Algèbre Espaces vectoriels

Espaces vectoriels

Exercice 1 L’ensembleR² muni des lois suivantes est-il un espace vectoriel surR? (1) (x, y) + (x^′, y^′) = (x+x^′, y+y^′) etλ(x, y) = (λx, λy).

(2) (x, y) + (x^′, y^′) = (y+y^′, x+x^′) etλ(x, y) = (λx, λy).

(3) (x, y) + (x^′, y^′) = (x+x^′, y+y^′) etλ(x, y) = (λx, y).

(4) (x, y) + (x^′, y^′) = (0,0)etλ(x, y) = (λx, λy).

(5) (x, y) + (x^′, y^′) = (x+x^′, y+y^′) etλ(x, y) = (λx,0).

Exercice 2 SoitKun corps. On définit sur Kⁿ l’opération +par

(x1, x₂,· · · , x_n) + (y1, y₂,· · · , y_n) = (x1+y₁, x₂+y₂,· · ·, x_n+y_n)

et pour tout λ∈Ket tout(x1, x₂,· · ·, x_n)∈Kⁿ, on pose

λ(x₁, x₂,· · · , x_n) = (λx₁, λx₂,· · · , λx_n).

Montrer queKⁿ, muni de ces opérations, est un espace vectoriel surK.

Exercice 3 Soit E l’ensemble des suites réelles. Montrer que E, muni des opérations naturelles : addi- tion des suites et multiplication d’une suite par un réel, est un espace vectoriel sur R.

Exercice 4 Les sous-ensemblesF suivants sont-ils des sous-espaces vectoriels deR²? (1) F =Z².

(2) F ={(x, y)∈R² ; |x|=|y|}. (3) F ={(x, y)∈R² ; x+ 2y= 0}.

Exercice 5 (1) On considère le sous-ensembleF ={(x, y, z)∈R³ ; y= 0} deR³. (a) Montrer queF est un sous-espace vectoriel de R³.

(b) Le complémentaire deF dansR³ est-il un sous-espace vectoriel deR³?

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(2) Soient E un espace vectoriel etF un sous-espace vectoriel de E.

Le complémentaire de F dansE peut-il être un sous-espace vectoriel deE?

Exercice 6 SoitE l’ensemble des fonctions d’une variable réelle à valeurs réelles, continues sur[0,1].

Montrer que E est un espace vectoriel sur R (pour l’addition des fonctions et la multiplication d’une fonction par un réel).

On considère les sous-ensembles suivants de E; préciser ceux qui sont des sous-espaces vectoriels de E : (1) les fonctions f qui vérifient 2f(0) =f(1);

(2) les fonctions f qui vérifient f(1) =f(0) + 1;

(3) les fonctions f qui vérifient f(x) =f(1−x),∀x∈[0,1]; (4) les fonctions qui sont monotones sur [0,1];

(5) les fonctions f qui vérifient x²f⁽³⁾(x)−f(x) = 0,∀x∈[0,1]; (6) les fonctions polynômes de degré 4;

(7) les fonctions polynômes de degré au plus égal à 4ou nulles ;

(8) les fonctions polynômes pde degré au plus égal à3 ou nulles telles quep(1) =p(2) = 0.

(9) les fonctions polynômes pde degré au plus égal à2 ou nulles telles queR1

0 p(t)dt= 0.

(10)les fonctions polynômes pde degré au plus égal à3 ou nulles telles quep^′(2) =p^′′(2) = 0.

Exercice 7 SoitE l’ensemble des suites réelles.

Montrer queE est un espace vectoriel surR(pour l’addition des suites réelles et la multiplication d’une suite réelle par un réel).

On considère les sous-ensembles suivants de E; préciser ceux qui sont des sous-espaces vectoriels de E : (1) les suites (u_n) qui sont bornées ;

(2) les suites (un) qui sont arithmétiques ; (3) les suites (u_n) qui sont géométriques ;

(4) les suites (un) qui sont géométriques de raison −2; (5) les suites (un) qui sont périodiques ;

(6) les suites (u_n) qui vérifient u_n+3=u_n+2−u_n.

Exercice 8 On considère les deux sous-espaces vectorielsF =h(1,1,0); (0,1,−2)ietG=h(2,1,2); (1,0,2)i de R³. Montrer que F =G.

Exercice 9 Soientu= (1,1,1,1)etv= (1,2,3,4)deux vecteurs deR⁴.

Déterminer aetbpour que w= (1,−1, a, b)appartienne au sous-espace vectoriel engendré par u etv.

Exercice 10 Les sous-espaces vectorielsE =h(3,0,1,2)i etF ={(x, y, z, t)tels que x+ 3y−z+ 2t= 0} de R⁴ sont-ils supplémentaires dansR⁴?

Exercice 11

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vectoriel E, et donner un supplémentaire deAdansE.

(1) E =R² etA={(0,1)}.

(2) E =R³ etA={(1,0,0),(1,1,0)}.

Exercice 12 Pour chacune des familles deR² suivantes, dire si elle est génératrice, libre ou si elle constitue une base de R².

(1) F1 ={(2,1),(4,1)}.

(2) F2 ={(−1,2),(4,3),(6,−1)}. (3) F3 ={(2,−3),(1,5),(0,0)}. (4) F4 ={(1,1)}.

Exercice 13 Soitu= (2,1,1),v= (1,3,1)etw= (−2,1,3)trois vecteurs deR³.

Montrer qu’ils constituent une base de R³ et déterminer les coordonnées du vecteur t = (1,1,1) dans cette base.

Exercice 14

F ={(1,1,1),(2,0,−1),(−1,1,2),(3,1,0)}. 1. La familleF de vecteurs de R³ est-elle libre ?

2. Déterminer une base du sous-espaceF engendré par la familleF. 3. Quelle est la dimension deF?

Exercice 15 SoitF l’ensemble des vecteursu= (x, y, z)∈R³ tels que ( x−y+ 3z= 0

2x+y+z= 0 .

1. Montrer queF est un sous-espace vectoriel de R³. 2. Trouver une base deF et en déduire dimF.

Exercice 16 Soit u = (x, y, z) ∈ R³. Déterminer une base de R³ dans laquelle u a pour composantes (y+z, x+z, x+y)?

Exercice 17 Montrer que la familleF suivante de polynômes de R₂[X]est une base deR₂[X].

F ={(X+ 1, X², X(X−1)}.

Soit le polynôme aX²+bX+c∈R₂[X]. Calculer, ses composantes dans la baseF.

Exercice 18

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1.

(x, y, z)∈R³ tels que x+y=y+z= 0 . 2.

{P ∈R₃[x]tels queP(x) =P(1−x)}. 3.

{u= (un) telles queu_n∈R etu_n+u_n+2= 0}.

Exercice 19 Soient a, b et c trois réels distincts. Déterminer une base de R₂[X] dans laquelle le poly- nôme P a pour composantes P(a), P^′(b), P^′′(c)

. Exercice 20

1. A quelle condition sur le réela, la famille F suivante de vecteurs deR³ est-elle une base deR³? F ={(a,1,1),(1, a,1),(1,1, a)}.

2. A quelle condition sur les réelsa,b,c, la famille F suivante de polynômes de R₂[X]est-elle une base de R₂[X]?

F ={(X−a)²,(X−b)²,(X−c)²}.

Exercice 21 Dans l’espace vectoriel des suites numériques réelles, quel est le rang du système(u, v, w, x, y) où

u= (2ⁿ)n ; v= (3ⁿ)n; w= (2ⁿ+ 3ⁿ)n ; x= (2ⁿ⁺¹+ 3ⁿ⁺¹)n ; y= (2²ⁿ+ 3²ⁿ)n ?

Exercice 22 Dans l’espace vectoriel des fonctions continues de R dans R, quel est le rang du système (f₁, f₂, f₃) où

f₁(x) = sin(x+ 1) ; f₂(x) = sin(x+ 2) ; f₃(x) = sin(x+ 3) ?

Exercice 23 Dans l’espace vectoriel des fonctions continues de R dans R, quel est le rang du système (f₁, f₂, f₃) où

f₁(x) = sin(x) ; f₂(x) = sin(sin(x)) ; f₃(x) = sin(sin(sin(x))) ?

Exercice 24 Dans l’espace vectoriel des fonctions continues de R dans R, quel est le rang du système (f1, f₂, f₃, f₄) où

f₁(x) =e^x ; f₂(x) =e^−x ; f₃(x) = cosh(x) ; f₄(x) = sinh(x) ?

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Exercice 25 Dans l’espace vectoriel des fonctions continues de]−1,1[dansR, quel est le rang du système (f₁, f₂, f₃, f₄) où

f₁(x) =

r1−x

1 +x ; f₂(x) =

r1 +x

1−x ; f₃(x) = 1

√1−x² ; f₄(x) = x

√1−x² ?

Exercice 26

1. Dans l’espace vectoriel des fonctions continues deRdansR, montrer que le système(f₀, f₁, . . . , f_n) où

∀k∈ {0,1, . . . , n}, f_k(x) = cos^k(x) est de rang n+ 1.

2. (a) CalculerI_p,q=Rπ

0 cos(px) cos(qx)dx pourp∈N,q∈N.

(b) Dans l’espace vectoriel des fonctions continues deRdansR, montrer que le système(g₀, g₁, . . . , g_n) où

∀k∈ {0,1, . . . , n}, g_k(x) = cos(kx) est de rang n+ 1.

3. Montrer que

hf_k, k∈ {0,1, . . . , n}i=hg_k, k∈ {0,1, . . . , n}i.

Exercice 27 SoitK un corps et soitn≥1.

Pour tout k∈ {1,· · · , n}, on définite_k=







 e_k(1)

... e_k(n)







∈Kⁿ en posant

e_k(j) =

( 1 si j=k 0 sinon.

Montrer que {e_k |1≤k≤n}est une base deKⁿ appeléebase canonique de Kⁿ.

Exercice 28 SoitE un espace vectoriel. SoientF etGdeux sous-espaces vectoriels de E.

(1) Montrer que F∩Gest un sous-espace vectoriel de E.

(2) Supposons que E=R²,F =h(1,0)i etG=h(0,1)i. L’ensemble F ∪Gest-il un sous-espace vectoriel de E?

(3) Montrer que F∪Gest un sous-espace vectoriel de E si et seulement si F ⊂G ouG⊂F.

Exercice 29 SoitEun espace vectoriel etA,BetCtrois sous-espaces deE. Montrer que siA+C=B+C, A∩C=B∩C etA⊂B, alors A=B.

Exercice 30

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1. Montrer queA+ (B∩C)⊂(A+B)∩(A+C). Justifier que l’inclusion est stricte.

2. Vérifier qu’il existe une inclusion entre les ensembles A∩(B+C)et (A∩B) + (A∩C). Justifier que l’inclusion est stricte.

Exercice 31 SoitE un espace vectoriel de dimension finienet soient F etGdeux sous espaces vectoriels de E tels quedimF+ dimG > n. Montrer que F∩G6={0}.

Exercice 32 SoitE unR-espace vectoriel de dimension finie4et soientF etGdeux sous espaces vectoriels de E de dimension3 tels queF 6=G. Déterminer la dimension deF∩G.

Références

[1] M. Gran, fiches de TD (L1), Université du Littoral Côte d’Opale.

[2] M. Serfati, Exercices de mathématiques. 1. Algèbre, Belin, Collection DIA, 1987.

[3] D. Duverney, S. Heumez, G. Huvent, Toutes les mathématiques – Cours, exercices corrigés – MPSI, PCSI, PTSI, TSI, Ellipses, 2004.

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Espaces vectoriels

Solution 14

1. Dire que la famille F est libre est d’ores et déjà absurde pour une raison de dimensions : l’espace vectoriel engendré par F serait de dimension4 (engendré par4vecteurs) et R³ est de dimension3.

On tente alors de voir comment ils sont liés ...

– On a(1,1,1)−(2,0,−1) = (−1,1,2)ce qui induit que le vecteur(−1,1,2)est dans l’espace vectoriel engendré par{(1,1,1),(2,0,−1)}.

– On a (1,1,1) + (2,0,−1) = (3,1,0) ce qui induit que le vecteur (3,1,0) est dans l’espace vectoriel engendré par{(1,1,1),(2,0,−1)}.

Enfin, les vecteurs(1,1,1)et(2,0,−1)sont effectivement libres car si pour tout couple(α, β)de réels, α(1,1,1) +β(2,0,−1) = 0, alors α = 0 (d’après la deuxième coordonnée), puis β = 0 (par exemple d’après la première coordonnée en réinjectant α= 0).

En conclusion, l’espace vectoriel engendré par F peut être noté F =h(1,1,1),(2,0,−1)i.La famille F n’est pas libre, mais la famille {(1,1,1),(2,0,−1)}l’est.

2. La famille {(1,1,1),(2,0,−1)} étant libre, (et évidemment, elle est génératrice de l’espace qu’elle génère –tautologique¹–), c’estdoncune basede l’espace vectoriel engendré par la familleF ou encore par la famille {(1,1,1),(2,0,−1)} (puisque ces deux familles engendrent le même espace vectoriel).

3. La dimension de l’espace vectoriel engendré par la famille F est donné par le nombre de vecteurs de sa base, soit 2.

Solution 18 (3)

F ={u= (un)telles queun∈Retun+un+2 = 0}.

L’ensemble F est entièrement déterminé par ses deux premiers éléments c’est-à-dire que l’application φ de F dansR² qui àu= (uⁿ) associe(u0, u1)est bijective.

En effet,

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1La tautologie (du grec tauto logos, le fait de redire la même chose) est une phrase ou un effet de style ainsi tournée que sa formulation ne peut être que vraie. La tautologie peut aussi s’apparenter au truisme ou à une lapalissade.

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– φest surjective car pour toute(u0, u1)∈R², il existe u∈F

(à savoiru= (u0, u1,−u0,−u1, u0, u1,−u0,−u1, u0, u1,−u0,−u1, . . .)(par récurrence)) telle queφ(u) = (u0, u1).

– φ est injective car si on considère u = (un) ∈ F et v = (vn) ∈ F, telles que φ(u) = φ(v), alors (u0, u1) = (v0, v1) ou encoreu0=v0 etu1 =v1. Dans ce cas, on a u2n= (−1)ⁿu0= (−1)ⁿv0 =v2n et u2n+1= (−1)ⁿu1 = (−1)ⁿv1=v2n+1(par récurrence) etu=v(les termes de rang pair (respectivement impair) sont égaux).

En conclusion, il suffit de trouver une base de R² et de lui appliquer φ⁻¹ (qui existe carφ est bijective) pour obtenir une base de F.

Prenons {(1,0),(0,1)}la base canonique de R². On a alors

φ⁻¹(1,0) = (1,0,−1,0,1,0,−1,0,1,0,−1,0, . . .) et

φ⁻¹(0,1) = (0,1,0,−1,0,1,0,−1,0,1,0,−1, . . .).

Puis,

{(1,0,−1,0,1,0,−1,0,1,0,−1,0, . . .),(0,1,0,−1,0,1,0,−1,0,1,0,−1, . . .)} est une base de F.

Remarque:

F = {λφ⁻¹(1,0) +µφ⁻¹(0,1)avec λ∈R, µ∈R}

= {(λ, µ,−λ,−µ, λ, µ,−λ,−µ, λ, µ,−λ,−µ, . . .) avec λ∈R, µ∈R}.

Solution 25

f1(x) =

r1−x

1 +x ; f2(x) =

r1 +x

1−x ; f3(x) = 1

√1−x² ; f4(x) = x

√1−x². Ainsi, il vient f3−f4=f1 etf3+f4 =f2. D’où f1 ∈ hf3, f4i etf2∈ hf3, f4i.

D’autre part, le système{f3, f4} est libre :

αf3 +βf4 = 0 implique { α = 0 (valeur en x = 0) et ⁵₄α+ ³₄β = 0 (valeur en ³₅) }, ce qui équivaut à α =β= 0.

Donc, le système est de rang2.

Solution 29 On aA⊂B. Il reste donc à montrerB ⊂A.

∀b∈B, b=b+ 0∈B+C. OrB+C =A+C, donc b∈A+C et∃a∈A,∃c∈C tels queb=a+c.

Cependant, c=b−a avec b∈B eta∈A⊂B donc c∈B. Puis, c∈B∩C. Or B∩C =A∩C, donc c∈A.

Enfin,

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Solution 31 dim(F ∩G) = dimF + dimG−dim(F+G)> n−dim(F+G).

Comme dim(F +G)≤dim(E) =n, on obtientdim(F ∩G)>0 puis F∩G6={0}. Solution 32 dim(F +G)≥dimF = 3, donc {dim(F+G) = 3 oudim(F+G) = 4 }.

– Premier cas :dim(F+G) = 3.

Sidim(F+G) = 3, alors{F ⊂F+GetdimF = dim(F+G)}, puisF =F+G[1]. Sidim(F+G) = 3, alors{ G⊂F +G etdimG= dim(F+G)}, puis G=F+G [2].

[1] et [2] induisent que F =G, ce qui est exclu par hypothèse. Le premier cas n’a donc pas de raison d’être.

– Second cas : dim(F +G) = 4.

Sidim(F+G) = 4, alors dim(F ∩G) = dimF

| {z }

=3

+ dimG

| {z }

=3

−dim(F +G)

| {z }

=4

= 2.

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