Projet S8: Valeurs propres et vecteurs propres pour le problème de Poisson

Projet S8: Valeurs propres et vecteurs propres pour le problème de Poisson

François Cuvelier

2020/02/26

Trouveru PH¹pΩqtel que

´∆u “ f dansΩĂR^dim, (1)

u “ g_D surΓ_D, (2)

Bu

Bn `aRu “ gR surΓR, (3) Problème de Poisson

où ΩĂR^dim avecBΩ“Γ_D YΓ_R et Γ_DXΓ_R “ H.

Trouverpλ,uq PCˆH¹pΩq tel que

´∆u “ λu dansΩĂR^dim, (4)

u “ 0 surΓ_D, (5)

Bu

Bn `aRu “ 0 surΓR, (6)

Problème aux valeurs propres

L’objectif de ce projet est de déterminer numériquement des valeurs propres et vecteurs propres de différents problèmes aux limites en dimension

dim“1,2, . . . pour différentes types de conditions aux limites. Des exemples avec solutions analytiques seront proposés et permettront la validation des différents codes écrits.Une méthode aux différences finies, pour les problèmes 1D et 2D sur rectangle, sera implémentée. Pour des problèmes plus complexes, laméthode des éléments finis sera utilisée via des logiciels/outils fournis.

Les logiciels utilisés seront:

Matlab et GNU Octave pour la partiedifférences finies et les représentations graphiques,

GMSH pour la génération de maillages 2d (voir 3d),

La toolbox Matlab/Octave fc-vfemP₁ pour la partie éléments finis,

Exemple 1

Trouverpλ,uq PCˆH¹pΩq tel que

´∆u“λu dansΩĂR², (7) u“0 surΓD “Γ1YΓ2YΓ3YΓ4 (8) Problème aux valeurs propres

Ω: rectangler0,2s ˆ r0,3s L“2,H “3,

@pk,lq PN^˚ˆN^˚.

λ_k,l “ ˆkπ

L

˙2

` ˆlπ

H

˙2

u_k,lpx,yq “sinpkπ

L xqsinplπ Hyq.

Exemple 2, conditions mixtes

Trouverpλ,uq PCˆH¹pΩq tel que

´∆u “λu dansΩĂR², (9)

u “ 0 sur ΓD “Γ1YΓ2 (10)

Bu

Bn “ 0 surΓ3YΓ4 (11)

Problème aux valeurs propres

Ω: rectangler0,2s ˆ r0,3s

Exemple 3, conditions mixtes

Trouverpλ,uq PCˆH¹pΩq tel que

´∆u“λu dansΩĂR², (12) u“0 surΓ_D “Γ₁YΓ₂YΓ₃ (13) Bu

Bn “0 surΓ10 (14)

Problème aux valeurs propres