On rappelle les dénitions des valeurs propres et des vecteurs propres d'un endomorphisme.

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MPSI B DS 8 le 28/03/14 29 juin 2019

Problème 1.

Dans ce problème, K désigne R ou C.

On rappelle les dénitions des valeurs propres et des vecteurs propres d'un endomorphisme.

Soit E un K -espace vectoriel et f ∈ L(E) .

Une valeur propre de f est un élément λ de K pour lequel il existe un vecteur non nul x de E tel que f (x) = λx . Le spectre de f est l'ensemble de ses valeurs propres.

Un vecteur propre de f est un vecteur non nul x de E pour lequel il existe un λ ∈ K tel que f (x) = λx .

L'objet de ce problème

¹

est d'étudier les vecteurs propres communs à deux endomorphismes. Par dénition, un vecteur x est un vecteur propre commun aux endomorphismes f et g si et seulement il est non nul et s'il existe λ et µ dans K tels que f(x) = λx et g(x) = µx .

On utilise aussi le crochet : [f, g] = f ◦ g − g ◦ f de deux endomorphismes f et g de L(E) ou de deux matrices carrées [A, B] = AB − BA .

Partie I. Exemple.

Dans cette partie, K = R, on considère les matrices suivantes : A =





0 −1 −1

−1 0 −1

−1 −1 0



 , B =





3 −3 −1

0 2 0

1 −3 1



 ,

C =





−5 3 −1

−2 6 2

−5 3 −1



 , D =





0 0 0

0 6 0

0 0 −6



 ,

U

1

=



 1 0

−1



 , U

2

=



 0 1

−1



 , U

3

=



 1 1 1



 , U

4

=



 1 0 1



 , U

5

=



 1 1

−2



 .

On considère aussi un R-espace vectoriel E muni d'une base E = (e

₁

, e

₂

, e

₃

) . On dénit les endomorphismes a , b , c , d dans L(E) et les vecteurs u

₁

, u

₂

, u

₃

, u

₄

, u

₅

par les relations

Mat

E

(a) = A, Mat

E

(b) = B, Mat

E

(c) = C, Mat

E

(d) = D, Mat

E

(u

1

) = U

1

, · · · , Mat

E

(u

5

) = U

5

. On note F = (u

₁

, u

₂

, u

₃

) .

1d'après CCP 2013 MP maths1

1. En discutant selon λ ∈ R du rang de A − λI

3

puis de B − λI

3

, déterminer les spectres de a et de b .

2. Vérier que la famille F est une base de E formée de vecteurs propres de a . Montrer qu'aucun élément de F n'est un vecteur propre commun à a et b .

3. Montrer que Im(b − 2 Id

_E

) = Vect(u

₄

) et que dim(ker(b − 2 Id

_E

)) = 2 .

4. Montrer que ker(a − Id

E

) ∩ ker(b − 2 Id

E

) = Vect(u

5

) et déterminer tous les vecteurs propres communs à a et b .

Partie II. Exemple avec des polynômes.

Dans cette partie E = C

2n

[X ] . On dénit des applications a et b par :

∀P ∈ C

²ⁿ

[X ], a(P ) = P

⁰

, b(P ) = X

²ⁿ

P b ( 1 X ).

Ces applications sont des endomorphismes de E , on ne demande pas de le vérier.

1. Dans le cas particulier n = 1 .

a. Former les matrices A et B des endomorphismes a et b dans la base canonique (1, X, X

²

) .

b. Calculer [A, B] et [A

²

, B] puis leurs rangs.

2. Valeurs propres et vecteurs propres de a .

a. Montrer que a admet une unique valeur propre λ à déterminer. Quels sont les vecteurs propres de a ?

b. Soit i entier entre 2 et 2n . Quels sont les valeurs propres et les vecteurs propres de a

ⁱ

= a ◦ · · · ◦ a ?

3. Valeurs propres et vecteurs propres de b .

a. Que vaut b ◦ b ? Que peut-on en déduire pour les valeurs propres de b ? b. Montrer que si P est un vecteur propre de b alors deg(P) ≥ n .

c. Calculer les images par b de X

ⁿ

et des polynômes X

^n−k

+X

^n+k

et −X

^n−k

+X

^n+k

pour k entier entre 1 et n .

4. Vecteurs propres communs. Pour quel entiers i entre 1 et 2n , les endomorphismes a

ⁱ

et b ont-ils des vecteurs propres communs ?

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai S1308E

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MPSI B DS 8 le 28/03/14 29 juin 2019

Partie III. Condition nécessaire. Conditions susantes.

On pourra utiliser sans démonstration que tout endomorphisme d'un C-espace vectoriel de dimension nie admet au moins une valeur propre.

Dans toute cette partie (sauf dans la question 1), E désigne un C-espace vectoriel de dimension nie.

On dit que le couple (a, b) ∈ L(E)

²

vérie la propriété H si et seulement si il existe une valeur propre λ de a telle que ker(a − λ Id

E

) ⊂ ker([a, b]) .

Pour tout naturel non nul k , on note P

k

la proposition suivante :

Pour tout C-espace vectoriel V tel que dim(V ) ≤ k et tout couple d'endomorphismes (ϕ, ψ) ∈ L(V )

²

tels que rg([ϕ, ψ]) ≤ 1 , il existe un vecteur propre commun à ϕ et ψ .

1. Dans cette question, E un K -espace vectoriel de dimension nie (avec K égal R ou C) et (a, b) ∈ L(E)

²

. Montrer que si a et b admettent un vecteur propre commun alors rg([a, b]) < dim(E) . Que penser de la réciproque ?

2. Soit a et b deux endomorphismes de E .

a. Montrer que si [a, b] = 0

_L(E)

, alors (a, b) vérie la propriété H .

b. On suppose ici que (a, b) vérie la propriété H avec ker(a − λ Id

E

) ⊂ ker([a, b]) . Montrer que ker(a − λ Id

E

) est stable pour b . En déduire l'existence d'un vecteur propre commun à a et b .

3. Démontrer la proposition P

1

.

4. Dans cette question, on considère (a, b) ∈ L(E)

²

qui ne vérie pas la propriété H . On note c = [a, b] , on suppose que rg(c) = 1 et on considère une valeur propre λ ∈ C de a .

a. Justier l'existence d'un u ∈ E tel que a(u) = λu et c(u) 6= 0 .

b. Montrer que Im(c) = Vect(v) où v = c(u) . En déduire que Im(c) ⊂ Im(a− λ Id

E

) . c. Montrer que Im(a − λ Id

E

) est stable par a et b .

5. Montrer que la propriété P

_n

est vraie pour tous les naturels non nuls n .

Si deux endomorphismes ont un vecteur propre commun, leur crochet est-il de rang au plus 1 ?

Problème 2.

Les deux parties de ce problème sont indépendantes. Dans tout le problème, on désigne par I le segment [0, 1] et par E l'espace vectoriel réel C

⁰

(I, R ) des applications continues de I dans R.

Préliminaire

Soit a ∈ R, on dénit des fonctions f

a

et g

a

de R dans R par :

∀x ∈ R : f

_a

(x) = min(x, a), g

_a

(x) = max(x, a) Montrer que f

a

et g

a

sont lipschitziennes sur R et préciser le rapport.

On pourra remarquer que min(u, v) =

¹₂

(u + v − |u − v|) pour tous réels u et v .

Partie I

Soient m

0

et M

0

deux éléments de [−1, +1] , on pose pour tout n ∈ N :

m

n+1

= 1 2

Z

1

−1

min(x, M

n

) dx, M

n+1

= 1 2

Z

1

−1

max(x, m

n

) dx,

( x

n

= 1 + m

n

y

n

= 1 − M

n

1. a. Justier l'existence des suites (m

n

)

_n∈_N

et (M

n

)

_n∈_N

. b. Montrer que m

n

et M

n

sont dans [−1, 1] pour tout n ∈ N.

2. a. Montrer que, pour tout n ∈ N, m

_n+1

= − 1

4 (M

_n

− 1)

²

, M

_n+1

= 1

4 (m

_n

+ 1)

²

b. Montrer que m

n+1

∈ [−1, 0] et M

n+1

∈ [0, 1] pour tout n ∈ N.

3. a. Montrer que, pour tout n ∈ N,

y

_n+1

− x

_n+1

= 1

4 (y

_n

− x

_n

)(y

_n

+ x

_n

)

b. Montrer que si (x

n

)

_n∈N

et (y

n

)

_n∈N

convergent, leurs limites sont égales à l = 2 √

2 − 2 c. Montrer que, pour tout n ∈ N,

|x

_n+1

− l| ≤ 2 √ 2 − 1

4 |y

_n

− l|, |y

_n+1

− l| ≤ 2 √ 2 − 1

4 |x

_n

− l|

4. Montrer que les suites (m

n

)

_n∈N

et (M

n

)

_n∈N

convergent et préciser leurs limites.

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(3)

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Partie II

Dans cette partie, g est une application dénie dans I , à valeurs dans I , continue et vériant g(0) = 0 et g(1) = 1 .