport ` a l’addition.

• (αA)B = α(AB) = A(αB) pour toutes matrices A, B convenables et tout r´ eel α.

Remarque A.11. Attention: Ce produit n’est pas commutatif! C’est-` a-dire qu’on peut avoir AB 6= BA pour certaines matrices (on peut mˆ eme avoir AB d´ efinie alors que BA n’est pas d´ efinie).

Remarque A.12. Les matrices unit´ e I n jouent un rˆ ole semblable au “1” de R .

D´ efinition A.13. On dit qu’une matrice A de M n,n ( R ) est inversible s’il existe une matrice B de M n,n ( R ) telle que AB = I n et BA = I n . On dit alors que B est l’inverse de A et on la note A −1 .

On a donc AA −1 = I n et A −1 A = I n .

Attention: On ne doit jamais diviser par une matrice, mais on peut multiplier par son inverse si elle est inversible. (La division de matrices n’existe pas).

Remarque A.14. On peut montrer que l’une des ´ egalit´ es ci-dessus suffit, c’est-` a-dire que s’il existe une matrice B telle que AB = I n (ou BA = I n ), alors A est inversible (on rappelle que A est dans M n,n ( R )).

Remarque A.15. Pour qu’une matrice soit inversible, il faut qu’elle ait le mˆ eme nombre de lignes et de colonnes (on dit qu’elle est carr´ ee). Mais attention, cela ne suffit pas: toutes les matrices carr´ ees ne sont pas inversibles.

Exemple A.16. Soit A =

1 −3 2 −6

. Si A est inversible, alors il existe B =

a b c d

telle que AB = I 2 . Donc

a − 3c b − 3d 2a − 6c 2b − 6d

=

1 0 0 1

. En particulier: a − 3c = 1

mais 2(a − 3c) = 2a − 6c = 0 : contradiction. Donc B n’existe pas et A n’est pas inversible.

(4)

Exemple A.17. Soit A =

1 −3 2 6

. Si A est inversible, alors il existe B =

a b c d

telle que AB = I 2 . Donc

a − 3c b − 3d 2a + 6c 2b + 6d

=

1 0 0 1

. On en d´ eduit le syst` eme

d’´ equations

 

 

a − 3c = 1 b − 3d = 0 2a + 6c = 0 2b + 6d = 1

qui a pour solution a = 1

2 , b = 1

4 , c = − 1

6 et d = 1 12 .

On v´ erifie que l’on a bien A

1 2

1 4

− 1 6 12 1

 = I 2 .

Donc A est inversible et A −1 =

 1 2

1 4

− 1 6

1 12

 .

D´ efinition A.18. On d´ efinit la transpos´ ee A t d’une matrice A = (a ij )

16i6m 16j6n

de M m,n ( R ) de la fa¸con suivante: A t = a 0 ij

16i6n 16j6m

est une matrice de M n,m ( R ) avec a 0 ij = a ji . Elle est obtenue en ´ ecrivant en lignes les colonnes de A.

Exemple A.19. Soit A =

2 4 6

−1 3 5

. Alors A t =

2 −1 4 3 6 5

(5)

II Syst`emes lin´eaires et matrices ´echelonn´ees

Introduction

Nous serons souvent amen´ es ` a r´ esoudre un syst` eme d’´ equations lin´ eaires. Nous allons in- troduire une m´ ethode syst´ ematique de r´ esolution, la m´ ethode du Pivot de Gauss, que nous allons d´ ecrire ` a l’aide de matrices ´ echelonn´ ees. Nous verrons aussi comment appliquer cette m´ ethode pour calculer l’inverse d’une matrice carr´ ee.

A Matrices ´echelonn´ees; pivot de Gauss

Soit ` a r´ esoudre le syst` eme suivant:

(S)

a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = b 1

· · · ·

a m1 x 1 + a m2 x 2 + · · · + a mn x n = b m

`

a m ´ equations et n inconnues x 1 , x 2 . . . , x n . Les a ij sont des coefficients r´ eels.

Ce syst` eme d’´ equations peut aussi s’´ ecrire sous forme d’une ´ equation matricielle AX = B

avec:

• B =

 b 1

.. . b m

 , la matrice du “second membre”,

• X =

 x 1 x 2 .. . x n

, la “matrice des inconnues”,

• A est la matrice

a 11 a 12 · · · a 1n

· · · · · · · · · · · · a m1 a m2 · · · a mn

, dite matrice du syst` eme. Chaque colonne de A est form´ ee par les coefficients de l’une des inconnues (x 1 pour la premi` ere colonne, etc., x n pour la n-me colonne). Chaque ligne de A correspond ` a une ´ equation.

Nous allons faire correspondre au syst` eme (S) une matrice dite “augment´ ee”, qui est form´ ee de A ` a laquelle on rajoute une colonne qui est B:

(A | B) =

a 11 a 12 · · · a 1n b 1

· · · · · · · · · · · · · · · a m1 a m2 · · · a mn b m

(6)

Proposition A.1. On ne change pas les solutions du syst` eme (S) si:

I. On ´ echange deux ´ equations de (S), c’est-` a-dire si on ´ echange deux lignes de (A | B).

II. On multiplie une ´ equation de (S) par un r´ eel non nul, c’est-` a-dire si on multiplie une ligne de (A | B) par un r´ eel non nul.

III. On remplace une ´ equation de (S) par sa somme avec une autre ´ equation de (S), c’est-` a-dire si on remplace une ligne de (A | B) par sa somme avec une autre ligne de (A | B).

Nous allons utiliser ces op´ erations pour donner une m´ ethode syst´ ematique de r´ esolution de (S), la m´ ethode du pivot de Gauss. Il s’agit de transformer la matrice (A | B) en une matrice dite “´ echelonn´ ee” ` a l’aide des op´ erations ci-dessus.

D´ efinition A.2. On appelle ´ el´ ement de tˆ ete d’une ligne non nulle d’une matrice l’´ el´ ement non nul situ´ e le plus ` a gauche de la ligne.

D´ efinition A.3. Une matrice est dite ´ echelonn´ ee si elle remplit les trois conditions suivantes:

• Toutes ses lignes non nulles sont situ´ ees au-dessus de ses lignes nulles.

• Chaque ´ el´ ement de tˆ ete d’une ligne se trouve dans une colonne ` a droite de l’´ el´ ement de tˆ ete de la ligne pr´ ec´ edente.

• Tous les ´ el´ ements de la colonne sous un ´ el´ ement de tˆ ete sont nuls.

Une matrice est dite ´ echelonn´ ee r´ eduite si elle remplit les trois conditions suivantes:

• Elle est ´ echelonn´ ee.

• L’´ el´ ement de tˆ ete de chaque ligne vaut 1.

• Chaque 1 de tˆ ete d’une ligne est le seul ´ el´ ement non nul de sa colonne.

Exemple A.4. La matrice

∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 0 ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ 0 0 0 0 0 0 ∗ ∗

est ´ echelonn´ ee (les ∗ repr´ esentent les ´ el´ ements de tˆ ete, qui sont quelconques (non nuls), et les ∗ sont des r´ eels quelconques) mais

2 3 −1 0 −2 1

0 3 2

 n’est pas ´ echelonn´ ee car l’´ el´ ement de tˆ ete de la troisi` eme ligne (3) n’est pas ` a droite ce celui de la deuxi` eme ligne (−2).

Exemple A.5. La matrice

1 0 ∗ 0 ∗ 0 1 ∗ 0 ∗ 0 0 0 1 ∗

 est ´ echelonn´ ee r´ eduite, mais

1 0 ∗ 3 ∗ 0 1 ∗ 0 ∗ 0 0 0 1 ∗

 est ´ echelonn´ ee mais pas r´ eduite (` a cause du 3 situ´ e au-dessus du 1 de tˆ ete de la troisi` eme ligne).

Proposition A.6. Soit M une matrice quelconque. A l’aide des op´ erations sur les lignes d´ ecrites ci-dessus, on peut toujours transformer M en une matrice ´ echelonn´ ee r´ eduite. Cette matrice ´ echelonn´ ee r´ eduite est unique, elle ne d´ epend que de M et pas de la succession d’op´ erations effectu´ ees pour s’y ramener.

Nous allons maintenant d´ ecrire la m´ ethode du pivot de Gauss sur un exemple:

(7)

Exemple A.7. Soit ` a r´ esoudre le syst` eme

(S)

 

 

2x + 6y + 1z−3t = 2 x + 3y−2z + 6t = 7

−x−3y + 4z + 4t = −3 3x + 9y−6z−22t = −1 On ´ ecrit la matrice augment´ ee associ´ ee:

2 6 1 −3 2

1 3 −2 6 7

−1 −3 4 4 −3 3 9 −6 −22 −1

On ´ echange (´ eventuellement) des lignes pour que l’´ el´ ement de tˆ ete de la premi` ere ligne soit le plus simple possible; ici L 1 ↔ L 2 donne

1 3 −2 6 7

2 6 1 −3 2

−1 −3 4 4 −3 3 9 −6 −22 −1

 .

On fixe maintenant la premi` ere ligne, et on s’en sert pour faire apparaˆıtre des 0 sous l’´ el´ ement de tˆ ete de la premi` ere ligne; ici, L 2 → L 2 − 2L 1 donne

1 3 −2 6 7

0 0 5 −15 −12

−1 −3 4 4 −3 3 9 −6 −22 −1

 ,

puis L 3 → L 3 + L 1 donne

1 3 −2 6 7

0 0 5 −15 −12

0 0 2 10 4

3 9 −6 −22 −1

et enfin L 4 → L 4 − 3L 1 donne

1 3 −2 6 7

0 0 5 −15 −12

0 0 2 10 4

0 0 0 −40 −22

 .

On recommence avec l’´ el´ ement de tˆ ete de la deuxi` eme ligne. L’op´ eration L 3 → L 3 − 2 5 L 2 donne

1 3 −2 6 7

0 0 5 −15 −12 0 0 0 16 44 5 0 0 0 −40 −22

 .

On recommence enfin avec la troisi` eme ligne:

l’op´ eration L 4 → L 4 + 5

2 L 3 donne

1 3 −2 6 7

0 0 5 −15 −12 0 0 0 16 44 5

0 0 0 0 0

 .

Cette matrice est ´ echelonn´ ee.

Maintenant, pour terminer la r´ esolution du syst` eme, nous allons nous ramener ` a une matrice ´ echelonn´ ee r´ eduite. Cette fois, nous partons du bas vers le haut.

Il n’y a rien ` a faire sur la derni` ere ligne puisqu’il n’y a pas d’´ el´ ement de tˆ ete.

On divise la troisi` eme ligne par 16 pour que l’´ el´ ement de tˆ ete soit 1:

1 3 −2 6 7

0 0 5 −15 −12 0 0 0 1 11 20

0 0 0 0 0

 .

Ensuite, il nous faut faire apparaˆıtre des 0 au-dessus du 1.

(8)

Les op´ erations L 2 → L 2 + 15L 3 puis L 1 → L 1 − 6L 3 donnent successivement

1 3 −2 6 7 0 0 5 0 − 15 4 0 0 0 1 11 20 0 0 0 0 0

puis

1 3 −2 0 37 10 0 0 5 0 − 15 4 0 0 0 1 11 20 0 0 0 0 0

 .

On recommence avec la deuxi` eme ligne. On divise L 2 par 5:

1 3 −2 0 37 10 0 0 1 0 − 3 4 0 0 0 1 11 20 0 0 0 0 0

 .

Puis on fait apparaˆıtre des 0 au-dessus de l’´ el´ ement de tˆ ete de la deuxi` eme ligne:

L 1 → L 1 + 2L 2 donne

1 3 0 0 11 5 0 0 1 0 − 3 4 0 0 0 1 11 20 0 0 0 0 0

 .

La matrice obtenue est ´ echelonn´ ee r´ eduite. Elle correspond au syst` eme suivant:

 

 

x + 3y = 11 5 z = − 3 4 t = 11 20 .

Ce syst` eme est enti` erement r´ esolu. Il a une infinit´ e de solutions: par exemple, on peut dire que y est un r´ eel arbitraire et alors x = −3y + 11

5 .

B Cas de figure

Trois cas de figure peuvent se pr´ esenter:

(i) le syst` eme n’a aucune solution. (C’est le cas lorsqu’on obtient une ligne de la forme 0 · · · 0 ∗

o` u ∗ est un r´ eel non nul, puisque cette ligne correspond ` a l’´ equation 0 = ∗.)

(ii) le syst` eme a une solution unique, que l’on peut d´ eterminer suivant les cas soit par la m´ ethode du pivot de Gauss, soit par la m´ ethode de Cramer que nous verrons plus tard.

(iii) le syst` eme a une infinit´ e de solutions. Dans ce cas, certaines inconnues sont arbitraires, et d´ eterminent les autres. On les appelle les param` etres du syst` eme.

C Calcul de l’inverse d’une matrice carr´ee

La m´ ethode pr´ ec´ edente peut aussi ˆ etre utilis´ ee pour calculer l’inverse d’une matrice carr´ ee de la fa¸con suivante.

Soit A une matrice carr´ ee ` a n lignes et n colonnes. On consid` ere la matrice augment´ ee (A | I n ) (` a n lignes et 2n colonnes).

Si la matrice A est inversible, alors en appliquant la m´ ethode ci-dessus pour se ramener

`

a une matrice ´ echelonn´ ee r´ eduite, ce que l’on obtient est (I n | A −1 ), la partie de droite ´ etant alors l’inverse de A.

Si A n’est pas inversible, la partie de gauche de la matrice ´ echelonn´ ee r´ eduite obtenue

ne sera pas I n .

(9)

Exemple C.1. Soit A =

1 2 3

−1 0 −4 0 −2 2

 . Nous voulons l’inverser si possible:

(A | I 3 ) =

1 2 3 1 0 0

−1 0 −4 0 1 0 0 −2 2 0 0 1

L 2 → L 2 + L 1

1 2 3 1 0 0 0 2 −1 1 1 0 0 −2 2 0 0 1

L 3 → L 3 + L 2

1 2 3 1 0 0 0 2 −1 1 1 0 0 0 1 1 1 1

 (´ echelonn´ ee)

L 2 → L 2 + L 3

1 2 3 1 0 0 0 2 0 2 2 1 0 0 1 1 1 1

L 1 → L 1 − 3L 3

1 2 0 −2 −3 −3

0 2 0 2 2 1

0 0 1 1 1 1

L 2 → L 2 /2

1 2 0 −2 −3 −3 0 1 0 1 1 1 2

0 0 1 1 1 1

L 1 → L 1 − 2L 2

1 0 0 −4 −5 −4 0 1 0 1 1 1 2

0 0 1 1 1 1

 .

Cette derni` ere matrice est ´ echelonn´ ee r´ eduite, et sa partie gauche est bien I 3 , donc A est inversible et A −1 =

−4 −5 −4 1 1 1 2

1 1 1

 .

Exemple C.2. Soit A =

1 1 1 0 1 1 0 0 0

 . La matrice (A | I 3 ) =

1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1

 est d´ ej` a ´ echelonn´ ee.

La matrice ´ echelonn´ ee r´ eduite est obtenue en faisant L 1 → L 1 − L 2 et est ´ egale ` a

1 0 0 1 −1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1

.

La partie gauche de cette matrice n’est pas I 3 donc A n’est pas inversible.

(10)

III Espaces R n et bases

A Espaces R n , applications lin´eaires

D´ efinition A.1. Soit n un entier positif non nul. R n est l’ensemble de tous les n-uplets (x 1 , x 2 , . . . , x n ) de r´ eels, muni des deux op´ erations suivantes:

(I) l’addition: (x 1 , x 2 , . . . , x n )+(y 1 , y 2 , . . . , y n ) = (x 1 +y 1 , x 2 +y 2 , . . . , x n +y n ) (addition composante ` a composante),

(II) la multiplication par les r´ eels: si λ est un r´ eel, on pose λ(x 1 , x 2 , . . . , x n ) = (λx 1 , λx 2 , . . . , λx n ).

Les ´ el´ ements de R n sont appel´ es vecteurs, et les r´ eels (λ) sont appel´ es scalaires.

Si n = 0, on pose R n = R 0 = {0} (l’ensemble contenant un unique ´ el´ ement, qui est 0).

Exemple A.2. R = R 1 peut ˆ etre identifi´ e ` a une droite.

R 2 peut ˆ etre identifi´ e ` a un plan. Les vecteurs de R 4 peuvent par exemple repr´ esenter la position d’un point en fonction du temps (le temps ´ etant la quatri` eme composante).

Remarque A.3. On peut identifier naturellement R n , M 1,n ( R ) (matrices ligne) et M n,1 ( R ) (matrices colonne). On passe par exemple de R 2 ` a M 1,2 ( R ) en rempla¸cant le couple (x, y) par la matrice x y

, et on passe de R 2 ` a M 2,1 ( R ) en rempla¸cant le couple (x, y ) par la matrice

x y

.

D´ efinition A.4. Soient n et m des entiers. Une application lin´ eaire de R n dans R m est une application f : R n → R m qui v´ erifie:

• Pour tous x, y ∈ R n , on a f(x + y) = f (x) + f (y)

• Pour tous x ∈ R n et λ r´ eel, on a f (λx) = λf (x).

Exemple A.5. Soit A une matrice de M m,n ( R ) et soit X ∈ M n,1 ( R ) une matrice colonne

`

a n lignes. L’application

M n,1 ( R ) → M m,1 ( R )

X 7→ AX

est une application lin´ eaire. (Cela d´ ecoule des propri´ et´ es du produit des matrices, et est laiss´ e en exercice). Notons que le nombre n de colonnes de la matrice A est d´ etermin´ e par le fait que le produit AX doit exister, et que le nombre m de lignes de A est d´ etermin´ e par le nombre de composantes du vecteur d’arriv´ ee (l’application arrive dans M m,1 ( R )).

Exemple A.6. L’application lin´ eaire f : M 3,1 ( R ) → M 2,1 ( R )

 x y z

 7→

2 −1 0 4 3 −5

 x y z

 =

2x − y 4x + 3y − 5z

peut aussi s’´ ecrire

f : R 3 → R 2

(x, y, z) 7→ (2x − y, 4x + 3y − 5z).

Remarque A.7. On peut montrer (mais on ne le fera pas, et on ne l’utilisera pas vraiment)

que toute application lin´ eaire de R n dans R m peut ˆ etre repr´ esent´ ee par une matrice comme

dans l’exemple ci-dessus.

(11)

B Bases

D´ efinition B.1. Etant donn´ es k r´ eels λ 1 , . . . , λ k et k vecteurs v 1 , . . . , v k de R n , le vecteur u = λ 1 v 1 + · · · + λ k v k est appel´ e combinaison lin´ eaire de v 1 , . . . , v k ` a coefficients λ 1 , . . . , λ k . Si u appartient ` a R n , on dit que u est une combinaison lin´ eaire des vecteurs v 1 , . . . , v k s’il existe des r´ eels λ 1 , . . . , λ k tels que u = λ 1 v 1 + · · · + λ k v k .

Exemple B.2. Dans R 2 , on a (2, 3) = 2(1, −1) + 5(0, 1) : le vecteur (2, 3) est une combi- naison lin´ eaire des vecteurs (1, −1) et (0, 1).

D´ efinition B.3. On dit que des vecteurs v 1 , . . . , v k engendrent R n (ou forment un syst` eme g´ en´ erateur ou une famille g´ en´ eratrice de R n ) si tout vecteur de R n peut s’´ ecrire comme une combinaison lin´ eaire des vecteurs v 1 , . . . , v k .

Exemples B.4. (a) Dans R 2 , soit v = (1, 0). Les combinaisons lin´ eaires de v sont les vecteurs de la forme λv = (λ, 0) avec λ ∈ R . Donc en particulier, le vecteur (1, 1) de R 2 n’est pas une combinaison lin´ eaire de v : le vecteur v n’engendre pas R 2 .

(b) Toujours dans R 2 , soient v 1 = (1, 0) et v 2 = (2, 1). Soit (x, y) un vecteur quelconque de R 2 . Alors (x, y) = (x − 2y)v 1 + yv 2 est une combinaison lin´ eaire de v 1 et v 2 . C’est vrai pour n’importe quel vecteur de R 2 , donc v 1 et v 2 engendrent R 2 .

Remarque B.5. On se place dans R n . Posons ~ e 1 = (1, 0, . . . , 0), ~ e 2 = (0, 1, 0, . . . , 0), et ainsi de suite jusqu’` a ~ e n = (0, 0, . . . , 0, 1), de sorte que ~ e i est le n-uplet dont la i-` eme composante est 1 et toutes les autres composantes sont des 0.

Prenons par exemple n = 3. Alors ~ e 1 = (1, 0, 0), ~ e 2 = (0, 1, 0) et ~ e 3 = (0, 0, 1). Soit (2, −3, 1) un ´ el´ ement de R 3 . On peut ´ ecrire (2, −3, 1) = 2~ e 1 + (−3)~ e 2 + 1~ e 3 .

Plus g´ en´ eralement, soit x = (x 1 , x 2 , . . . , x n ) un ´ el´ ement de R n . On constate que l’on peut ´ ecrire x = x 1 ~ e 1 + x 2 ~ e 2 + · · · + x n ~ e n . Donc ~ e 1 , . . . , ~ e n engendrent R n . De plus, c’est la seule mani` ere dont x peut s’´ ecrire comme combinaison lin´ eaire de ~ e 1 , . . . , ~ e n .

D´ efinition B.6. On dit que des vecteurs v 1 , . . . , v k sont lin´ eairement ind´ ependants (on dit aussi que la famille {v 1 , . . . , v k } est libre) si aucun de ces vecteurs n’est combinaison lin´ eaire des autres. Dans le cas contraire, on dit qu’ils sont lin´ eairement d´ ependants ou li´ es.

Dans la pratique

Pour d´ eterminer si une famille v 1 , . . . , v k de vecteurs de R n est libre ou li´ ee, on r´ esout l’´ equation en λ 1 , . . . , λ k :

λ 1 v 1 + · · · + λ k v k = (0, 0, . . . , 0).

C’est en r´ ealit´ e un syst` eme de n ´ equations, en regardant les vecteurs composante ` a com- posante. On constate qu’il y a une solution ´ evidente qui est λ 1 = 0, . . . , λ k = 0. Alors:

• Les vecteurs v 1 , . . . , v k sont lin´ eairement ind´ ependants si et seulement si λ 1 = 0, . . . , λ k = 0 est l’unique solution.

• Les vecteurs v 1 , . . . , v k sont lin´ eairement d´ ependants si et seulement s’il existe une

autre solution (qui n’est pas λ 1 = 0, . . . , λ k = 0).

(12)

D´ efinition B.7. Dans le deuxi` eme cas (lin´ eairement d´ ependants), on en d´ eduit une relation de d´ ependance entre les vecteurs (c’est-` a-dire que l’on peut en exprimer certains en fonction des autres).

Exemples B.8. (a) Dans R 2 , soient v 1 = (1, 0) et v 2 = (2, 1). Si λ 1 v 1 + λ 2 v 2 = (0, 0), alors (λ 1 + 2λ 2 , λ 2 ) = (0, 0) et donc λ 1 + 2λ 2 = 0 et λ 2 = 0, donc λ 1 = 0 = λ 2 est la seule solution. Donc v 1 et v 2 sont lin´ eairement ind´ ependants.

(b) Dans R 2 , soient v 1 = (1, 0) et v 2 = (2, 0). Si λ 1 v 1 +λ 2 v 2 = (0, 0), alors (λ 1 +2λ 2 , 0) = (0, 0) et donc λ 1 + 2λ 2 = 0. Ceci a une infinit´ e de solutions, par exemple on peut prendre λ 2 = 1 et λ 1 = −2. Donc v 1 et v 2 sont li´ es, et −2v 1 + v 2 = (0, 0) (soit v 2 = 2v 1 ).

D´ efinition B.9. On dit qu’une famille de vecteurs v 1 , v 2 , . . . , v k de R n est une base de R n si c’est une famille libre de R n et si v 1 , . . . , v k engendrent R n .

Exemple B.10. {~ e 1 , ~ e 2 , . . . , ~ e n } est une base de R n . Elle est appel´ ee la base canonique de R n .

Th´ eor` eme B.11. Toutes les bases de R n ont n ´ el´ ements.

Th´ eor` eme B.12. Soit {v 1 , . . . , v n } une famille de vecteurs de R n ` a n ´ el´ ements. Si la famille est libre, alors c’est une base.

Proposition B.13. Si {v 1 , . . . , v n } est une base de R n , alors tout vecteur de R n s’´ ecrit de mani` ere unique comme combinaison lin´ eaire de v 1 , . . . , v n . Les coefficients de cette combi- naison lin´ eaire sont appel´ es coordonn´ ees.

Exemple B.14. Dans R 2 , soient v 1 = (1, 0) et v 2 = (2, 1). Ce sont deux vecteurs de R 2 ,

et on a vu qu’ils sont lin´ eairement ind´ ependants, donc ils forment une base de R 2 . On peut

voir que si x = (x 1 , x 2 ) est un vecteur quelconque de R 2 , alors x = (x 1 − 2x 2 )v 1 + x 2 v 2 ,

donc les coordonn´ ees de x dans la base {v 1 , v 2 } sont x 1 − 2x 2 et x 2 .

(13)

IV D´eterminants et syst`emes lin´eaires

A Syst`emes de deux ´equations ` a deux inconnues

On consid` ere le syst` eme

a 11 x + a 12 y = b 1 a 21 x + a 22 y = b 2

Nous avons d´ ej` a vu qu’il est ´ equivalent ` a l’´ equation matricielle AX = B o` u A est la matrice dy syst` eme, A =

a 11 a 12 a 21 a 22

, X est le vecteur colonne x

y

et B est le vecteur colonne B =

b 1 b 2

.

Ceci est ´ equivalent ` a l’´ equation ` a coefficients vectoriels

~ v 1 x + ~ v 2 y = ~b

o` u ~ v 1 , ~ v 2 et ~b sont les vecteurs suivants: ~ v 1 = (a 11 , a 21 ), ~ v 2 = (a 12 , a 22 ) et ~b = (b 1 , b 2 ); on cherche donc ` a ´ ecrire ~b comme combinaison lin´ eaire de ~ v 1 et ~ v 2 .

On peut interpr´ eter ce syst` eme g´ eom´ etriquement: on consid` ere les deux droites suiv- antes du plan: D 1 la droite d’´ equation a 11 x + a 12 y = b 1 (ou y = − a 11

a 12 x + b 1

a 12 ) et D 2 d’´ equation a 21 x + a 22 y = b 2 (ou y = − a 21

a 22 x + b 2

a 22 ). Les solutions du syst` eme sont les points d’intersection de ces deux droites. Ces droites sont parall` eles (distinctes ou confon- dues) ou bien se coupent en un point exactement. Le syst` eme a une unique solution si et seulement si les deux droites se coupent, c’est-` a-dire si et seulement si leurs pentes sont diff´ erentes (puisque si les pentes sont ´ egales, les droites sont parall` eles). La pente de D 1 est

− a 11

a 12 et la pente de D 2 est − a 21 a 22 .

Donc le syst` eme a une solution unique si et seulement si a 11 a 22 − a 21 a 12 6= 0.

D´ efinition A.1. (i) Soit A la matrice

a 11 a 12 a 21 a 22

. On appelle d´ eterminant de A le r´ eel det(A) = a 11 a 22 − a 21 a 12 .

(ii) Soient ~ v 1 et ~ v 2 les vecteurs suivants: ~ v 1 = (a 11 , a 21 ) et ~ v 2 = (a 12 , a 22 ) (colonnes de A). On appelle d´ eterminant de ~ v 1 et ~ v 2 le r´ eel det(~ v 1 , ~ v 2 ) = a 11 a 22 − a 21 a 12 .

Proposition A.2. det(~ v 1 , ~ v 2 ) est l’aire alg´ ebrique du parall´ elogramme d´ etermin´ e par ~ v 1 et

~ v 2 (dans cet ordre).

On peut alors r´ esumer et compl´ eter ce que nous avons dit plus haut:

Proposition A.3. Avec les notations pr´ ec´ edentes, det(A) 6= 0 si et seulement si pour tous b 1 , b 2 , il existe une unique solution au syst` eme lin´ eaire ci-dessus ce qui est ´ equivalent ` a dire que {~ v 1 , ~ v 2 } est une base de R 2 . Cette solution est alors donn´ ee par

x = det(~b, ~v 2 )

det(~ v 1 , ~ v 2 ) y = det(~ v 1 ,~b)

det(~ v 1 , ~ v 2 ) .

De plus, det(A) 6= 0 si et seulement si A est inversible.

(14)

Exemple A.4. Soit ` a r´ esoudre le syst` eme

2x−y = 3 x + 3y = 0 . La matrice associ´ ee au syst` eme est A =

2 −1 1 3

, dont le d´ eterminant est det(A) = 2 · 3 − 1 · (−1) = 7 6= 0. Donc le syst` eme a une solution unique:

 

 

 

 

 x = 1

7 det 3 −1 0 3

!

= 1

7 (3 · 3 − 0 · (−1)) = 9 7 y = 1

7 det 2 3 1 0

!

= 1

7 (2 · 0 − 1 · 3) = − 3 7 .

De plus, la matrice A est inversible puisque det(A) 6= 0.

B Syst`emes de trois ´equations ` a trois inconnues

Un syst` eme lin´ eaire

a 11 x + a 12 y + a 13 z = b 1 a 21 x + a 22 y + a 23 z = b 2 a 31 x + a 32 y + a 33 z = b 3

(B.1) peut s’´ ecrire matriciellement sous la forme AX = B.

On peut aussi l’´ ecrire sous forme d’une ´ equation lin´ eaire ` a coefficients vectoriels x~ v 1 + y~ v 2 + z~ v 3 = ~b, avec ~ v 1 = (a 11 , a 21 , a 31 ), ~ v 2 = (a 12 , a 22 , a 32 ), ~ v 3 = (a 13 , a 23 , a 33 ) et ~b = (b 1 , b 2 , b 3 ). Donc r´ esoudre le syst` eme revient ` a ´ ecrire ~b comme combinaison lin´ eaire de ~ v 1 ,

~ v 2 et ~ v 3 .

Donc dire que pour tout (b 1 , b 2 , b 3 ) ∈ R 3 il existe une unique solution au syst` eme est

´ equivalent ` a dire que tout ~b ∈ R 3 s’´ ecrit de fa¸con unique comme combinaison lin´ eaire de ~ v 1 ,

~ v 2 et ~ v 3 , ce qui revient ` a dire que {~ v 1 , ~ v 2 , ~ v 3 } est une base de R 3 . D´ efinition g´ eometrique

Soit {~ v 1 , ~ v 2 , ~ v 3 } un syst` eme de trois vecteurs de R 3 .

det(~ v 1 , ~ v 2 , ~ v 3 ) est le volume alg´ ebrique du parall´ el´ epip` ede construit sur (~ v 1 , ~ v 2 , ~ v 3 ). Donc

|det(~ v 1 , ~ v 2 , ~ v 3 )| est le volume du parall´ el´ epip` ede, et on met un signe + si (~ v 1 , ~ v 2 , ~ v 3 ) est direct, un signe − si (~ v 1 , ~ v 2 , ~ v 3 ) est indirect.

Pour d´ eterminer si un syst` eme est direct, on utilise la r` egle du bonhomme d’Amp` ere: on place les vecteurs de fa¸con ` a ce qu’ils aient tous la mˆ eme origine. On imagine une personne le long de ~ v 1 (avec les pieds ` a l’origine du vecteur) regardant ~ v 2 . Le syst` eme {~ v 1 , ~ v 2 , ~ v 3 } est alors direct si et seulement si ~ v 3 est ` a gauche de la personne.

B.1 Propri´et´es du d´eterminant

(i) det(~ e 1 , ~ e 2 , ~ e 3 ) = 1 (o` u {~ e 1 , ~ e 2 , ~ e 3 } est la base canonique de R 3 ). [C’est le volume du cube de cˆ ot´ e de longueur 1].

(ii) det(~ v 1 , ~ v 2 , ~ v 3 ) = 0 si et seulement si ~ v 1 , ~ v 2 , ~ v 3 sont li´ es.

En particulier, si deux des vecteurs sont ´ egaux, le d´ eterminant est nul.

(iii) Le d´ eterminant est une forme multilin´ eaire: chacune des applications ϕ 1 : ~ v 1 7→

det(~ v 1 , ~ v 2 , ~ v 3 ) (~ v 2 et ~ v 3 fix´ es), ϕ 2 : ~ v 2 7→ det(~ v 1 , ~ v 2 , ~ v 3 ) (~ v 1 et ~ v 3 fix´ es), et ϕ 3 : ~ v 3 7→

det(~ v 1 , ~ v 2 , ~ v 3 ) (~ v 1 et ~ v 2 fix´ es), est une application lin´ eaire de R 3 dans R . Par exemple, pour la premi` ere composante, on a :

det(~ v 1 + ~ v 0 1 , ~ v 2 , ~ v 3 ) = det(~ v 1 , ~ v 2 , ~ v 3 ) + det(~ v 1 0 , ~ v 2 , ~ v 3 )

det(λ~ v 1 , ~ v 2 , ~ v 3 ) = λ det(~ v 1 , ~ v 2 , ~ v 3 )

(15)

(iv) Le d´ eterminant est une forme altern´ ee: si on permute deux vecteurs, on change le signe du d´ eterminant. Par exemple, det(~ v 2 , ~ v 1 , ~ v 3 ) = − det(~ v 1 , ~ v 2 , ~ v 3 ).

Th´ eor` eme B.1. Les propri´ et´ es ci-dessus d´ eterminent det(~ v 1 , ~ v 2 , ~ v 3 ) de fa¸con unique pour tout syst` eme de vecteurs {~ v 1 , ~ v 2 , ~ v 3 } .

Essayons de comprendre pourquoi sur un exemple. Prenons ~ v 1 = (1, 1, 0), ~ v 2 = (−2, 0, −1) et ~ v 3 = (3, 0, 0).

Pour pouvoir utiliser (i), on va ´ ecrire ces vecteurs dans la base canonique. On a ~ v 1 =

~ e 1 + ~ e 2 , ~ v 2 = −2~ e 1 − ~ e 3 et ~ v 3 = 3~ e 1 .

det(~ v 1 , ~ v 2 , ~ v 3 ) = det(~ e 1 + ~ e 2 , −2~ e 1 − ~ e 3 , 3~ e 1 )

(iii)

= det(~ e 1 , −2~ e 1 − ~ e 3 , 3~ e 1 ) + det(~ e 2 , −2~ e 1 − ~ e 3 , 3~ e 1 )

(ii) = 0 + det(~ e 2 , −2~ e 1 − ~ e 3 , 3~ e 1 )

(iii)

= −2 det(~ e 2 , ~ e 1 , 3~ e 1 ) − det(~ e 2 , ~ e 3 , 3~ e 1 )

(ii) = − det(~ e 2 , ~ e 3 , 3~ e 1 )

(iii)

= −3 det(~ e 2 , ~ e 3 , ~ e 1 )

(iv) = −3[− det(~ e 1 , ~ e 3 , ~ e 2 )]

= 3 det(~ e 1 , ~ e 3 , ~ e 2 )

(iv) = −3 det(~ e 1 , ~ e 2 , ~ e 3 )

(i) = −3 · 1

= −3

D´ efinition B.2. Le d´ eterminant d’une matrice est le d´ eterminant de la famille de ses vecteurs colonne.

Comment calculer un d´ eterminant dans la pratique?

B.2 D´eveloppement du d´eterminant suivant une ligne ou une colonne

On se ram` ene ` a des d´ eterminants de matrices 2 × 2: par exemple, le d´ eveloppement suivant la premi` ere colonne donne:

det

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

notation

=

a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33

= a 11 a 22 a 23

a 32 a 33 − a 21 a 12 a 13

a 32 a 33 + a 31 a 12 a 13 a 22 a 23

La r` egle des signes est donn´ ee par la matrice

+ − +

− + − + − +

 .

(16)

Exemple B.3. On d´ eveloppe le d´ eterminant suivant suivant la troisi` eme colonne, pour profiter du 0:

1 (+) −6 (−) 3 (+) 2 4 0 (−)

−3 5 7 (+)

= 3 2 4

−3 5 −0 1 −6

−3 5 + 7 1 −6 2 4

= 3(10 − (−12)) + 7(4 − (−12))

= 66 + 112 = 178.

Proposition B.4. det(A) = det(A t )

Remarque B.5. On peut donc remplacer dans tout ce qu’on a dit les colonnes par les lignes.

B.3 Syst`emes de Cramer

Th´ eor` eme B.6. Les ´ enonc´ es suivants sont ´ equivalents:

(i) det(A) 6= 0.

(ii) Pour tout (b 1 , b 2 , b 3 ) ∈ R 3 , le syst` eme (B.1) admet une unique solution.

(iii) {~ v 1 , ~ v 2 , ~ v 3 } est une base de R 3 . (iv) A est inversible.

Si l’une des propositions ´ equivalentes ci-dessus est v´ erifi´ ee, on dit que le syst` eme (B.1) est un syst` eme de Cramer, et l’unique solution de ce syst` eme est:

x = det( ~b, ~v 2 , ~ v 3 )

det(A) , y = det(~ v 1 ,~b, ~ v 3 )

det(A) , z = det(~ v 1 , ~ v 2 ,~b) det(A) .

Exemple B.7. Soit A =

2 1 3 3 2 4 1 2 −1

.

Alors, en d´ eveloppant suivant la premi` ere ligne, det(A) =

2 1 3 3 2 4 1 2 −1

= 2 2 4

2 −1 −1 3 4

1 −1 +3 3 2 1 2

= 2(−10) − (−7) + 3 · 4 = −1 6= 0.

Donc A est inversible et le syst` eme

2x + y + 3z = 13 3x + 2y + 4z = 4 x + 2y − z = −7

(dont la matrice est A) a une unique solution (il est de Cramer).

Cette solution est donn´ ee par:

(17)

x =

13 1 3 4 2 4

−7 2 −1

−1 = 88,

y =

2 13 3

3 4 4

1 −7 −1

−1 = −64

z =

2 1 13 3 2 4 1 2 −7

−1 = −33

C Syst`emes de n ´equations ` a n inconnues

C.1 D´eterminants et syst`emes de Cramer

On consid` ere le syst` eme

 

 

a 11 x 1 + a 12 x 2 + · · · + a 1n x n = b 1

a 21 x 1 + a 22 x 2 + · · · + a 2n x n = b 2

· · ·

a n1 x 1 + a n2 x 2 + · · · + a nn x n = b n

(C.1)

Si on pose A =

a 11 · · · a 1n .. . · · · .. . a n1 · · · a nn

 , X =

 x 1

.. . x n

 et B =

 b 1

.. . b n

 , le syst` eme (C.1) est ´ equivalent ` a l’´ equation matricielle AX = B.

Si on pose ~ v 1 =

 a 11

.. . a n1

 = a 11 ~ e 1 + · · · + a n1 ~ e n , . . . , ~ v n = a 1n ~ e 1 + · · · + a nn ~ e n (le vecteur ~ v i est la i

me

colonne de A) et ~b = b 1 ~ e 1 + · · · + b n ~ e n , le syst` eme (C.1) est ´ equivalent

`

a l’´ equation ` a coefficients vectoriels x 1 ~ v 1 + · · · + x n ~ v n = ~b.

D´ efinition C.1. Le d´ eterminant d’une famille de n vecteurs ~ v 1 , . . . , ~ v n de R n , not´ e det(~ v 1 , . . . , ~ v n ), est l’unique r´ eel poss´ edant les propri´ et´ es suivantes:

• det(~ e 1 , . . . , ~ e n ) = 1,

• d´ eterminant est une forme multilin´ eaire (c’est-` a-dire lin´ eaire en chaque variable)

• d´ eterminant est une forme altern´ ee.

Cons´ equence C.2. (i) Si deux vecteurs sont identiques, le d´ eterminant est nul:

det(· · · , ~ v , · · · , ~ v, · · · ) = − det(· · · , ~ v, · · · , ~ v, · · · ), on obtient deux nombres r´ eels oppos´ es et ´ egaux donc nuls.

(ii) Si la famille de vecteurs {~ v 1 , . . . , ~ v n } est li´ ee, alors det(~ v 1 , . . . , ~ v n ) = 0.

(18)

Proposition C.3. La famille de vecteurs {~ v 1 , . . . , ~ v n } est li´ ee si et seulement si det(~ v 1 , . . . , ~ v n ) = 0.

D´ efinition C.4. On pose det(A) = det(~ v 1 , . . . , ~ v n ) en identifiant la matrice ` a la famille de ses vecteurs colonne.

Th´ eor` eme C.5. Les ´ enonc´ es suivants sont ´ equivalents:

(i) det(A) 6= 0

(ii) {~ v 1 , . . . , ~ v n } est une base de R n

(iii) Pour tout (b 1 , . . . , b n ) ∈ R n , il existe une unique solution (x 1 , . . . , x n ) au syst` eme (C.1)

(iv) A est inversible

Le syst` eme (C.1) est alors appel´ e syst` eme de Cramer.

Proposition C.6. Formules de Cramer: Supposons que (C.1) soit un syst` eme de Cramer.

Alors l’unique solution est donn´ ee par

x 1 = det(~b, ~v 2 , . . . , ~ v n )

det(~ v 1 , ~ v 2 , . . . , ~ v n ) = det( ~b, ~v 2 , . . . , ~ v n ) det(A) x 2 = det(~ v 1 ,~b, . . . , ~ v n )

det(~ v 1 , ~ v 2 , . . . , ~ v n ) = det(~ v 1 ,~b, . . . , ~ v n ) det(A) . . .

x n = det(~ v 1 , ~ v 2 , . . . ,~b)

det(~ v 1 , ~ v 2 , . . . , ~ v n ) = det(~ v 1 , ~ v 2 , . . . ,~b) det(A) Proposition C.7. Soient A et B deux matrices carr´ ees n × n. Alors

det(AB) = det(A) det(B) det(A t ) = det(A)

det(I n ) = 1.

C.2 Calcul pratique des d´eterminants

On d´ eveloppe suivant une ligne ou une colonne en utilisant la r` egle des signes similaire au cas 3 × 3: les signes affect´ es ` a deux coefficients voisins sont diff´ erents lorsqu’on d´ eveloppe, en commen¸cant par le signe + pour le coefficient de la premi` ere ligne et de la premi` ere colonne.

De plus on utilise la r` egle suivante: on ne change pas la valeur du d´ eterminant en ajoutant

`

a une colonne une combinaison lin´ eaire des autres colonnes (de mˆ eme avec les lignes).

Ceci permet de faire apparaˆıtre des z´ eros dans une mˆ eme ligne ou colonne. Cela simplifie ensuite le calcul du d´ eterminant:

Exemple C.8. Soit ` a calculer

5 −2 7 3

3 4 2 1

−4 −1 0 7 1 3 1 −2

. On choisit un “pivot” (de pr´ ef´ erence le plus simple possible et/ou dans une ligne ou une colonne ou il y a d´ ej` a des 0), ici le 1, et on

“fait apparaˆıtre” des 0 dans la colonne ou la ligne o` u il se trouve:

(19)

5 −2 7 3

3 4 2 1

−4 −1 0 7 1 3 1 −2

=

−2 −23 0 17 1 −2 0 5

−4 −1 0 7

1 3 1 −2

en rempla¸cant la ligne L 1 par L 1 − 7L 4 et la ligne L 2 par L 2 − 2L 4

En d´ eveloppant suivant la troisi` eme colonne, on obtient

−2 −23 0 17 1 −2 0 5

−4 −1 0 7

1 3 1 −2

= −1

−2 −23 17 1 −2 5

−4 −1 7

= −

−1 −27 27

1 0 0

−4 −9 −27

C 2 → C 2 + 2C 1 , C 3 → C 3 − 5C 1

= −

−1

−27 27

−9 −27

= (−27) 2 − (−9)(27) = −486 en d´ eveloppant suivant la deuxi` eme ligne.

Attention!

Il y a des similarit´ es mais aussi des diff´ erences entre les op´ erations que l’on peut faire sur les d´ eterminants et la m´ ethode de Gauss pour r´ esoudre les syst` emes ou inverser les matrices.

• On peut faire des op´ erations sur les colonnes d’un d´ eterminant, on ne peut pas faire d’op´ erations sur les colonnes dans la m´ ethode de Gauss.

• On peut multiplier une ligne par un r´ eel non nul dans la m´ ethode de Gauss, mais si on le fait dans un d´ eterminant on multiplie tout le d´ eterminant par ce r´ eel. En particulier, dans le calcul d’un d´ eterminant, il ne faut pas faire une op´ eration du type L 2 → 3L 1 + 4L 4 , car on multiplie alors le d´ eterminant par 3.

• On peut ´ echanger des lignes dans la m´ ethode de Gauss, mais si on ´ echange des lignes

(ou des colonnes) d’un d´ eterminant, on change le signe du d´ eterminant.

(20)

V Diagonalisation de matrices: valeurs propres et vecteurs propres

A Introduction

Le but de ce chapitre est de se “ramener”, lorsque c’est possible, d’une matrice carr´ ee quelconque ` a une matrice diagonale, c’est-` a-dire de la forme

a 11 0 0 · · · 0 0 a 22 0 · · · 0

0 · · · 0

0 · · · 0 0 a nn

B Diagonalisation

D´ efinition B.1. On dit qu’une matrice A est diagonalisable s’il existe une matrice inversible P telle que P −1 AP soit diagonale.

D´ efinition B.2. Soit A une matrice n × n. On dit qu’un r´ eel λ est une valeur propre pour A s’il existe une matrice colonne V dans M n,1 ( R ) (c’est-` a-dire un vecteur de R n ) qui soit non nulle et telle que AV = λV. Le vecteur V est alors appel´ e vecteur propre associ´ e ` a la valeur propre λ.

Remarque B.3. Si V est un vecteur propre de A associ´ e ` a la valeur propre λ, et si α est un r´ eel quelconque non nul, alors αV est aussi un vecteur propre de A associ´ e ` a la valeur propre λ.

En effet, A(αV ) = αAV = α(λV ) = λ(αV ).

Exemple B.4. Soit A =

1 2

−3 −6

et cherchons les valeurs propres de A et les vecteurs propres de A.

Soit λ une valeur propre de A. Alors il existe un vecteur propre associ´ e V = x

y

, o` u x et y ne sont pas tous les deux nuls, qui v´ erifie donc AV = λV. Or AV =

x + 2y

−3x − 6y

et λV =

λx λy

, d’o` u le syst` eme

x + 2y = λx

−3x − 6y = λy . On a donc

( x + 2y = λx

3λx + λy = 0 L 2 → L 2 + 3L 1 On a alors deux cas:

• Soit λ 6= 0; alors le syst` eme devient

( x + 2y = λx

3x + y = 0 avec x 6= 0 (sinon y = 0 aussi et alors V =

0 0

). Alors y = −3x et −5x = λx, d’o` u λ = −5.

On v´ erifie que −5 est bien valeur propre, avec comme vecteur propre associ´ e par exemple

1

−3

(obtenu en choisissant x = 1).

(21)

• Soit λ = 0, et alors le syst` eme devient x = −2y. On v´ erifie que 0 est bien valeur propre, avec comme vecteur propre associ´ e par exemple

−2 1

(obtenu en choisissant y = 1).

La m´ ethode d´ ecrite dans l’exemple ci-dessus n’est pas syst´ ematique. Pour faciliter le calcul des valeurs propres, on a la proposition suivante:

Proposition B.5. (Calcul des valeurs propres) Un r´ eel λ est valeur propre pour la matrice A si et seulement si det(A − λI n ) = 0.

Exemple B.6. Dans l’exemple pr´ ec´ edent: soit λ un r´ eel. Alors det(A − λI 2 ) = 1 − λ 2

−3 −6 − λ = (1 − λ)(−6 − λ) + 6

= −6 + 5λ + λ 2 + 6 = λ(λ + 5).

Il y a donc deux valeurs propres: λ = 0 et λ = −5, les racines de λ(λ + 5) = 0.

Th´ eor` eme B.7. Une matrice A de M n,n ( R ) est diagonalisable si et seulement s’il existe une base de R n form´ ee de vecteurs propres pour A. Une matrice P telle que P −1 AP soit diagonale est alors obtenue en ´ ecrivant les vecteurs de cette base en colonnes successives.

Exemple B.8. Dans l’exemple pr´ ec´ edent, la famille

1

−3

, −2

1

est une base de R 2 (le d´ eterminant form´ e par les deux vecteurs est ´ egal ` a −5 donc est non nul), donc A est diagonalisable.

Posons P =

1 −2

−3 1

et calculons P −1 :

• det(P ) = −5 donc P est bien inversible.

•

(P | I 2 ) =

1 −2 1 0

−3 1 0 1

1 −2 1 0 0 −5 3 1

L 2 → L 2 + 3L 1 1 −2 1 0

0 1 − 3 5 − 1 5

1 0 − 1 5 − 2 5 0 1 − 3 5 − 1 5

L 2 → L 2 /(−5) L 1 → L 1 + 2L 2

La derni` ere matrice est ´ echelonn´ ee r´ eduite et sa partie gauche est I 2 donc P −1 =

− 1 5

1 2 3 1

.

Si on calcule P −1 AP , on obtient:

−5 0 0 0

.

On remarque que la diagonale est form´ ee des valeurs propres de A.

Remarque B.9. Si on change l’ordre des vecteurs propres de la base, on change P et la matrice diagonale, mais pas le fait que A soit diagonalisable, et on obtient toujours les valeurs propres sur la diagonale mais peut-ˆ etre dans un ordre diff´ erent.

Exemple B.10. Dans l’exemple pr´ ec´ edent, si on ´ echange les deux vecteurs de base, on a alors P =

−2 1 1 −3

et P −1 AP =

0 0 0 −5

.

(22)

C M´ethode pratique g´en´erale

(1) On calcule les valeurs propres ` a l’aide du determinant de A − λI n .

(2) On cherche ensuite les vecteurs propres associ´ es (dans l’exemple, on cherche les vecteurs V tels que AV = 0V et W tels que AW = −5W ). Pour cela on r´ esout des syst` emes lin´ eaires (sans λ!) dont les inconnues sont les coordonn´ ees des vecteurs pro- pres que l’on cherche. On applique pour cela la m´ ethode du pivot de Gauss. Le syst` eme a toujours une infinit´ e de solutions. Le nombre de vecteurs propres lin´ eairement ind´ ependants qui sont associ´ es ` a une valeur propre donn´ ee est ´ egal au nombre de param` etres (c’est-` a-dire au nombre d’inconnues qui sont arbitraires). Ce nombre est

´ egal ` a

n - nombre d’´ equations non triviales restant ` a la fin de la r´ esolution par la m´ ethode de Gauss

(3) Une fois qu’on a trouv´ e tous les vecteurs propres qui sont lin´ eairement ind´ ependants, on cherche ` a voir s’ils forment une base de R n (c’est-` a-dire qu’il y a n vecteurs, si A est une matrice n × n). Si c’est le cas, alors A est diagonalisable, sinon elle ne l’est pas.

Remarque C.1. Les vecteurs propres ind´ ependants associ´ es ` a une valeur propre donn´ ee sont obtenus en fixant tour ` a tour chacun des param` etres ´ egal ` a 1 (ou une valeur non nulle quelconque) et les autres ´ egaux ` a 0.

Exemple C.2. Soit A =

2 4 −1

−4 −8 2 0 0 −6

. Nous voulons savoir si A est diagonalisable.

Cherchons d’abord ses valeurs propres:

det(A − λI 3 ) =

2 − λ 4 −1

−4 −8 − λ 2

0 0 −6 − λ

= (−6 − λ) 2 − λ 4

−4 −8 − λ

= (−6 − λ) ((2 − λ)(−8 − λ) − (−4) · 4)

= (−6 − λ)λ(λ + 6) = −λ(λ + 6) 2 en d´ eveloppant le premier d´ eterminant suivant la troisi` eme ligne.

Les valeurs propres sont donc 0 et −6.

Cherchons les vecteurs propres associ´ es ` a la valeur propre 0 : nous cherchons les vecteurs V =

 x y z

 6=

 0 0 0

 tels que AV = 0.V =

 0 0 0

 .

AV =

 0 0 0

 ⇔

2x + 4y − z = 0

−4x − 8y + 2z = 0

−6z = 0

(23)

On r´ esout:

2 4 −1 0

−4 −8 2 0 0 0 −6 0

L 2 → L 2 + 2L 1

2 4 −1 0 0 0 0 0 0 0 −6 0

L 3 ↔ L 2

2 4 −1 0 0 0 −6 0 0 0 0 0

L 2 → L 2 / − 6

2 4 −1 0 0 0 1 0 0 0 0 0

L 1 → L 1 + L 2

2 4 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

L 1 → L 1 /2

1 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0

Cette derni` ere matrice est ´ echelonn´ ee r´ eduite, et correspond au syst` eme x + 2y = 0

z = 0

Donc les solutions sont les vecteurs V tels que z = 0 et x + 2y = 0 c’est-` a-dire x = −2y.

Le nombre de param` etres est 3 − 2 = 1. Il nous faut donc un vecteur propre. On choisit par exemple y comme param` etre (on peut aussi choisir x). Posons y = 1 : le vecteur propre obtenu est V =

−2 1 0

 .

Cherchons maintenant les vecteurs propres associ´ es ` a la valeur propre −6 : nous cherchons les vecteurs W =

 x y z

 6=

 0 0 0

 tels que AW = −6.W =

−6x

−6y

−6z

 .

AW = −6W ⇐⇒

2x + 4y − z = −6x

−4x − 8y + 2z = −6y

−6z = −6z

⇐⇒

8x + 4y − z = 0

−4x − 2y + 2z = 0

Références

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