Algèbre
Valeurs propres et vecteurs propres
Denis Vekemans∗
Dans toute la feuilleK désigne un corps etnun entier non nul.
Exercice 1 Donner les valeurs propres et les espaces propres des matrices réelles suivantes
A1 = 2 0
−1 1
!
, A2 =
1 1 1 0 2 1 0 0 3
, A3=
3 −1 1 0 2 0 1 −1 3
,
A4 =
3 2 −2
−1 0 1 1 1 0
, A5 =
1 2 −2
−1 3 0 0 2 1
.
Les matrices ci-dessus sont-elles diagonalisables dansMR(n)?
Exercice 2 SoitA∈ MR(n).
Montrer queA etAt ont les mêmes valeurs propres.
Exercice 3 SoientA, B∈ MC(n).
1. Montrer que siA etB sont semblables, alorsA etB ont même polynôme caractéristique.
2. A l’aide d’un exemple montrer que l’implication réciproque est fausse.
Exercice 4 Soita= (a1,· · · , an)un vecteur non nul deKnet soitA= (ai,j)i∈{1,2,...,n}, j∈{1,2,...,n} ∈ MK(n) telle que, pour tout j∈ {1, . . . , n},ai,j =aj.
Déterminer les valeurs propres de Aainsi que leurs multiplicités algébriques et géométriques.
Exercice 5 Diagonaliser les matrices suivantes
A1 =
5 1 −1 2 4 −2 1 −1 3
, A2 =
1 2 −2 2 1 −2 2 2 −3
, A3 =
4 0 0 0 2 3 0 0 3 1 6 0 6 6 2 1
.
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France
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L1 Maths - Info Algèbre 2008
Exercice 6 SoientA∈ MK(n) etB ∈ MK(n) deux matrices diagonalisables.
Montrer queAB=BAsi et seulement si tout sous-espace propre de Aest stable par B.
Exercice 7 CalculerA20 siA est la matrice
A= 1 1/2 4 2
! .
Exercice 8 Vérifier queA=
0 0 1 1 0 0 0 1 0
est diagonalisable dansMC(3)et non dans MR(3).
Exercice 9 Montrer que la matriceA suivante n’est pas diagonalisable et la trigonaliser.
A=
3 1 0
−4 −1 0 4 −8 −2
.
Exercice 10 Une matrice A∈ MC(n) est ditenilpotentesi il existe l∈Ntel que Al= 0.
Montrer l’équivalence des propriétés suivantes : 1. A est nilpotente.
2. Toute valeur propre deAest nulle.
3. Le polynôme caractéristique deA est défini parpA(λ) = (−1)nλn.
4. A est semblable à une matrice triangulaire dont les éléments diagonaux sont nuls.
Exercice 11 Septembre 2004
Soit f l’endomorphisme de R3 dont la matrice par rapport à la base canonique B = {e′1, e′2, e′3} est la matrice
A=
1 0 0 1 1 0 0 1 1
.
1. Montrer queA est inversible. CalculerA−1.
2. Calculer le polynôme caractéristique deAet déterminer les valeurs propres de A.
3. Donner une base de chacun des espaces propres deA.
4. La matriceA est-elle diagonalisable ? Justifier votre réponse.
Exercice 12 Juin 2005
On considère l’application f:R3 →R3 définie, pour tout (x, y, z)∈R3, par f(x, y, z) = (x+ 2z,−y,2x+z).
–2/3– Mathématiques
L1 Maths - Info Algèbre 2008
1. Montrer quef est un endomorphisme deR3.
2. Donner la matriceA def par rapport à la base canonique B={e1, e2, e3}de R3. 3. Calculer le polynôme caractéristique et les valeurs propres deA.
4. Donner une base pour chacun des espaces propres deA.
5. Donner une base C1 de R3 par rapport à laquelle l’endomorphisme f est représenté par une matrice diagonale D1, qu’on explicitera.
Exercice 13 Juin 2000 SoitA∈ MC(4)la matrice
A=
2 0 0 0
−4 −1 0 4
−8 −6 3 4
−2 −1 0 3
.
1. Déterminer le polynôme caractéristiquepAet toutes les valeurs propres de A.
2. Déterminer la multiplicité géométrique et l’espace propre de chaque valeur propre deA.
3. La matriceA est-elle diagonalisable ?
Références
[1] M. Gran, fiches de TD (L1), Université du Littoral Côte d’Opale.
[2] M. Serfati, Exercices de mathématiques. 1. Algèbre, Belin, Collection DIA, 1987.
[3] D. Duverney, S. Heumez, G. Huvent, Toutes les mathématiques – Cours, exercices corrigés – MPSI, PCSI, PTSI, TSI, Ellipses, 2004.
–3/3– Mathématiques
