Algèbre Relations d’équivalence

(1)

Algèbre

Relations d’équivalence

Denis Vekemans^∗

Exercice 1 SoitE un ensemble et Rune relation de E dansE.

Dans chacun des exemples ci-dessous, donner les propriétés (réflexivité, symétrie, transitivité) vérifiées parR.

1. E est l’ensemble des droites du plan.R est définie parD RD^′ ⇐⇒D⊥D^′.

2. E est l’ensemble des cercles du plan. Rest définie par Γ R Γ^′ ⇐⇒Γ etΓ^′ se coupent en exatcement deux points.

3. E est l’ensemble des fonctions continues de [0,1] dans R :E = C[0,1]. R est définie par f R g ⇐⇒

∀x∈[0,1], f(x)≤g(x).

4. E est l’ensemble des fonctions de définies surRet à valeurs dansR.Rest définie par f Rg⇐⇒f−g est une fonction paire.

5. E =R.Rest définie par x Ry⇐⇒xe^y =ye^x. 6. E =Z^∗.Rest définie par x Ry ⇐⇒x divise y.

7. E =P(X), oùX est un ensemble. Rest définie par A RB ⇐⇒A⊂B.

Exercice 2 DansZ×Z^∗, démontrer que la relationRdéfinie par (x, y)R (x^′, y^′)⇐⇒xy^′ =x^′y

est une relation d’équivalence.

Exercice 3 SoitE un ensemble. SoitRune relation réflexive et transitive deE vers E etS la relation de E versE définie par

x S y⇐⇒(x Ry) ∧ (y R x).

Montrer que S est une relation d’équivalence.

∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France

1

(2)

L1 Maths - Info Algèbre 2008

Exercice 4 On dit qu’une relationRde X dansX est circulaire si (x Ry) ∧ (y R z) =⇒z Rx.

Montrer qu’une relation est réflexive et circulaire si et seulement si elle est une relation d’équivalence.

Exercice 5 Trouver l’erreur dans le raisonnement suivant :

Soit Rune relation binaire deX dansX, symétrique et transitive.

Donc, x R y implique que y R x, par symétrie, et comme (x Ry) ∧ (y R x), cela induit que x Rx, par transitivité.

Donc, Rest réflexive et est, par conséquent, une relation d’équivalence.

Donner un exempleR de relation binaire deX dansX, symétrique et transitive, mais non réflexive.

Exercice 6 SoitE un ensemble. Soit Rla relation de E vers E définie par x Ry⇐⇒x=y.

1. Montrer queRest une relation d’équivalence.

2. Pour toutx∈E, déterminer la classe d’équivalence dex.

3. Déterminer l’ensemble quotient deE parR.

Exercice 7 On définit surR² la relation Rpar

(x, y) R(x^′, y^′)⇐⇒x−5y^′ =x^′−5y.

2. Vérifier que la classe d’équivalence de(0,0), que l’on noteraR(0,0), est une droiteDà préciser.

3. Vérifier que toute classe d’équivalenceR(x, y) est une droite parallèle àD.

4. Soitf : R² −→R l’application définie parf(x, y) =x+ 5y.

Montrer que

∀(x, y)∈R², f(R(x, y)) =x+ 5y.

Montrer que f est bijective de R²/RdansR.

Exercice 8 Soitn∈N^∗. SoitR_n la relation définie dansZ par x R_n y⇐⇒ndivise x−y.

1. Montrer queR_n est une relation d’équivalence.

Elle est appelée congruence modulo n et on note x≡y mod (n) au lieu dexR_n y.

–2/3– Mathématiques

(3)

L1 Maths - Info Algèbre 2008

2. Pour toutx∈Z, déterminer la classe de x modulon.

3. On noteZ/nZl’ensemble quotient deZparR_n. Quel est son cardinal ?

Exercice 9 Soitf une application de E vers F et soit Rla relation deE versE définie par xR y⇐⇒f(x) =f(y).

2. Pour toutx∈E, on notex la classe d’équivalence de x.

Montrer que l’application Φde E/R versf définie par Φ(x) =f(x) est une bijection.

Exercice 10 SoitR la relation surN^∗ définie par

x R y⇐⇒x divise y.

Montrer que (N^∗,R) est un ensemble partiellement ordonné.

Références

[1] M. Gran, fiches de TD (L1), Université du Littoral Côte d’Opale.

[2] M. Serfati, Exercices de mathématiques. 1. Algèbre, Belin, Collection DIA, 1987.

[3] D. Duverney, S. Heumez, G. Huvent, Toutes les mathématiques – Cours, exercices corrigés – MPSI, PCSI, PTSI, TSI, Ellipses, 2004.

–3/3– Mathématiques