Algèbre
Résolution de systèmes linéaires
Exercice 1 Résoudre le système en (x, y, z)∈R3 :
2x−y−z= 4 3x+ 4y−2z= 11 3x−2y+ 4z= 11
.
Exercice 2 t∈R. Discuter et résoudre le système en(x, y, z)∈ R3 :
x+y+z=t+ 1 2x−y+ (4t+ 3)z= 0
−x+ 2y+ 2t2z= 0 .
Exercice 3 Soit=−1
2+ı√23. Soient les matricesAetJ données par
A=
a b c c a b b c a
etJ =
1 1 1 1 2 1 2
.
1. Calculer le produitJ A.
2. Montrer qu’il existe une matrice∆diagonale telle queJ A= ∆J.
3. Donner une forme factorisée dedet(A).
4. a, b, c∈R. Discuter et résoudre le système en (x, y, z)∈R3 :
ax+by+cz= 1 cx+ay+bz= 1 bx+cy+az= 1
.
Exercice 4 α∈C. Discuter et résoudre le système en(x, y, z)∈C3 :
x+αy+α2z= 0 αx+y+αz = 0 α2x+αy+z= 0
.
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France
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L1 Maths - Info Algèbre
Références
[1] M. Gran, fiches de TD (L1), Université du Littoral Côte d’Opale.
[2] M. Serfati, Exercices de mathématiques. 1. Algèbre, Belin, Collection DIA, 1987.
[3] D. Duverney, S. Heumez, G. Huvent, Toutes les mathématiques – Cours, exercices corrigés – MPSI, PCSI, PTSI, TSI, Ellipses, 2004.
–2/2– Mathématiques
Algèbre
Résolution de systèmes linéaires
Solution 4 Le déterminant du système est :
1 α α2
α 1 α
α2 α 1
L2 ←L2−αL1
L3 ←L3−αL2
=
1 α α2
0 1−αα α(1−αα)
0 0 1−αα
= (1−αα)2
Le système est de Cramer si et seulement si1−αα6= 0.
• Premier cas |α| 6= 1. Le système admet une unique solution (i.e. il est de Cramer) qui est triviale (i.e.
x=y =z= 0) puisque le système est homogène (i.e. le second membre est nul).
Solution dans l’espaceR3 rapporté à un repère orthonormé(O,~i,~j, ~k) : le point O(0,0,0).
• Deuxième cas |α|= 1. On a α= α1. Le système se réduit donc à une seule équation qui estx+αy+ α2z= 0 (car les trois lignes du système d’origine sont proportionnelles).
Solution dans l’espace R3 rapporté à un repère orthonormé (O,~i,~j, ~k) : le plan normal à ~u(1, α, α2) passant par O(0,0,0)(i.e. le plan d’équation x+αy+α2z= 0).
∗Laboratoire de mathématiques pures et appliquées Joseph Liouville ; 50, rue Ferdinand Buisson BP 699 ; 62 228 Calais cedex ; France
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