Valeurs propres et vecteurs propres

Valeurs propres et vecteurs propres

1





1 −1 0 a 1 1 0 1 + a 3





Trouver pour quelles valeurs dea, 2 est valeur propre deM =





1 −1 0

a 1 1

0 1 +a 3



. Réponse

On cherche s'il existex, y, znon tous nuls tels que





1 −1 0

a 1 1

0 1 +a 3







 x y z



= 2



 x y z



. Après calculs : a=−1

Dans ce cas, les valeurs propres deM sont0,2,3.

2 u ◦ v et v ◦ u

Soituetv deux éléments deL(E).

1- Montrer que siλest une valeur propre non nulle de u◦v,λest une valeur propre dev◦u. 2- Montrer que si de plusE est de dimension nie,u◦v etv◦uont les mêmes valeurs propres.

3- Donner un exemple oùu◦v etv◦un'ont pas les mêmes valeurs propres.

Réponse

Soitλest une valeur propre non nulle deu◦v ; soitx∈E− {0} tel que u◦v(x) =λ.x Alors

v◦u◦v(x) =λ.v(x) Donc

v◦u(v(x)) =λ.v(x) De plus,v(x)est non nul, doncλest une valeur propre dev◦u.

Supposons de plusEde dimension nie ; on sait que det (u◦v) = det (v◦u); or 0 est valeur propre deu◦v si et seulement sidet (u◦v) = 0.

Finalement, 0 est valeur propre deu◦vsi et seulement si 0 est valeur propre de v◦u. Pour nir, un exemple : C^∞(R,R);u(f) =f⁰ etv(f)primitive def nulle en 0.

3 Image d'un endomorphisme diagonalisable

Soituun élément deL(E)diagonalisable. Décrire l'image deuen fonction des sous-espaces propres.

Indications

Imuest la somme des sous-espaces propresEλ(u)pour λ∈Spu\ {0}.

4 Diagonale et antidiagonale

Soit E = Mn(R). Soit u ∈ L(E) l'endomorphisme qui à M associe la matrice dont les coecients sont nuls, sauf ceux de l'antidiagonale qui sont ceux de la diagonale deM.

Quels sont les éléments propres deu? Est-il diagonalisable ? Indications

Sinest pair,u²= 0; sinon,u²=u³.

5 u

= P

j=1

λ

v

SoitE unK−espace vectoriel de dimension nie, p≥1, λ1, ..., λp pscalaires distincts,v1, ..., vp pendomorphismes, tels que

∀k∈N, u^k =

p

X

j=1

λ^k_jvj

1- Montrer que∀P∈K[X], P(u) =Pp

j=1P(λj)vj

2- Montrer queuest diagonalisable et queSp (u)⊂ {λ1, ..., λp}.

3- Montrer l'existence deppolynômesL1, ..., Lptels que ∀i, j, Li(λj) =δi,j. 4- Lesλj sont-ils les valeurs propres de u?

5- Que dire devi◦vj ? dev1, ..., vp ? Indications

2- On utilise 1, avecP =Qp

j=1(X−λj)qui est scindé à racines simples.

4- Sivj est non nul, alorsλj est valeur propre deu. Car, toujours d'après 1, u◦vj=u◦Lj(u) = (X.Lj) (u) =λjvj

5-v1, ..., vp sont les projecteurs associés à la décomposition de Een somme de sous-espaces propres.

6 M

=





1 1 1 1 1 0 1 0 n





SoitM_n=





1 1 1 1 1 0 1 0 n



.

1. Montrer que pour toutn≥0,M_n est diagonalisable et possède trois valeurs propres vériant an<0< bn<2< cn

2. Trouver limite et équivalent de(cn).

3. Trouver limites et équivalents de(an)et (bn). Réponse

1. Mn étant symétrique réelle, elle est diagonalisable dansMn(R); on calcule le polynôme caractéristique : Pn=χM_n =X³−(n+ 2)X²+ (2n−1)X+ 1

D'oùP_n(0) = 1 etP_n(2) =−1; d'après le théorème des valeurs intermédiaires, il y a donc une valeur propre dans chacun des intervalles]−∞,0[,]0,2[et ]2,+∞[.

2. P_n(−1) =−1−3n <0; donc−1< a_n<0; donc(a_n)et(b_n)sont bornées ; or

3. Pourn≥2 : 1< bn <2; de plus,an.bn.cn=−1; donc(an)converge vers 0. D'où : an.bn+an.cn+bn.cn= 2n−1∼bn.cn

Donc(bn)converge vers 2. Avec le produit des racines :

an∼ − 1 2n Variante

Fixonsε >0et examinonsPn(−ε):

Pn(−ε) =−n 2ε+ε² +c oùc ne dépend pas den. Donc

limn Pn(−ε) =−∞

Donc

∃n0,∀n > n0, Pn(−ε)<0

Pourn > n0, toujours avec le théorème des valeurs intermédiaires, la valeur proprean est donc dans l'intervalle ]−ε,0[, ce qui prouve quelim

n an = 0.

On montre de même quelim

n bn = 2.

7 AB

− B

A = B

SoitE=Mn(C)etA, B∈E telles queAB²−B²A=B. On veut montrer queB est nilpotente.

1- SimplierA.B^2k−B^2k.A.

2- Trouver un endomorphisme deE dontB^2k−1 est vecteur propre.

3- Montrer queB est nilpotente.

4- Montrer que l'indice de nilpotence deB est impair.

Indications

1- Par récurrence surk:

∀k≥1, A.B^2k−B^2k.A=k.B^2k−1 2- Soit

u: E → E

X → AXB−BXA SiB^2k−16= 0, alorsB^2k−1 est un vecteur propre deu, etk valeur propre.

3- Orun'a qu'un nombre ni de valeurs propres, doncB est nilpotente.

4- Sik≥1et B^2k= 0, alorsB^2k−1= 0 ; donc l'indice est impair.

8 X → AX − XB

On noteF=M_n(C), etA, B deux éléments deF. Soitϕ∈L(F)déni par

ϕ(X) =AX−XB

1- Soit λune valeur propre deA,µune valeur propre deB. A l'aide d'une matrice de la formeX1.X₂^T, montrer queλ−µ est une valeur propre deϕ.

2- SoitE unC−espace de dimensionn. Soitf ∈L(E)etψ l'endomorphisme deL(E)suivant : ψ:u→f◦u−u◦f

Montrer que sif est nilpotent, ψl'est aussi.

3- Etudier la réciproque.

Indications

1-X₁et X₂ non nuls tels queAX₁=λX₁et BX₂=µX₂.

2-ψ est la somme de deux endomorphismes qui commutent ; on peut utiliser la formule du binôme.

3- On ne peut pas montrer quef est nilpotent, mais à l'aide de 1-, on montre quef n'a qu'une seule valeur propre ; doncf est la somme d'une homothétie et d'un nilpotent.

9 M (f ) (n) =

P

k=1

f (k)

Sif est une fonction deN^∗ dansR, on dénit M(f)par

M(f) (n) = 1 n

n

X

k=1

f(k)

Montrer que pourn∈N^∗ xé,

M^(k)(f) (n) →

k→+∞f(1)

10 M =

A C 0 B

SoitM =

A C

0 B

∈Mn(K),AetB carrées. On suppose queAetB ont chacune une seule valeur propre. Donner une CNS pour queM soit diagonalisable.

11 M =

A B 0 0

SoitM =

A B 0 0

∈M_n(K),Acarrée. CNS pour que M soit diagonalisable ?

12 P

a_k

λ+ak

= 1

On suppose que0< a1< a2< ... < an. On dénitA par

∀i, ai,i= 0

∀i6=j, a_i,j=a_j 1- CalculerDet (A).

2- Montrer queλest valeur propre deAsi et seulement si

n

X

k=1

ak

λ+a_k = 1 3- Montrer queA est diagonalisable.

4- Dans le cas oùa_k=kpour toutk, trouver un équivalent deρ(A)quand n→+∞.

13 Corps algébriquement clos

SoitK un corps. Montrer l'équivalence entre : -K est algébriquement clos.

- Pour toutn≥1, tout endomorphisme deKⁿ possède un vecteur propre.

14 T

: M → AM − M A

On noteE=Mn(C); pourA∈E, on noteTAl'endomorphisme de E : T_A:M →AM−M A 1- Montrer que siA est nilpotente,T_A également.

2- Montrer que siA ne possède qu'une valeur propre,T_A est nilpotente.

3- On suppose queApossède deux valeurs propres distinctesαetβ. Montrer queT_A n'est pas nilpotente en construisant un vecteur propre de la formeX.Y^T associé à la valeur propreα−β.

4- Montrer que siA est diagonalisable,TA également.

5- On suppose TA diagonalisable. SoitX0 un vecteur propre deA. Montrer que pour tout M vecteur propre deTA,M X0

est nul ou vecteur propre deA. Montrer queAest diagonalisable.

6- On suppose queM est un vecteur propre deTAassocié à une valeur propre non nulle λ. Montrer queM est nilpotente.

Indications

6- UtiliserA.M^k−M^kA.

15 M

=

−8 −3 3 1

, M

=

10 3 3 1

1- Montrer queM₁ etM₂ sont diagonalisables.

2- Soit

C=

(x, y)∈R²/ |x| ≥ |y|

Montrer queM₁C⊂C, M₂C⊂C, M₁C∩M₂C={0}. 3- On supposep≥1, q≥1,

A1...Ap=B1...Bq

et chaqueAi et chaqueBi vautM1ouM2. Montrer quep=q et

∀i, Ai=Bi

4- Montrer que toutes les matrices de la question 3 sont diagonalisables.